, x=(х1, xn). Введем в этом пространстве новые координаты U=Px, где P



страница1/5
Дата29.03.2018
Размер0,55 Mb.
  1   2   3   4   5
5.2. Плазменная томография
5.2.1. Принципы томографии [28,29].

Пусть в пространстве n измерений задана функция f(x), x=(х12....xn). Введем в этом пространстве новые координаты U=Px, где P - матрица преобразования, и проинтегрируем:


Р(U1,U2,...Ui-1,Ui+1...Un)= (5.3)
Тогда Р называется проекцией функции f на гиперплоскость Ui=const, это функция n-1 переменной. Таким образом, проекция - это отображение функции n переменных в функцию n-I переменной путем интегрирования по одной из переменных.

Изменив матрицу преобразования P, получим другую проекцию.

Задача томографии состоит в восстановлении исходной функции f по набору всевозможных проекций. Общее решение этой задачи было найдено австрийским математиком Радоном еще в 1917 году и доказано существование и единственность этого решения. Однако на практике возможна регистрация лишь конечного числа проекций с конечной точностью. Показано [80], что только если объект состоит из конечного числа дискретных точек ( а такие задачи могут возникать при исследовании конфигурации макрочастиц в пылевой плазме[11]) необходимо и достаточно получить 3 проекции : две в произвольных направлениях и третью в направлении , не совпадающем ни с одной прямой , соединяющей любые две точки в объекте. При регтстрации непрерывных распределений задача сразу становится неопределенной. Возможны лишь приближенные ее решения, которые к тому же не единственны. Все многочисленные вычислительные алгоритмы, применяемые в томографии, направлены на то, чтобы найти в некотором отношении оптимальную оценку решения в заданном классе искомых функций f (например, наиболее "гладкое" из допустимых решений или наиболее вероятную оценку f и т.п.).Практическое значение имеют прежде всего трехмерные функции, т.к. ими описывается распределение параметров реальных объектов (например, концентрации атомов в неоднородной плазме).

Обычно для восстановления трехмерной функции f(x,y,z) используют одномерные проекции ее двухмерных сечений f(x,y) при фиксированном z, т.е. как бы восстанавливают послойно при разных z двухмерные сечения объекта (отсюда и слово "томография" - описание сечений) (рис. 5.3).



Рис. 5.3. Трехмерный объект



Рассмотрим эту задачу подробнее. Пусть задана функция двух переменных f(x,y). Введем новые координаты u,v, повернутые относительно x,y на угол  (см. таблицу 5.1). При различных  получим набор проекций:

Р (v) = (5.4)
Таким образом, задача восстановления функции f(u,v) по функции Р(v) сводится к решению интегрального уравнения (5.4).


Таблица 5.1.

Связь между системами координат, применяемыми в вычислительной томографии




Плоскость сечения


Фурье-плоскость





Неподвижная система

x,y

x=vcos-usin, y=vsin+ucos



x,y

x=Vcos-Usin, y=Vsin+Ucos



Подвижная система

u,v

u=-xsin+ycos, v=xcos+ysin



U,V

U=xcos+ysin, V=-xsin+ycos



Полярные координаты

r, 

x=rcos , y=rsin



|V|, 

x=|V| cos, y=|V| sin


Алгоритмы решения можно разбить на три группы:



а) Восстановление сечений с использованием Фурье-преобразования.

Перейдем от функции f(x,y) к ее Фурье-образу F(x,y) и, соответственно, от f(u,v) к Фурье-образу F(U,V) (U=u, V=v - повернутые на угол  координаты в Фурье-плоскости) (см. таблицу 5.1)


, (5.5)

. (5.6)
Положим в последней формуле U=0:

(5.7)

Мы видим, сравнив (5.7) с (5.4), что Фурье-образ искомой функции в точках Фурье-плоскости, лежащих на прямой U=0, есть одномерный Фурье-образ соответствующей проекции Р(v).



Следовательно, вообще говоря, вычисляя Фурье-образы проекций, полученных при разных , мы можем найти Фурье-образ искомой функции во всех точках Фурье-плоскостиx,y и восстановить f(x,y) по формуле (5.5). Переходя в Фурье-плоскости к полярным координатам и используя формулы из таблицы 5.1, а также (5.7), получим:

=. (5.8)
Hа формуле (5.8) построен ряд конкретных вычислительных алгоритмов, в частности,

Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3   4   5


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница