1. Некоторые замечания о Геометрии и Компьютере вообще



страница1/5
Дата13.06.2018
Размер0.58 Mb.
  1   2   3   4   5





Алексей Мякишев
Элементарная геометрия и компьютер.


Москва, 2006 г.

1. Некоторые замечания о Геометрии и Компьютере вообще.

Понятию «Элементарная Геометрия» (на плоскости) едва ли можно дать точное определение и заключить его в какие-то строгие рамки. С точки зрения большинства школьных учебников, это, по-видимому, дисциплина, изучающая свойства объектов, которые можно построить циркулем и линейкой – причем изучающая « с точностью до подобий» (т.е. среди всех преобразований плоскости рассматриваются лишь движения и подобия).

Однако, если мы присоединим сюда конические сечения, аффинные и проективные преобразования, инверсию, изогональное и изотомическое сопряжения и даже некоторые кубические кривые, естественным образом возникающие при исследовании различных свойств треугольника (также представляющего собой «кубику») – выйдем ли мы за пределы того, что можно еще называть «Элементарная Геометрия»? Все же боязно в этом случае отбросить прилагательное «элементарная» или заменить другим – ведь в сравнении с такими разделами Геометрии, как, скажем, «Алгебраическая» или «Дифференциальная» очень уж скудными представляются применяемые здесь методы.1

Как бы оно там ни было, в этой статье мы будем использовать термин «Элементарная Геометрия» скорее в «расширенном» смысле, а для краткости писать, где нужно, просто «Геометрия».

Многие учителя знают: Геометрия доставляет богатейший материал для развития логического мышления, фантазии и математической культуры их подопечных. Но при всем притом, зачастую, увы, сам предмет воспринимается, как нечто вполне завершенное и полностью сформированное, застывшее в своем развитии – нечто вроде мертвого языка, наподобие латыни. Такое представление совершенно не соответствует действительности.

Рождаются все новые интересные теоремы и конструкции (даря, как и положено, их созидателям, пожалуй, наивысшую радость, доступную человеку – радость Творчества).

И порой сопоставимые с общепризнанными шедеврами, ставшими достоянием Мировой Культуры. (Такими, к примеру, как прямая или окружность Эйлера, теорема Морлея и т.д.) Более того, последние 10 -15 лет Геометрия, можно сказать, находится на подъеме2.

И в этом огромную роль сыграл Компьютер.

Во-первых, Интернет. У людей, разделенных тысячами километров, появилась возможность мгновенного общения друг с другом, доступа к различным книжным раритетам и объединения по интересам. В частности, любители Геометрии создали свой сайт:

http://tech.groups.yahoo.com/group/Hyacinthos/

- Гиацинты.

На этом сайте можно получить авторитетную консультацию по любому вопросу, связанному с Геометрией – будь то ссылка на необходимую Вам литературу, степень новизны того или иного результата и т.д.

Появились и другие сайты, в той или иной мере связанные с Геометрией.

Укажем некоторые адреса:

http://forumgeom.fau.edu/

- электронный журнал, публикующий новые теоремы или доказательства;



http://paideiaschool.org/TeacherPages/Steve_Sigur/geometryIndex.htm

- страничка американского математика Стива Сигура;



http://forumgeom.fau.edu/faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html

- электронная энциклопедия замечательных точек треугольника;



http://www.mccme.ru/

- Московский Центр Непрерывного Математического Образования;



http://www.etudes.ru/index.php

- Математические Этюды.

Итак, компьютер подарил возможность практически неограниченного и высокоскоростного обмена информацией.

Во-вторых, были созданы чудо-программы, такие как канадская «The Geometers Sketchpad» (примечательно, что русифицированная версия называется «Живая Геометрия») и французская «Cabri Geometry». С их помощью можно проверять истинность всевозможных геометрических гипотез.

Для тех, кто с этими программами не знаком, поясним, как это происходит, на простом примере. Предположим, возникла необходимость выяснить, справедливо ли утверждение: «в любом треугольнике его медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины». Допустим далее, что по каким-то причинам мы не знаем, так ли это на самом деле, а поиск непосредственного доказательства считаем мероприятием рискованным, потому что вдруг это не так, и тогда как ни старайся – все равно ничего не докажешь. Выход из этой сложной ситуации, однако, имеется. Запустим «Живую Геометрию», нарисуем некоторый треугольник, проведем в нем медианы, и убедимся, что они пересекаются в одной точке и делятся ею в нужном отношении (программа с легкостью справляется с функцией циркуля и линейки, вычисляет отношения длин – будучи, конечно, способной и на гораздо большие подвиги). Теперь наступил ключевой момент: программа позволяет деформировать треугольник, смещая положения вершин и произвольным образом меняя длины сторон и величины углов. И мы видим, что исходное предположение выполняется, как бы мы не деформировали треугольник.3 Т.е., мы можем не только моделировать ту или иную геометрическую конструкцию, но и наблюдать ее в динамике.

