1. (помните про Ефима)



Скачать 100,04 Kb.
Дата20.10.2016
Размер100,04 Kb.
8 класс

http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/1ecc5e54-664c-2090-0e63-8a362382acb3/79134.jpg


1. (помните про Ефима) Докажите, что любые две непересекающиеся окружности можно перевести подходящей инверсией в две концентрические окружности.

2. Даны четыре точки A , B , C , D . Известно, что любые две окружности, одна из которых проходит через A и B , а другая — через C и D , пересекаются. Докажите, что общие хорды всех таких пар окружностей проходят через одну точку.

3. (гнусная теория) Докажите, что если две окружности инверсны, то они и гомотетичны с этим же центром. Верно ли обратное утверждение?

4. (остаток на инверсию) Даны две концентрические окружности. Каждая из окружностей b1 и b2 касается внешним образом одной окружности и внутренним – другой, а каждая из окружностей c1 и c2 касается внутренним образом обеих окружностей. Докажите, что 8 точек, в которых окружности b1 , b2 пересекают c1 , c2 , лежат на двух окружностях, отличных от b1 , b2 , c1 , c2 . (Некоторые из этих окружностей могут выродиться в прямые.

5. (казалось бы, при чем тут Аполлоний? Считайте, как хотите) Даны две точки A и B. Найдите ГМТ X, для которых AX:BX=k, где k–константа, не равная 1.http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/1ecc5e54-664c-2090-0e63-8a362382acb3/79133.jpg

6. (решайте как хотите – минимум n способов) AB – хорда окружности S . Окружности S1 и S2 касаются окружности S в точках P и Q соответственно и отрезка AB в точке K . Оказалось, что PBA= QBA . Докажите, что AB – диаметр окружности S .

7. Даны полуокружность с диаметром AB и центром O и прямая, пересекающая полуокружность в точках C и D , а прямую AB – в точке M. Пусть K – отличная от O точка пересечения окружностей, описанных около треугольников AOC и DOB . Докажите, что угол MKO – прямой.

8. Поризм Штейнера. Докажите, что если существует цепочка окружностей S1, S2,..., Sn, каждая из которых касается двух соседних (Sn касается Sn - 1 и S1) и двух данных непересекающихся окружностей R1 и R2, то таких цепочек бесконечно много. А именно, для любой окружности T1, касающейся R1 и R2 (одинаковым образом, если R1 и R2 не лежат одна в другой, внешним и внутренним образом в противном случае), существует аналогичная цепочка из n касающихся окружностей T1, T2,..., Tn.

Теория по аффинке

(решать по мере понимания и понимать по мере решения)

1. Докажите, что если M' и N' — образы многоугольников M и N при аффинном преобразовании, то отношение площадей M и N равно отношению площадей M' и N'. http://upload.wikimedia.org/wikibooks/ru/5/51/spreserve.jpg

2.Докажите, что любой выпуклый четырехугольник, кроме трапеции, аффинным преобразованием можно перевести в четырехугольник, у которого противоположные углы прямые.

3. Каждая диагональ выпуклого пятиугольника параллельна одной из его сторон. Докажите, что аффинным преобразованием этот пятиугольник можно перевести в правильный пятиугольник.

4. Докажите, что любой выпуклый шестиугольник ABCDEF, в котором каждая сторона параллельна противоположной стороне, аффинным преобразованием можно перевести в шестиугольник с равными диагоналями AD,BE и CF.

5. На плоскости дан многоугольник A1A2...An и точка O внутри его. Докажите, что равенства i=1, 2, ….n, A0=An, An+1=A1, необходимы и достаточны для того, чтобы существовало аффинное преобразование, переводящее данный многоугольник в правильный, а точку O — в его центр. http://dic.academic.ru/pictures/bse/gif/0257408936.gif



6. *Верно ли, что если любое биективное преобразование плоскости, переводящее прямую в прямую, является аффинным?