Понятно, что эти две, и подобные им, программы являются мощным оружием в руках геометров, жаждущих новых фактов. И теперь даже новичок, не слишком отягощенный бременем знаний, но зато со свежим восприятием предмета, имеет шанс открыть «что-нибудь эдакое». Естественно, у искушенного знатока, располагающего опытом и сильно развитой интуицией, таких шансов больше, но бывали случаи, когда и новичкам везло. (См. Пример 2 далее.)

Во второй части статьи мы приведем (без доказательств - читатель сможет, при желании, найти их, обратившись к соответствующим ссылкам) несколько примеров новых теорем, открытых с помощью компьютера. Все они родились в начале этого столетия.

А часть первую представляется уместным завершить цитатой из последней статьи выдающегося отечественного Геометра Игоря Федоровича Шарыгина (1937-2004).

(Статья озаглавлена «Нужна ли школе 21-го века Геометрия?» и напечатана в журнале «Математическое просвещение», Третья серия, выпуск 8 – М.: МЦНМО, 2004.)

«Заметным явлением сегодняшней цивилизации стал компьютер. И здесь особо следует сказать о взаимоотношениях между геометрией и компьютером. С одной стороны, геометрический тип рассуждений наименее поддается компьютеризации. (А отсюда, в частности, следует, что его сохранение и развитие особенно важно именно в настоящее время.) Геометрия остается одной из немногих сфер интеллектуальной деятельности, где человек еще не проиграл соревнование компьютеру.4 А с другой, - компьютер является очень полезным инструментом в геометрических исследованиях. С его помощью можно экспериментально обнаруживать новые интересные геометрические факты. Человеку же остается важнейшая роль - эти факты доказывать (всего лишь!)5. При этом в геометрическую деятельность с использованием компьютеров могут включаться школьники и сильные и слабые (с точки зрения математики), технари и гуманитарии. И получается, что первонаука, которой является геометрия, получила новый толчок к развитию, как образовательный предмет и как наука, благодаря самым современным компьютерным технологиям».

2. Некоторые примеры взаимоотношений.

Пример 1. Окружность Ламуна.

Автор: Floor van Lamoen.



Центры окружностей, описанных около шести треугольников, на которые произвольный треугольник разбивается своими медианами, лежат на одной окружности.

Об истории открытия этой замечательной теоремы можно узнать из переписки между автором открытия и знаменитым математиком Джоном Конвеем.

Вот фрагмент (полный текст хранится в архивах Гиацинтов):

[JHC]: May I ask, Floor, whether you found this lovely theorem as a consequence of some theory, or whether it was just conjectured by “drawing the picture”, so to speak?

[FVL]: It was an example that Clark Kimberling gave in TCCT6 as a conic in a “Cevasix” configuration. When I saw the figure with the six circumcenters, I thought that the conic could be a circle. So it was by drawing the picture. Then I tried to prove syntheticly, and that was not too difficult.

Фраза “by drawing the picture” подразумевает, «по умолчанию», очевидное продолжение: «рукою Железного Друга».



Доказательство самой теоремы (и обратной к ней) можно найти в статье А.Мякишева «Точка пересечения медиан треугольника», опубликованной в газете «Математика» (№43,44,46,48 – 2003).



Пример 2. Прямая Эйлера четырехугольника.

Автор: Ярослав Ганин.



В произвольном четырехугольнике ABCD ортоцентр7 треугольника BCD обозначим Ha ,

треугольника CDA - Hb, треугольника DAB - Hc и треугольника АВС - Hd. Пусть Н – точка пересечения диагоналей четырехугольника . Рассматривая далее вместо ортоцентров – центроиды8 и центры описанных окружностей, аналогично построим точки G и О. Тогда точки H, G, O лежат на одной прямой и HG:GO=2:1.9

Ярослав обнаружил этот красивый факт в начале 2006 года, будучи тогда еще учащимся 11-го класса. Доказательство имеется в сборнике «Учим математике» - М.: МЦНМО, 2004 - в статье А.Мякишева «О некоторых прямых, связанных с четырехугольником».





Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3   4   5


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2019
обратиться к администрации

войти | регистрация
    Главная страница


загрузить материал