7. Аффинное преобразование циклически меняет местами вершины треугольника ABC, т.е. переводит точку A в точку B, точку B в точку C, а точку C в точку A. Найти все неподвижные точки этого преобразования. https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:and9gctjzs6yewqejrlszleudxjqcncq_hmmzx8yh23jjumoch4zbemw

8. Доказать, что у каждого аффинного преобразования найдется пара перпендикулярных прямых, переходящая в пару перпендикулярных прямых.

9. Докажите, что если при аффинном преобразовании какая-то окружность переходит в окружность, то это – движение.



Собственно задачки

  1. В трапеции ABCD точка пересечения диагоналей делит диагональ AC пополам. Докажите, что ABCD - параллелограмм.

  2. Через каждую вершину треугольника проведены 2 прямые, делящие противоположную сторону треугольника на три равные части. Доказать, что диагонали, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, образованного этими прямыми, пересекаются в одной точке.

  3. В остроугольном треугольнике ABC проведена высота AH, медиана AM, медиана BN и чевиана BG, причем точка G делит сторону AC в таком же отношении, в каком точка H делит сторону BC. Обозначим точку пересечения BN и AH через К и точку пересечения AM и BG через L. Докажите, что KL параллельно AB.

  4. Точки A1, B1, C1 и D1 – середины сторон AB, BC, CD, DA параллелограмма ABCD. Докажите, что четырехугольник с вершинами в точках пересечения прямых AB1, BC1, CD1 и DA1 – параллелограмм и найдите его отношение к площади данного параллелограмма.

  5. На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC выбраны соответственно точки M, N, P и построены симметричные им точки M1, N1, P1 относительно середин этих сторон соответственно. Докажите, что треугольники MNP и M1N1P1 равновелики.

  6. На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC выбраны соответственно точки M, N, P и построены точки M1, N1, P1 так, что прямая MM1 параллельна BC, прямая NN1 параллельна CA, прямая PP1 параллельна AB. Докажите, что треугольники MNP и M1N1P1 равновелики.

  7. Через внутреннюю точку O треугольника ABC проведены три прямые, параллельные сторонам треугольника, пересекающие его стороны AB в точках K и L, BC - в точках M и N, CA - в точках P и Q, где KN параллельно AC, MQ параллельно AB, LP параллельно BC. Доказать, что

  8. На сторонах AB, BC, CD, DA параллелограмма ABCD выбраны точки A1, B1, C1, D1. На сторонах A1B1, B1C1, C1D1, D1A1 четырехугольника A1B1C1D1 выбраны точки A2, B2, C2, D2 Известно, что Докажите, что A2B2C2D2 - параллелограмм, подобный параллелограмму ABCD .

  9. В треугольнике ABC проведены чевианы AM и BN, которые пересекаются в точке O. Докажите, что середины отрезков CO, MN и AB лежат на одной прямой.

  10. Через точку P, лежащую внутри треугольника ABC, проведены прямые l, m, n параллельные сторонам AB, BC, CA. A', B', C' - точки пересечения прямых l и BC, m и AC, n и AB. Доказать, что PA':AB + PB':BC + PC':CA = 1.

  11. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC через точку В проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая диагональ AC в точке P, а через точку C – прямая, параллельная стороне AB и пересекающая диагональ BD в точке Q. Доказать, что прямая PQ параллельна основаниям трапеции.

  12. (Имени Вовы Черепанова) Дан треугольник ABC. Через точку X, лежащую внутри него, проводится отрезок cX, параллельный AB, с концами на сторонах AB и BC, и отрезок bX, параллельный AC, с концами на сторонах AB и CB. Докажите, что все точки X, для которых длины отрезков bX и cX равны, лежат на одной прямой.

  13. В параллелограмме ABCD на сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно так, что AM = NC, Q – точка пересечения отрезков AN и CM. Докажите, что DQ – биссектриса угла D.

  14. На сторонах AB, BC и CD параллелограмма ABCD взяты точки K, L и M соответственно, делящие эти стороны в одинаковых отношениях. Пусть b, c и d – прямые, проходящие через точки B, C и D параллельно прямым KL, KM, ML соответственно. Докажите, что b, c, d пересекаются в одной точке.


Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница