Алгебраическая информатика: конечные поля, коды и алгоритмы



страница1/3
Дата29.10.2016
Размер0,65 Mb.
  1   2   3

  1. Алгебраическая информатика: конечные поля, коды и алгоритмы



Цель курса:
Многие бурно развивающиеся отрасли технологий требует знания современной алгебры и базируется на синтезе теоретических областей (теории групп, колец, полей, квадратичных форм, решеток, укладок и покрытий, алгебраической геометрии и теории чисел) с прикладными разделами. В курсе дается изложение теоретических основ алгебраический информатики, а также ее приложений. Для одной группы приложений оно концентрируется вокруг теории базисов Грёбнера, для другой - вокруг теории алгебраических чисел и теории эллиптических кривых.
Задачи курса:
Изложить теорию конечных полей, обсудить базисные понятия и результаты теории кодирования, рассмотреть важнейшие типы кодов. Дать введение в соответствующие разделы алгебраической геометрии и теории решеток. Рассмотреть конструкции и свойства алгебро-геометрических кодов и кодов, связанных с решетками. Дать введение в вычислительную алгебру, облегчив слушателям освоение теоретического материала за счет рассмотрения примеров конкретных вычислений, иллюстрирующих общетеоретические понятия. Итоговая задача: добиться уровня овладения изложенным материалом, который позволит слушателям самостоятельно работать в этой области.
Программа курса
Часть 1. Конечные поля и коды

◦ Строение конечных полей. Следы, нормы и базисы. Представление элементов конечных полей.

◦ Многочлены над конечными полями. Построение неприводимых многочленов. Разложение мно-гочлена на множители.

◦ Теорема Шеннона. Блочные коды. Линейные коды. Коды Хемминга. Весовой энумератор кода.

◦ Коды Адамара. Бинарный и тернарный коды Голея. Группы Матье. Коды Рида—Мюллера.

◦ Границы для кодов. Граница Гилберта. Граница Варшамова—Гилберта.

◦ Циклические коды. Коды Рида—Соломона. Квадратично вычетные коды.

◦ Коды Гоппы.

◦ Подготовительный материал из алгебраической геометрии. Алгебраические кривые. Дивизоры. Дифференциальные формы. Теорема Римана—Роха. Рациональные точки кривых над полем оп-ределения.

◦ Введение в теорию эллиптических кривых. Основные определения, эллиптические интегралы и эллиптические функции. Отображения между эллиптическими кривыми. Изогении. Комплексное умножение. Гильбертовы поля классов. Ранг и L-функция. Гипотеза Таниямы—Вейля. Гипотеза Бёрча и Свиннертон-Дайера.

◦ Кривые над конечными полями. Дзета-функция. Эллиптические кривые над конечным полем.

◦ Конструкции алгебро-геометрических кодов. Примеры.

◦ Оценки параметров алгебро-геометрических кодов. Асимптотические результаты.
Часть 2. Алгоритмы алгебраических вычислений

◦ Решетки в n–мерном евклидовом пространстве, упаковки шаров и коды, исправляющие ошибки.

Связь энумераторов кодов с тета-функциями решеток и конечными группами, порожденными отражениями.

◦ Кольца и идеалы. Гомоморфизмы. Полиномиальные кольца. Упорядочение мономов. Алгоритм деления в кольце полиномов. Мономиальные идеалы и лемма Диксона.

◦ Теорема Гильберта о базисе. Базисы Грёбнера, их свойства. Алгоритм Бухбергера.

◦ Теория исключения. Решение систем полиномиальных уравнений. Геометрические приложения.

◦ Алгоритмы линейной алгебры. LLL-алгоритм нахождения редуцированного базиса в решетке, его приложения к нахождению базисов в ядре и образе целочисленной матрицы и коротких векторов в решетке.

◦ Алгоритмы теории полиномов от одного переменного. Алгоритм Евклида. Алгоритм Коллинза. Результанты и дискриминанты. Факторизация полиномов с коэффициентами в простом конеч-ном поле. Факторизация полиномов с рациональными коэффициентами. Факторизация полино-мов с целочисленными коэффициентами.

◦ Алгебраические числа. След, норма, характеристический полином. Порядки и идеалы. Единицы, регулятор и классы идеалов. Основные вычислительные проблемы теории алгебраических чисел.

◦ Алгоритмы для квадратичных полей. Вычисление числа классов мнимого квадратичного поля. Вычисление групп классов мнимых и вещественных квадратичных полей. Вычисление фунда-ментальной единицы и регулятора.

◦ Вычисление максимального порядка. Разложение простых чисел. Вычисление групп Галуа.

◦ Алгоритмы для эллиптических кривых над полем комплексных чисел. Вычисление Вейрштрас-совой нормальной формы по периодам и наоборот.

◦ Алгоритмы для эллиптических кривых над конечным простым полем. Вычисление числа рациональных точек.

◦ Алгоритмы для эллиптических кривых над полем рациональных чисел. Алгоритм Тейта. Алгоритм описания кручения в группе рациональных точек. Алгоритм вычисления L-функции.


Список литературы
1. Э. Берлекэмп, Алгебраическая теория кодирования, Мир, М., 1971.

2. Т. Касами, Н. Токура, Ё. Ивадари, Я. Инагаки, Теория кодирования, Мир, М., 1978.

3. Ф. Дж. Мак-Вильямс, Н. Дж. Слоэн, теория кодов, исправляющих ошибки, Связь, М., 1979.

4. Р. Лидл, Г. Нидеррайтер, Конечные поля, тт. 1 и 2, Мир, М., 1988.

5. Дж. Конвей, Н. Слоэн, Упаковки шаров, решетки и группы, тт. 1 и 2, Мир, М.,1990.

6. С. Г. Влэдуц, Д. Ю. Ногин, М. А. Цфасман, Алгеброгеометрические коды. Основные понятия, МЦНМО, М., 2003.

7. С. Г. Влэдуц, Ю. И. Манин, Линейные коды и модулярные кривые, Итоги науки и техники. Современные проблемы математики, т. 25, ВИНИТИ, М., 1984.

8. С. А. Степанов, Арифметика алгебраических кривых, Наука, М.,

9. П. Камерон, Дж. Ванн Линт, Теория графов, теория кодирования и блок-схемы, Наука, М., 1980.

10. J. H. van Lint, Introduction to Coding Theory, 3rd ed., Graduate Texts in Mathematics, Vol. 86, Springer, Berlin, 1999.

11. J. H. van Lint, G. van der Geer, Introduction to Coding Theory and Algebraic Geometry, Birkhäuser Verlag, Basel, 1988.

12. H. Cohen, A Course in Computational Algebraic Number Theory, 3rd ed., Springer, Berlin, 1996.

13. Д. Кокс, Дж. Литтл, Д. О’Ши, Идеалы, многообразия и алгоритмы, Мир, М., 2000.

14. В. А. Уфнаровский, Комбинаторные и асимптотические методы в алгебре, Итоги науки и техни-ки. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т. 57, ВИНИТИ, М., 1990.

15. Д. Дэвенпорт, И. Сирэ, Э. Турнье, Компьютерная алгебра, Мир, М., 1991.

16. B. Mishra, Algorithmic Algebra, Springer-Verlag, New York, 1993.

17. Т. Becker, V. Weispfenning, Gröbner Bases, Springer-Verlag, New York, 1993.

18. M. Mignotte, Mathematics for Computer Algebra, Springer-Verlag, New York, 1992.



2. Асимптотический анализ и многомасштабное осреднение

Цель курса: изложение асимптотических методов построения решений уравнений с частными производными, важных в механике жидкостей и в теории теплопроводности; в первой «механической» части обращено особое внимание на нелинейные эффекты, которые удается описать с помощью осреднения (или комбинации осреднения с техникой пограничного слоя) при изучении течений в рамках уравнений Навье-Стокса; во второй части основную роль играют объекты симплектической геометрии и специальные интегральные преобразования.
Задачи курса: обучить общему подходу, позволяющему строить асимптотику решений математических моделей, возникающих как в многомасштабной пористой среде, так и в погранслоях сложной структуры над поверхностями с одиночными локализованными возмущениями и с периодическими неровностями; обучить методу канонического оператора в виде Маслова (или интегральных операторов Фурье) для параболических уравнений, а также методу, основанному на разложении дельта-функции Дирака по гауссовым экспонентам.
Программа курса

1. Метод осреднения. Построение осциллирующих решений для линейных уравнений теплопроводности и волнового с осциллирующими коэффициентами. Математическая модель фильтрации газа в слоистой среде: нелинейное параболическое уравнение с осциллирующим коэффициентом.

2. Асимптотические решение систем уравнений Стокса и Навье-Стокса в пористой среде. Модели «частиц в ячейках». Многомасштабные пористые среды, многомасштабные асимптотические решения. Поправки к уравнениям Дарси.

3. Течение несжимаемой жидкости вдоль поверхностей с неровностями: - солитоноподобная неровность, трехпалубная структура Смита-Стюартсона, - солитоноподобное возмущение, двухпалубная структура, - малые периодические неровности, двухпалубная и трехпалубная структуры течения. Устойчивость двухпалубной структуры. Рождение и затухание вихрей в двухпалубном погранслое. Алгоритмы численного решения уравнения, описывающего течение в приповерхностной области.

4. Представление дельта-функции через гауссову экспоненту с помощью операторов рождение-уничтожение. Асимптотика на малых временах фундаментального решения задачи Коши для уравнения Колмогорова-Феллера: - геометрия лагранжевых подмногообразий, отвечающих задаче,

- построение интегрального представления, - обоснование построенной асимптотики,

- исследование качественных свойств фундаментального решения для некоторых вырожденных коэффициентов диффузии, - фундаментальное решение для бездиффузионного уравнения Колмогорова-Феллера и его свойства.

5. Построения асимптотики фундаментального решения краевых задач на основе интегрального представления дельта-функции с помощью операторов рождение-уничтожение.


Список литературы
1. Н.С. Бахвалов, Г.П. Панасенко, Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов / М.: Наука, 1984.

2. В. П. Маслов, Асимптотические методы и теория возмущений / М.: Наука, 1988

3. Э. Санчес-Паленсия, Неоднородные среды и теория колебаний / М.: Мир, 1984.

4. V.G. Danilov, V.P. Maslov, K.A.Volosov, Mathematical Modelling of Heat and Mass Transfer Processes / Kluwer Acad. Publ., 1995.

5. V.G. Danilov, S.M. Frolovitchev, Exact asymptotics of the density of the transition probability for discontinuous Markov processes / Math. Nachr. 215 (2000), 55–90.

6. V.G. Danilov, A representation of the delta function via creation operators and Gaussian exponentials, and multiplicative fundamental solution asymptotics for some parabolic pseudodifferential equations / Russian J. Math. Phys. 3 (1995), no. 1, 25–40.

7. V.G. Danilov, M.V. Makarova, Asymptotic and numerical analysis of the flow around a plate with small periodic irregularities / Russian J. Math. Phys. 2 (1994), no. 1, 49–56.

8. J. Cousteix, J. Mauss, Asymptotic analysis and boundary layers / Springer, 2007


3. Астромеханика; моделирование многих тел
Цель курса:

Целями освоения курса «Методы и модели небесной механики» являются изучение фундаментальных законов движения механических систем, приобретение навыков математического моделирования механических систем, ознакомление с методами интегрирования уравнений движения и анализа поведения механических объектов.


В результате освоения дисциплины обучающийся должен демонстрировать следующие результаты образования:

1) Знать: основные законы механики, методы составления уравнений движения и методы их решения.

2) Уметь: анализировать результаты, полученные на основе принятых моделей, оценивать погрешности от неучтенных сил и неадекватности используемой модели.

3) Владеть методикой математического моделирования механических систем в новых областях исследований связанных с космосом.


Программа курса

Раздел 1. Динамика системы свободных материальных точек

Система N материальных точек, уравнения ее движения. Внутренние и внешние силы. Теорема об изменении количества движения. Момент количеств движения материальных точек в абсолютном движении и в движении относительно осей Кенига. Теоремы об их изменении. Кинетичекая энергия системы материальных точек в абсолютном движении и в движении относительно осей Кенига. Теоремы об их изменении. Закон сохранения энергии. Постановка задачи N тел. Лемма Лагранжа-Якоби. Необходимое условие ограниченности взаимных расстояний. Задача двух тел. Ограниченная круговая задача трех тел. Точки либрации. Линеаризованные уравнения движения тела в окрестности точки либрации . Многообразие периодических движений. Движение двух астероидов, связанных упругой нитью.


Раздел2. Динамика системы переменного состава

Основные определения и теоремы динамики систем переменного состава. Обобщенное уравнение Мещерского для точки переменного состава. Формула Циолковского.


Раздел 3. Динамика твердого тела

Движение свободного твердого тела. Активные силы и реакции связей. Уравнения движения.

Эквивалентные силовые поля. Приведение системы сил к точке. Приведение сил тяжести к центру масс тела. Тензор инерции, моменты инерции, эллипсоид инерции твердого тела. Теорема Штейнера. Движение твердого тела с одной неподвижной точкой. Динамические уравнения Эйлера. Однородное силовое поле. Случай Эйлера движения твердого тела с неподвижной точкой. Геометрическая интерпретация Пуансо. Регулярная прецессия. Случай Лагранжа движения симметричного твердого тела. Вырожденные движения в случае Лагранжа: регулярная прецессия, вращение вокруг вертикали, асимптотические движения. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Определение реакций связей.Физический маятник. Теорема Гюйгенса. Движение свободного твердого тела переменного состава. Вращение вокруг неподвижной точки и оси.
Раздел 4. Гамильтонова механика

Канонические уравнения Гамильтона. Первые интегралы. Вариационный принцип Гамильтона-Остроградского в конфигурационном и фазовом пространствах. Интегральный инвариант Пуанкаре-Картана. Условие гамильтоновости фазового потока. Понижение порядка канонических уравнений с помощью интеграла энергии. Уравнения Уиттекера. Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема и теорема Пуанкаре о возвращении. Каноническое преобразование, его производящая функция. Критерий каноничности преобразования. Функция действия и ее свойства. Уравнение Гамильтона-Якоби. Теорема Якоби. Отыскание полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби методом разделения переменных. Скобки Пуассона и их свойства. Теорема Пуассона. Теорема Лиувилля о вполне интегрируемых гамильтоновых системах. Канонические переменные действие-угол. Переменные Делоне в задаче Кеплера-Ньютона и переменные Андуайе в задаче о движении твердого тела с неподвижной точкой. Элементы теории возмущений: метод вариации произвольных постоянных и метод усреднения. Пример задача Ван-Дер-Поля. Эволюция движения спутника под действием силы сопротивления в переменных Делоне. Связь оскулирующих переменных с переменными Делоне. Эволюция вращения твердого тела в переменных Андуайе под действием момента сил сопротивления.


Раздел 5. Методы проектирования орбит.

Линейная теория. Учет нелинейности и численный метод. Влияние технических ограничений на проектирование миссий. Перечень и природа технических ограничений. Влияние даты старта на гало-орбиту при фиксированном значении восходящего узла. Влияние долготы восходящего узла на характеристики гало-орбиты. Промежуточные орбиты. Возможность маневров при ограничениях на направление импульса. Получение данных о векторах состояния Земли и астероидов. Решение задачи Ламберта. Поиск оптимальных орбит перелета. Проверка полученных решений.



Раздел 6. Разработка методов управления орбитальным движением для траекторий в окрестности точек либрации.

Возмущающие гравитационные силы. Негравитационное возмущение. Построение траектории движения космического аппарата в окрестности точки либрации. Описание математической модели движения КА. Уравнения движения аппарата. Уравнения движения Луны. Уравнения движения Солнца. Построение траектории движения КА. Построение гало-орбиты в окрестности точки либрации. Коррекция траектории КА.



Раздел 7. Пилотируемые миссии. Схемы полета к астероидам Главного пояса

Миссии в сфере влияния Земли. Миссии за сферой влияния Земли. Миссии к околоземным астероидам.

Схемы с использованием орбиты ожидания у Марса. Выбор оптимизируемого функционала. Формализация задачи. Постановка задачи оптимизации. Аналитическая модель расчета энергетических затрат. Аналитическая модель расчета прямого перелета.

Аналитическая модель расчета полета с использованием орбит спутника Марса. Определение оптимальной схемы полета. Выбор астероидов – целей экспедиции.

Численные модели и методика оптимизации схемы прямого перелета к астероиду. Результаты оптимизации схемы прямого перелета. Методика оптимизации схемы полета с использованием орбиты ожидания у Марса. Оптимизация межпланетных участков перелета. Определение схемы полета, обеспечивающей минимальные энергетические затраты.

Раздел 8. Схемы полета к другим небесным телам Солнечной системы.

Полет к Меркурию через Венеру. Численный синтез оптимальных схем полета. Определение оптимальной схемы полета. Полет к Нептуну через Юпитер. Полет к Юпитеру через Марс. Полет к астероидам, сближающимся с Землей.


Литература


  1. Вильке В.Г.Теоретическая механика (1,2 или 3 издания)

  2. Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики.

  3. Маркеев А.П. Теоретическая механика (1 или 2 издания).

  4. Болотин С.В. Карапетян А.В. Кугушев Е.И. Трещев Д.В. Теоретическая механика.

  5. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М.: Наука, 1981.

  6. Пятницкий Е.С., Трухан Н.М., Ханукаев Ю.И., Яковенко Г.Н. Сборник задач по аналитической механике. М.: Наука, 1981.

  7. Задачник по теоретической механике. Коллектив авторов под редакцией К.Е.Якимовой. Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2008.



Дополнительная литература:

  1. Trajectory Design from Geosynchronous Transfer Orbit to Near-Earth Asteroids // 1st IAA Planetary Defense Conference: Protecting Earth from Asteroids 2009. Conference CD available from esa.conference.bureau@esa.int.

  2. Farquhar R.W., Dunham D.W., Jen S.-C. Contour Mission Overview and Trajectory Design // Advances in the Astronautical Sciences. 1997. № 95. P. 921–934.

  3. Genova A.L., Dunham D.W., Williams B.G. Flexible Trajectory Design from Geosynchronous Transfer Orbit to Near-Earth Asteroids // 1st IAA Planetary Defense Conference: Protecting Earth from Asteroids 2009. Conference CD available from esa.conference.bureau@esa.int.

  4. Farquhar, R. W.-.The Flight of ISEE-3/ICE: Origins, Mission History, and a Legacy, J. Astronautical Sciences, Vol. 49, No. 1, January 2001, pp. 23-73 and presented at the AIAA/AAS Astrodynamics Conference, Boston, Mas­sachusetts, August 11, 1998.

  5. Ogilvie, K. W. et al.-.International Sun-Earth Explorer: A Three-Spacecraft Program, Science, Vol. 198, No. 4313, October 14, 1977, pp. 131-138.

  6. Special Issue on Instrumentation for the International Sun-Earth Explorer Spacecraft, IEEE Transactions on Geoscience Electronics, Vol. GE-16, July 1978.

  7. Dunham, D.:Contingency Plans for the ISEE-3 Libration-Point Mission, AAS Paper 79-129 presented at the AAS/AIAA Astrodynamics Specialist Con­ference, Provincetown, Massachusetts, June 25-27, 1979.

  8. Muhonen, D. P. et al.-.Alternative Gravity Assist Sequences for the ISEE-3 Escape Trajectory, J. Astronautical Sciences, Vol. 33, No. 3, July 1985, pp. 255-288.

  9. Eismont, N., et al.-.Lunar Swingby as a Tool for Halo-Orbit Optimization in Relict-2 Project, ESA SP- 326, December 1991, pp. 435-439.

  10. Uesugi, K.:Space Odyssey of an Angel Summary of the Hiten’s Three Year Mission, Advances in the Astronautical Sciences, Vol. 84, 1993, pp. 607-621.

  11. Dunham, D. W., et al.:Trajisfer Trajectory Design for the SOHO Libration- Point Mission, IAF Paper 92-0066, September 1992.

  12. Domingo, V., et al.-.The SOHO Mission: An Overview, Solar Physics, Vol. 162, No. 1-2, December 1995, pp. 1-37.

  13. Dunham, D. W. et al.-.Double Lunar-Swingby Trajectories for the Spacecraft of the International Solar-Terrestrial Physics Program, Advances in the Astronautical Sciences, Vol. 69, 1989, pp. 285-301.

  14. Franz, H., et al.:WIND Nominal Mission Performance and Extended Mission Design, J. Astronautical Sciences, Vol. 49, No. 1, January 2001, pp. 145- 167 and presented at the AIAA/AAS Astrodynamics Conference, Boston, Massachusetts, August 11, 1998.

  15. Planck Collaboration, “Planck Early Results. I. The Planck Mission,” Astronomy and Astrophysics, vol. 536, A1, December 2011.

  16. Pilbratt G.L., et al., “Herschel Space Observatory,” Astronomy and Astrophysics, vol. 518, L1, 2010.

  17. ESA Science and Technology: Gaia. [Online]. Available: http://sci.esa.int/gaia

  18. Иванов И.М., Лысенко Л.Н., Баллистика и навигация космических аппаратов, М.: Дрофа, 2004.

  19. Hechler M., Cobos J., “Herschel, Planck and Gaia Orbit Design,” Libration Point Orbits and Applications, Gomez G, Lo M.W. and Masdemont J.J., Eds. Singapore: World Scientific Publishing, 2003, pp. 115-135.

  20. Ariane 5 User's Manual, Arianespace, 2011.

  21. A. Sukhanov, N. Eismont, A. Prudkoglyad. Trajectory Design for Experimantal Mission to Sun-Earth L1 and L2 Points Using SEP. Paper presented to this Conference.

  22. Introduction to the Theory of Flight of Artifical Earth Satellites - Moscow, Nauka, 1965. p. 491.

  23. P. Eliasbeng, T. Timokhova. Orbital Correction of Spacecraft in Vicinity of Collinear Center of Libration (in Russian). Space Research Institute Preprint 1003, Moscow, 1985.

  24. D.Novikov, R.Nazirov, N.Eismont. Spacecraft Formation Control in Vicinity of Libration Points Using Solar Sails. Proceedings of the 5th International Symposium of the Academy of Astronautics. 4 - 8 April 2005, Berlin, Germany, pp. 304 - 311, edited by Hans Peter, Rainer Sandau, Arnoldo Valenzuela, De Grayter

  25. Данхэм Д.У., Назиров Р.Р., Чумаченко Е.Н., Эйсмонт Н.А., Симонов А.В. Космические миссии и планетарная защита. 2013 г. Книга сдана в издательство «Физматлит».

4. Вероятностная информатика
Цель курса: познакомить студентов с методами получения и преобразования псевдослучайных чисел, использованием вероятностных представлений для решения задач квантовой механики, математической и статистической физики, а также со средствами статистического моделирования и распараллеливания вычислительных процессов на компьютере в системе Mathematica.

Задачи курса:

Ознакомление с основными характеристиками псевдослучайных чисел и способами преобразования простейших распределений в распределения многочастичных ансамблей взаимодействующих частиц. Освоение функционально-аналитического аппарата теории случайных процессов, служащего основой для построения фундаментальных моделей в естественных науках. Развитие навыков решения задач методами Монте-Карло и Метрополиса.



Программа курса
1. Обзор базовых понятий и методов теории вероятностей и математической статистики, необходимых для освоения данного курса.

2. Псевдослучайные числа, их распределения, отрезки апериодичности и корреляции. Преобразования случайных величин и их распределений, метод обратной функции распределения и метод отбора Неймана. Достоинства и недостатки методов Монте-Карло.

3. Вычислительные ресурсы системы Mathematica для численного моделирования и статистического анализа случайных величин.

4. Марковские цепи и случайные блуждания. Классификация состояний и оценки скорости сходимости к стационарным состояниям. Центральная предельная теорема в конечномерном случае и ее бесконечномерные обобщения. Теорема Перрона—Фробениуса.

5. Метод Монте-Карло для вычисления математических ожидания функционалов случайных величин и процессов. Абсолютно непрерывные преобразования вероятностных мер. Формулы Фейнмана-Каца и Молчанова для преобразования мер винеровского процесса. Модели винеровского процесса и моментов достижения границы. Применения к решению краевых задач для уравнения теплопроводности. Статистические оценки точности вычислений и методы ускорения сходимости.

6. Численное моделирование пуассоновского процесса и вероятностные методы решения задачи Коши для уравнений квантовой механики с периодическими и быстро убывающими потенциалами. Фейнмановский континуальный интеграл в импульсном представлении и его вычисление методом М-К. Матричное представление операторов. Оценки спектра и собственных функций разрешающего оператора.

7. Фейнмановский континуальный интеграл в представлении вторичного квантования и его вычисление методом М-К. Примеры моделирования квантовой динамики электронов в углеродной пленке.

8. Условие детального баланса. Марковские цепи с дискретным и непрерывным множеством состояний. Вычисление средних значений наблюдаемых величин методом канонического и большого канонического ансамблей для различных моделей термостата. Методы релаксации и отжига для заполнения локальных минимумов многочастичных потенциалов взаимодействия.

9. Алгоритмы Метрополиса и Хастингса для моделирования ансамблей частиц с заданным распределением. Пример численной оценки сжимаемости метана в нанопоре.
Список литературы
1. К. Биндер, Д.В. Хеерман, Моделирование методом Монте-Карло в статистической физике. – М.: Наука, 1995. (http://statphys.nm.ru/biblioteka/books/BindrHeerman.djvu)

2. B. Lapeyre, E. Pardoux, R. Sentis, Methode de Monte-Carlo pour les equations de transport et de diffusion. Mathematiques et Applicationes, v.29, Springer, 1998, 185p.

(http://statphys.nm.ru/biblioteka/books/LapeyrePardouxSentis.djvu)

3. D. Frenkel, B. Smit, Understanding Molecular Simulations: From Algorithms to Applications. AP, New York, 2002, 658p. (http://statphys.nm.ru/biblioteka/books/FrenkelSmith.djvu)

4. В.П. Дьяконов, Mathematica 5/6/7. Полное руководство.— М.: «ДМК Пресс», 2009. — С. 624. 

5. А.А. Константинов, В.П. Маслов, А.М. Чеботарев, Вероятностные методы решения задачи Коши для уравнений квантовой механики. Успехи матем. наук, т.45, вып.6, 1990, 3-24. (http://statphys.nm.ru/biblioteka/books/KonstantinovMaslovChebotarev.pdf)



6. А.М. Чеботарев, Введение в теорию вероятностей и математическую статистику для физиков. МФТИ, «Физтех – Полиграф», 2009, 248 с. (http://statphys.nm.ru/biblioteka/lecturesPS/Prob11pt.pdf)

5. Высокопроизводительные вычисления на суперкомпьютерах

Цель курса: ознакомить с новыми высокопроизводительными вычислительными технологиями.
Задача курса: научить слушателей работать с современными суперкомпьютерыми средствами.
Программа курса


    1. Требования к программам для высокопроизводительных вычислений.

Научные и технологические задачи, требующие высокопроизводительных вычислений и параллельного программирования. Современные компиляторы и средства автоматического распараллеливания. Параллельные языки программирования, надстройки над существующими языками. Коммуникационные библиотеки. Распределенные вычисления на Грид.

    2. Теоретические основы параллельных алгоритмов.

Декомпозиция алгоритма. Теория функциональных устройств. Понятия загруженности, производительности и ускорения. Эффективность распараллеливания, законы Амдала. Информационная зависимость операций, графы исполнения, минимальные графы. Параллельная форма алгоритма. Эквивалентные преобразования программ.

    3. Параллельные алгоритмы в вычислительной математике.

Матричные операции, решение систем линейных алгебраических уравнений. Численное интегрирование. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение дифференциальных уравнений в частных производных. Параллельная обработка данных.

    4. Параллельные языки программирования и высокоуровневые библиотеки.

Библиотека Intel Threading Building Blocks. Система DVM. Т-система. Сравнение эффективности распараллеливания с использованием POSIX Threads, OpenMP, Intel TBB и других технологий. Языки функционального программирования. Отладка параллельных программ.

    5. Односторонняя и двухсторонняя модели обмена сообщениями.

Дополнительные возможности стандарта MPI-2. Расширенный набор функций коллективного обмена сообщениями. Односторонние коммуникации, сравнение с библиотекой SHMEM. Примеры алгоритмов. Отладка MPI-приложений.

    6. Применение Грид-технологий и облачных вычислений.

Обзор технологий распределенных вычислений. Распределенные вычисления в Интернет (метакомпьютинг). Вычисления на Грид, основные требования к распределенным системам. Обзор современных технологий (GLOBUS, UNICORE и др.) и развитых Grid-сегментов (EGEE, DEISA, российские Grid-сегменты). Облачные технологии (Cloud computing) и их применение для научных расчетов.

    7. Описание основных Грид-сервисов.

Виртуализация ресурсов в Грид. История проекта Globus и предоставляемые им базовые сервисы. Безопасность и аутентификация в Грид. Диспетчеризация заданий на Grid (resource brokers). Мониторинг состояния задач.

    8. Современные суперкомпьютерные технологии.

Применение суперкомпьютеров. Обзор высокопроизводительных систем в России и за рубежом. Обсуждение последних редакций рейтингов Top-500 и Top-50. Качественный переход от последовательных к массивно-параллельным архитектурам и алгоритмам. Классификация вычислительных систем.

    9. Вычислительные системы с общей памятью.

Внутренний параллелизм современных процессоров, скалярная и суперскалярная архитекутры, конвейер команд. Многоядерные процессоры. Модели взаимодействия с памятью UMA и NUMA. Перспективы наращивания числа ядер, проблема когерентности кэша. Ускорение векторных операций, графические ускорители.

    10. Создание параллельных программ для систем с общей памятью.

Особенности создания параллельных программ для систем с общей памятью. Поддержка параллелизма на уровне операционной системы. Процессы (process) и потоки (threads). Создание многопоточных программ с использованием базовых средств операционных систем Windows (Win32 API) и Linux (POSIX Threads).

    11. Механизмы синхронизации в системах с общей памятью.

Проблемы недостаточной синхронизация потоков. Детерминированность результатов работы программы. Локальные и общие переменные потоков, безопасный доступ к общим переменным. Побочные эффекты, реентерабельность процедур. Объекты синхронизации потоков: критическая секция, взаимное исключение, семафор, событие. Проблемы избыточной синхронизации потоков, тупики. Отладка параллельных программ.

    12. Распараллеливание с использованием технологии OpenMP.

Синтаксис директив OpenMP в языках C и Fortran. Параллелизм по задачам и по данным. Методы распараллеливания циклов: блочное, циклическое, блочно-циклическое. Балансировка загрузки процессоров. Компиляторы с автоматическим распараллеливанием программ.

    13. Архитектура графических ускорителей (GPU).

Сравнение архитектуры графических ускорителей и универсальных процессоров. Применение GPU для вычислений, не связанных с обработкой графических изображений. Структура внутренней памяти GPU и избежание задержек, связанных с обращением к памяти. Кластеры на основе гибридных систем, включающих GPU.

    14. Технология программирования графических ускорителей.

Средства разработки программ для графических ускорителей, технологии CUDA и OpenCL. Примеры программ на языке CUDA. Основные причины неэффективной загрузки GPU: оптимальное число потоков, ветвление, доступ к памяти.

    15. Вычислительные системы с распределенной памятью.

Аппаратная организация современного кластера. Кластеры типа Beowulf. Использование очередей задач в многопользовательской среде. Системы управления очередями задач PBS, Unicore, МСЦ РАН. Средства разработки программ для систем с распределенной памятью.

    16. Программирование для систем с распределенной памятью: технология MPI.

Особенности параллельных алгоритмов на основе передачи сообщений. История создания MPI. Классификация функций MPI и основные понятия. Компиляция и запуск программ. Функции двухточечного обмена сообщениями. Функции коллективного обмена сообщениями.

    17. Тенденции дальнейшего развития суперкомпьютеров.

Путь к Exaflop/s: вызовы и возможности. Технологические ограничения повышения быстродействия процессорных ядер. Проблемы энергопотребления и надежности суперкомпьютеров. Перспективы применения специализированных ускорителей.
Список литературы


  1. Карпов В.Е., Коньков К.А. Основы операционных систем. М.: Интуит, 2004.

  2. Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. М.: БХВ-Санкт-Петербург, 2004.

  3. Богачёв К.Ю. Основы параллельного программирования, М: Бином, 2003.

  4. Петров И.Б., Лобанов А.И. Лекции по вычислительной математике. М: Бином, 2006.

  5. Гергель В.П. Теория и практика параллельных вычислений. М: Бином, 2007.

  6. Левин М.П. Параллельное программирование с использованием OpenMP. М: Бином, 2008.

  7. Адинец А.В., Сахарных Н.А. О системе программирования вычислений общего назначения на графических процессорах // на сайте http://www.parallel.ru/info/VVV

  8. Forster I., Kesselman C. (eds). The Grid: Blueprint for a new computing infrastructure. San Francisco: Morgan Kaufman, 1999.

  9. Интернет-портал по Грид технологиям http://www.gridclub.ru

  10. Официальный сайт проекта RDIG : http://ca.grid.kiae.ru/RDIG

  11. Allen M.P., Tildesley D.J. Computer Simulation of Liquids. Oxford : Clarendon Press, 1989.

  12. Сайт Лаборатории параллельных информационных технологий НИВЦ МГУ http://parallel.ru

  13. Официальная документация и учебные пособия по OpenMP: http://www.openmp.org, http://www.llnl.gov/computing/tutorials/openMP

  14. Официальная документация и учебные пособия по MPI: http://www.mcs.anl.gov/mpi, http://www.lam-mpi.org

  15. Сайт Лаборатории параллельных информационных технологий НИВЦ МГУ http://parallel.ru

  16. Официальная документация и учебные пособия по OpenMP: http://www.openmp.org, http://www.llnl.gov/computing/tutorials/openMP

6. Интегрированные компьютерные системы математических расчетов

Цель курса: научить студентов эффективно использовать интегрированные системы символьных,

графических и численных расчетов такие, как «Математика», «Мэйпл», «Матлаб» и т.п.



Задачи курса: ознакомление студентов с основными характеристиками и возможностями систем компьютерных вычислений, выработка навыков проведения научных расчетов на компьютерах и анализа результатов вычислений.

Программа курса
1. Введение: обзор основных типов и приемов вычислений, автоматизируемых с помощью компьютера.
2. Алгебраические вычисления: тождественные преобразования, упрощение, символьные решения алгебраических уравнений и уравнений, сводящихся к алгебраическим. Вычисления линейной и матричной алгебр.
3. Символьные вычисления математического анализа: дифференцирование, интегрирование, разложения в степенные ряды и ряды Фурье, решения дифференциальных уравнений.
4. Основные виды графических вычислений: построение графиков функций одного и двух аргументов, параметрические кривые и поверхности, изменение стиля и комбинирование рисунков, графические примитивы, техническая мультипликация.
5. Численные методы в интегрированных системах: численное решение алгебраических и дифференциальных уравнений, численное интегрирование, численная оптимизация, численные методы обработки дискретных данных, быстрое преобразование Фурье.
6. Функциональное программирование и программирование в стиле правил преобразований как эффективный инструмент адаптации интегрированных компьютерных систем к нуждам и запросам пользователя-математика.
7. Примеры применения интегрированных компьютерных систем в прикладных научных исследованиях: симулирование оптических процессов, явлений хаоса и порядка в дискретных динамических системах, фрактальных феноменов.
Список литературы
1. Е.М. Воробьев. Введение в систему символьных, графических и численных расчетов «Математика». М.: Изд-во Диалог-МИФИ, 2005, 362 с.

2. В.П. Дьяконов. Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании. СПб.: Солон-Пресс, 2006.

3. Джон Г. Мэтьюз, Куртис Д. Финк. Численные методы. Использование Matlab. СПб.: Вильямс, 2001.-720 с.

4. И.Е. Ануфриев, А.Б. Смирнов, Е.Н. Смирнова. Matlab 7. СПб.: БХВ-Петербург, 2005.



7. Идемпотентная и тропическая математика; приложения
Цель курса: представить главные идеи и подходы к анализу базовых задач и приложений идемпотентной и тропической математики.

Задачи курса: обучить слушателей основным понятиям и теоремам идемпотентной и тропической математики, а также методам применения теории в различных прикладных задачах.

Программа курса

1. Введение. Идемпотентный принцип соответствия. Деквантование Маслова и связанные с ним процедуры деквантования и квантования

Деквантование чисел. Тропические алгебры. Тропическая математика как часть идемпотентной математики. Идемпотентные полукольца. Квантование и деквантование в физике и математике. Уравнение Гамильтона-Якоби как результат деквантования уравнения Шредингера. Принцип суперпозиции. Деквантование интегрирования и меры Маслова. Деквантование интегральных операторов. Преобразование Лежандра как результат деквантования преобразования Фурье-Лапласа. Деквантование функций и выпуклый анализ. Обобщенные многогранники Ньютона. Деквантование линейных операторов и их спектральные свойства. Размерность Хаусдорфа как результат деквантования метрики. Фрактальная размерность. Деквантование геометрии и тропическая геометрия. Энтропия Шеннона и квантование Маслова.

2. Идемпотентная алгебра и ее приложения

Свойства идемпотентных полуколец и стандартный порядок. Основная теорема идемпотентной алгебры. Матричная идемпотентная алгебра. Матричное уравнение Беллмана и методы его решения. Задачи динамического программирования и оптимизации на графах. Принцип суперпозиции и параллельные вычисления. Методы идемпотентной алгебры в задачах моделирования и анализа сложных систем.

3. Идемпотентный анализ и его приложения

Алгебраический подход к идемпотентному анализу. Линейные и функциональные пространства в идемпотентном анализе. Основные теоремы идемпотентного анализа. Теоремы о ядре, ядерные операторы и пространства в идемпотентном анализе. Приложения к решению уравнения Гамильтона-Якоби. Идемпотентная теорема Шаудера и ее приложения в теории управления. Идемпотентный анализ и теория нечетких множеств. Теория возможности.

4. Компьютерные приложения и интервальный анализ

Принцип соответствия для алгоритмов и их аппаратных и программных реализаций. Приложения к патентованию вычислительных устройств. Универсальные алгоритмы и их объектно-ориентированная программная реализация. Интервальный анализ в идемпотентной математике. Интервальный анализ для матричного уравнения Беллмана. Перспективы и новые задачи
Список литературы

1. В.П. Маслов, В.Н. Колокольцов, Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении/ М.: Физматгиз, 1994. 2. C. М. Авдошин, В.В. Белов, В.П. Маслов, Математические аспекты синтеза компьютерных сред/М.: МИЭМ, 1984. 3. C. М. Авдошин, В.В. Белов, В.П. Маслов, В.М. Питеркин, Оптимизация гибких производственных систем/М.: МИЭМ, 1987. 4. V. P. Maslov and K. A. Volosov, eds, Mathematical aspects of computer engineering/ MIR., Moscow, 1988.

5. Н.К. Кривулин, Методы идемпотентной алгебры в задачах моделирования и анализа сложных систем /С.-Петербург, СПбГУ, 2009.

6. Г.Л. Литвинов, В.П. Маслов, Идемпотентная математика: принцип соответствия и приложения// Успехи математических наук, Том 51, №6, 1996.

7. Г.Л. Литвинов, Е.В. Маслова, Универсальные вычислительные алгоритмы и их программная реализация // Программирование, 2000, # 5, с. 53-62.

8. Г.Л. Литвинов, Универсальные алгоритмы и идемпотентная математика // Компьютерные средства в образовании, 2000, #6, (С.-Петербург), с. 12-18.

9. Г.Л. Литвинов, В.П. Маслов, А.Н. Соболевский, Идемпотентная математика и интервальный анализ // Вычислительные технологии, том 6, # 6, 2001, с. 47-70.

10. Г.Л. Литвинов, В.П. Маслов, Г.Б. Шпиз, Идемпотентный функциональный анализ: алгебраический подход// Матем. заметки, том 69, # 5, 2001, с. 758-797.

11. G. L. Litvinov and V. P. Maslov (Eds.), Idempotent mathematics and mathematical physics, Contemporary Mathematics, Vol. 377, AMS, Providence, 2005.

12. Г.Л. Литвинов, Деквантование Маслова, идемпотентная и тропическая математика: краткое введение//Записки научных семинаров ПОМИ, том 326, 2005, с.145-182. E-print arXiv:math.GM/0507014

13. G.L. Litvinov, V.P. Maslov, A.Ya. Rodionov, A.N. Sobolevski, Universal algorithms, mathematics of semirings and parallel computations// Springer Lecture Notes in Computational Science and Engineering, v. 75, 2011, 63-89.
8. Квантовые вычисления, представления групп и инварианты
Цель курса:

Последние десятилетия отмечены значительным интересов к тематике квантовых компьютеров. Перспективы физической реализации ждут своего прояснения и пока исследования в основном носят теоретический характер. Целью курса является введение в теорию квантовых вычислений, включающее обсуждение методов теории групп Ли, их представлений и теории инвариантов, которые стали применяться в ней в недавнее время.



Задачи курса:

Ввести слушателей в классическую теорию сложности вычислений. Изложить основы квантовых вычислений. Ознакомить слушателей с применением в теории квантовых вычислений методов теории групп Ли, их представлений и теории инвариантов.


Программа курса
◦ Классическая теория вычислений, модели вычислений, размер, сложность, проблема P/NP.

◦ Элементарные квантовые понятия. Квантовый параллелизм. Идеи Фейнмана. Математическая формализация. Биты и q-биты (qubits).

◦ Квантовые алгоритмы. Структура тензорного произведения на n-q-битовом пространстве.

◦ Алгоритм Гровера.

◦ Квантовое преобразование Фурье

◦ Алгоритм факторизации Шора.

◦ Исправление ошибок.

◦ Необходимые сведения из теории групп Ли, теории представлений и теории инвариантов.

◦ Скрещение (entanglement) и его мера.

◦ Случай трех q-битов. Мера скрещения для двух и трех q-битов.

◦ Случай четырех и более q-битов

◦ Мера скрещения для n q-битов.



Список литературы
1. Квантовый компьютер & квантовые вычисления, Редакция журнала “Регулярная и хаотическая динамика”, Ижевск, 1999.

2. Квантовые вычисления: за и против, Редакция журнала “Регулярная и хаотическая динамика”, Издательский дом “Удмуртский университет”, 1999.

3. А. Китаев, А. Шень, М. Вялый, Классические и квантовые вычисления, МЦНМО, ЧеРо, М., 1999.

4. А. Ю. Китаев, Квантовые вычисления: алгоритмы и исправление ошибок, УМН, т. 6, 1997.

5. Э. Б. Винберг, Курс алгебры, Факториал, 2002.

6. Э. Б. Винберг, Линейные представления групп, Наука, М., 1985.

7. Дж. Хамфрис, Введение в теорию алгебр Ли и их представлений, МЦНМО, М. 2003.

8. Т. Спрингер, Теория инвариантов, Мир, М., 1981.

9. Х. Крафт, Геометрические методы в теории инвариантов, Мир, М., 1987.

10. N. R. Wallach, Quantum computing and entanglement for mathematicians, Lectures on quantum computing, Venice CIME, June 2004 (updated 2006).


9. Компьютерное проектирование в прикладной механике

Цель курса: представить основные идеи, понятия и способы моделирования деталей и сборок, решения и анализа задач механики деформируемого твердого тела в современных системах автоматизированного проектирования.
Задачи курса: обучить слушателей моделированию деталей и сборок, созданию чертежей, решению задач, связанных с движением сборок, решению линейных статических (конструкционных) и квазистатических нелинейных задач при помощи современных CAD/CAE систем SolidWorks и MSC Nastran.
Программа курса

1. Введение

САПР: историческая справка, обзор современного рынка САПР, классификация САПР, место SolidWorks и Nastran среди других.

2. Моделирование и решение задач в SolidWorks

2.1. Создание деталей

Порядок создания детали. Объекты эскиза. Геометрические связи. Редактирование эскиза. Параметризация эскиза. Трёхмерный эскиз. Основные элементы. Наложенные элементы. Деформации. Справочная геометрия. Зеркальное отражение и массивы элементов. Операции с деталями. Поверхности. Листовой металл. Отображение детали.

2.2. Создание сборок

Порядок создания сборки. Вставка компонентов сборки. Сопряжение компонентов сборки. Анализ конфликтов между компонентами. Библиотека стандартных деталей Toolbox.

2.3. Создание чертежей

Порядок создания чертежа. Создание основной надписи. Чертежные виды. Элементы чертежа. Редактирование чертежа. Добавление размеров в чертеж. Свойства и отображение чертежа. Создание и использование слоев.

2.4. Исследование движения

Порядок исследования движения. Механические сопряжения. Двигатели, пружины, контактные взаимодействия. Расчет движения. Вывод эпюр. Анализ результатов.

2.5. Решение задач

Порядок создания исследования. Типы граничных условий и их задание. Построение сетки конечных элементов. Расчет. Анализ результатов. Отображение полей напряжений, деформаций и других величин.

3. Моделирование и решение задач в Nastran

3.1. Геометрическое моделирование

Создание точек. Построение прямых линий, дуг, окружностей, сплайнов. Методы построения поверхностей. Создание объемов. Способы создание твердых тел. Системы координат.

3.2. Конечно-элементное представление модели

Задание материалов, функциональных зависимостей. Типы конечных элементов. Основные способы разбиения модели на конечные элементы. Модификация сетки и контроль разбиения.

3.3. Граничные условия

Типы нагрузок и манипулирование ими. Граничные условия (связи).

3.4. Решение задач

Линейный статический анализ конструкций (балки, пластины и др.). Контактные задачи. Температурные задачи. Квазистатические нелинейные задачи. Графическое отображение результатов и их анализ.
Список литературы

1. Дударева И., Загайко С. SolidWorks 2009 для начинающих. С-Пб.: «БХВ-Петербург», 2009.

2. Дударева И., Загайко С. SolidWorks. Оформление проектной документации. С-Пб.: «БХВ-Петербург», 2009.

3. Lombard Matt. SolidWorks 2010 Bible. Wiley, 2010.

4. Алямовский А.А. COSMOSWorks. Основы расчета конструкций на прочность в среде SolidWorks. М.: ДМК-Пресс, 2010.

5. Алямовский А.А. Инженерные расчеты в SolidWorks Simulation. М.: ДМК-Пресс, 2010.

6. Рыбников Е.К., Володин С.В., Соболев Р.Ю. Инженерные расчёты механических конструкций в системе MSC.Patran-Nastran. Учебное пособие – М., 2003. – 130 с.

7. Шимкович Д.Г. Расчет конструкций в MSC/Nastran for Windows. М.: «ДМК Пресс», 2003.

8. Рычков С.П. MSC.visualNastran для Windows. М.: NT Press, 2004.

9. MSC Nastran/Patran User Guides, 2004.



10. Компьютерное симулирование в задачах естествознания (части I и II)

Цель курса: познакомить слушателя с математическими и физическими основами молекулярно-динамического моделирования и с основными принципами компьютерного моделирования материалов на основе квантовой механики, показать связь между моделированием вещества на уровне отдельных атомов с расчетом макроскопических свойств, описать базовые теоретические положения, продемонстрировать примеры решения конкретных задач физики конденсированного состояния, молекулярной биологии и материаловедения, дать представление о различных приближениях и вычислительных методах, начиная с выбора базиса для представления волновых функций и заканчивая алгоритмами распараллеливания вычислений.
Задачи курса:

Описание основных положений теоретической механики и вычислительной математики, относящихся к построению молекулярно-динамических моделей. Классификация моделей потенциалов межатомного и межмолекулярного взаимодействия для различных веществ. Обучение принципам расчета макроскопических свойств методами атомистического моделирования на основе связи молекулярной динамики и термодинамики. Описание методов решения уравнения Шредингера в простейших случаях, иерархии приближений, используемых в молекулярной биологии, квантовой химии и физике твердого тела. Знакомство с примерами решения задач. Овладение общими навыками проведения суперкомпьютерных расчетов для решения прикладных задач. Знакомство с конкретными пакетами программ для квантового моделирования и проведение суперкомпьютерных расчетов с их использованием.


Программа курса
Часть 1. Компьютерная молекулярная динамика и термодинамика

Введение. Системы координат. Уравнения движения. Периодические граничные условия. Поверхности потенциальной энергии. Единицы измерения. Математический аппарат. Методы классической молекулярной динамики (МД) и Монте-Карло (МК). Параллельные алгоритмы для расчета взаимодействий между частицами: декомпозиция по частицам и по пространству. Роль статистического усреднения. Эффективность распараллеливания.Средства визуализации данных и молекулярная графика. Компьютерное оборудование и программное обеспечение. Операционная система Linux. Ресурсы Интернета.

Потенциалы межатомного взаимодействия. Парные потенциалы: твердые и мягкие сферы, потенциалы Леннарда-Джонса и Букингема. Многочастичные потенциалы для металлов и полупроводников. Модели межатомного взаимодействия в (био)молекулярных системах. Ван-дер-ваальсовское взаимодействие. Водородная связь. Электростатическое взаимодействие. Потенциалы взаимодействия в неидеальной плазме.

Интегрирование уравнений движения. Методы интегрирования уравнений движения в молекулярной динамике. Сохранение интегралов движения и инвариантов. Симплектические схемы интегрирования. Алгоритмы сортировки при расчете сил, действующих на атомы: списки Верле, связные списки. Методы оптимизации.

Равновесные системы. Методы вывода молекулярно-динамической системы в равновесное состояние. Моделирование различных статистических ансамблей: микроканонический, канонический, изобарический. Флуктуации. Методы диагностики: температура, давление, тензор напряжений, теплоемкость, упругие свойства среды, коэффициент диффузии. Основные уравнения механики сплошных сред. Методы анализа структуры. Корреляционные функции и их спектры. Решение уравнения Пуассона на сетке. Декомпозиция по пространству, оптимизация передачи данных между узлами.
Неравновесные системы, релаксация. Примеры моделей неравновесных процессов на атомистическом уровне. Основные требования к моделированию релаксации: начальные состояния, ансамбль начальных состояний, характеристики, зависящие и не зависящие от начального ансамбля, диагностика, требующая усреднения по времени. Методы расчета транспортных свойств: вязкость, теплопроводность, диффузия. Модели ударных волн. Гюгониостат. Моделирование взаимодействия излучения с веществом. Распараллеливание задач газо- и гидродинамики.
Часть 2. Компьютерная квантовая механика

Уравнение Шредингера в стационарном и нестационарном случае. Решение задач о движении частицы, прохождении через щель. Использование пакета Mathematica для построения соответствующих моделей и визуализации результатов.

Одноэлектронный атом. Многоэлектронный атом и молекулы. Детерминант Слэтера. Молекулярные орбитали. Уравнения Хартри-Фока. Методы учета электронных корреляций. Теория возмущений. Многоконфигурационные подходы.

Использование функционала плотности. Электрон-электронное взаимодействие: обменно-корреляционное взаимодействие, функционал Кона-Шэма, приближение локальной плотности. Электрон-ионное взаимодействие: приближение псевдопотенциала. Особенности моделирования изолированных молекул и кластеров и периодических систем.

Технология вычислений. Базис плоских волн. Локализованные базисы. Смешанные базисы. Вейвлетные базисы. Принципы распараллеливания алгоритмов. Использование быстрого преобразования Фурье. Обзор существующих программных средств.
Список литературы
1. A. Rahman, Correlations in the Motion of Atoms in Liquid Argon // Phys. Rev., v.136, p. A405, 1964.

2. M.P. Allen and D.J. Tildesley, Computer Simulation of Liquids, Oxford: Clarendon Press, 1989.

3. D. Frenkel, B. Smit, Understanding Molecular Simulation: From Algorithms to Applications, San Diego: Academic Press, 2002.

4. А.А. Валуев, Г.Э. Норман, В.Ю.Подлипчук, Метод молекулярной динамики: теория и приложения // В сб. «Математическое моделирование. Физико-химические свойства вещества». М.: Наука, 1989. С. 5-40.

5. Х. Гулд, Я. Тобочник, Компьютерное моделирование в физике, М.: Наука, 1990.

6. Р. Хокни, Дж. Иствуд, Численное моделирование методом частиц. М.: Мир, 1987.

7. P. Gibbon, G. Sutmann, Long-range interactions in many-particle simulation // in Quantum Simulations of Complex Many-Body Systems: From Theory to Algorithms, Lecture Notes, J. Grotendorst, D. Marx, A. Muramatsu (Eds.), 2002.

8. A. R. Leach, Molecular modelling: principles and applications. Prentice Hall, 2001.

9. Теория неоднородного электронного газа. Под. ред. С. Лундквиста и Н. Марча, М.: Мир, 1987.

10. M. D. Segall, Applications of ab initio atomistic simulations to biology // J. Phys.: Condens. Matter, v.14, p.2957, 2002.

11. R.M.Martin, Electronic structure. Basic theory and practical methods. Cambridge University Press. 2008.

12. J.Hutter, D.Marx, Ab Initio Molecular Dynamics: Basic Theory and Advanced Methods. Cambridge University Press. 2009.





11. Линейные операторы в задачах математической физики
Цель курса: представить главные идеи и подходы к анализу базовых задач математической физики с помощью теории линейных операторов.
Задачи курса: обучить слушателей основным понятиям и теоремам теории линейных операторов, а также методам применения линейных операторов в основных типах задач математической физики.
Программа курса

1. Спектральные свойства операторов математической физики

1.1. Неограниченные операторы. Область определения. Замкнутые операторы.

1.2. Симметрические операторы и индексы дефекта. Самосопряженное расширение. Теорема Нельсона. Физические примеры.

1.3. Дискретный и непрерывный спектры. Собственные функции.

1.4. Спектральная теорема. Спектральная плотность. Формулы следа.

1.5. Унитарные операторы. Проекторы и корни из единицы. Примеры: оператор Теплица, когерентные состояния, квантайзер.

1.6. Общие свойства спектра операторов Шредингера и Дирака.

1.7. Спектр в периодических полях. Блоховские функции. Зоны Бриллюэна. Поверхность Ферми.

1.8. Туннельное расщепление спектра.

1.9. Квазистационарные состояния оператора Шредингера и спектр аналитических семейств компактных операторов (теория Келдыша).

2. Нестационарные задачи математической физики

2.1. Теорема Стоуна.

2.2. Банаховы и гильбертовы шкалы, производящие операторы.

2.3. Формулы Троттера и Каца-Фейнмана. Вывод континуального интеграла.

2.4. Туннельная транспортация квантовых состояний.

2.5. Симметрические гиперболические системы, уравнения Максвелла.

2.6. Связь волновых и диффузионных процессов. Полугруппы операторов.

2.7. Эволюция в неавтономных системах.

2.8. Периодические системы и операторы монодромии.

3. Задача рассеяния

3.1. Постановка задачи рассеяния. Безотражательные потенциалы.

3.2. Интегральное уравнение Липпмана-Швингера теории рассеяния.

3.3. Функция Йоста, матрица рассеяния, полюса Редже.

3.4. Обратная задача теории рассеяния.
Список литературы
1. У. Рудин, Функциональный анализ / М.: Мир, 1975. 2. К. Морен, Методы гильбертова пространства / М.: Мир, 1965. 3. Т. Като, Теория возмущений линейных операторов / М.: Мир, 1972. 4. Ю.И. Любич, Линейный функциональный анализ / Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т.19 (Функциональный анализ-I), М.: ВИНИТИ, 1988. 5. П. Халмош, Гильбертово пространство в задачах / М.: Мир, 1970. 6. К. Фридрихс, Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве / М.: Мир, 1969. 7. М. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики, тт.1-4 / М.: Мир, 1977, 1978, 1982. 8. Ф.А. Березин, М.А. Шубин, Уравнение Шредингера / МГУ, 1983. 9. И.М. Глазман, Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов / М.: Физматгиз, 1963. 10. А.И. Базь, Я.Б. Зельдович, А.М. Переломов, Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике / М.: Наука, 1981.

12. Математические методы исследования нелинейных систем


Цель курса: ознакомление с основными классами эволюционных дифференциальных уравнений с частными производными, которые возникают при описании нелинейных явлений, и с методами построения их (асимптотических) решений; с единой точки зрения, с помощью метода слабых асимптотик, рассматриваются разнородные, на первый взгляд, задачи такие как распространение и взаимодействие солитонов или слияние свободных границ при фазовых переходах; излагается также метод построение точных решений вполне интегрируемых нелинейных уравнений с помощью обратной задачи рассеяния.
Задачи курса: слушатели должны освоить основные нелинейные эволюционные модели математической физики, понятие обобщенного решения, метод характеристик и его обобщения; знать свойства, присущие решениям нелинейных уравнений (нелинейные эффекты), метод обратной задачи рассеяния, метод слабых асимптотик (с точки зрения техники вычислений и алгебры), метод регуляризаций; уметь исследовать уравнения с частными производными первого порядка, строить решения уравнения неразрывности в разрывном поле скоростей,описывать распространение и взаимодействие уединенных нелинейных волн в различных задачах типа уравнений Бюргерса, Хопфа, Кортевега-де Фриза и его аналогов; с помощью метода обобщенных характеристик уметь анализировать прямую и обратную задачи Коши для параболического уравнения Колмогорова-Феллера глобально по времени.

Программа курса
1. Обобщенные решения нелинейных уравнений первого порядка в дивергентной форме («скалярные законы сохранения»). Метод характеристик. Условие устойчивости Лакса-Олейник. Метод малой вязкости. Энтропийное условие Кружкова.
2. Уравнение Бюргерса. Задача о взаимодействии сглаженных ударных волн. Преобразование Хопфа-Коула.
3. Введение в метод слабых асимптотик. Асимптотические алгебры обобщенных функций с общим сингулярным носителем. Общие асимптотические алгебры обобщенных функций. Связь с теорией Коломбо.
4. Нелинейные законы суперпозиции. Взаимодействие сглаженных ударных волн для уравнений типа Бюргерса. Рождение ударных волн как результат взаимодействия слабых разрывов. Распад неустойчивой ударной волны. Взаимодействие ударной волны и волны разряжения в одномерном случае.
5. Асимптотические алгебры в многомерном случае. Рождение ударной волны как результат взаимодействия слабых разрывов.
6. Уравнения с малой дисперсией. Метод обратной задачи рассеяния для уравнения КдВ.

7. Метод Маслова построения асимптотических солитонных решений для уравнений типа КдВ с переменными коэффициентами и малой дисперсией.


8. Описание взаимодействия солитонов в интегрируемых и неинтегрируемых уравнениях типа КдВ с малой дисперсией в рамках метода слабых асимптотик.
9. Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана. Негладкие решения уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана и их связь с обобщенными решениями «законов сохранения» в одномерном случае. Построение негладких решений уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана методом характеристик.
10. Уравнение неразрывности в разрывном поле скоростей. Концентрация массы на подмногообразиях положительной коразмерности. Дельта-ударные волны: определение и построение методом характеристик. Дельта-ударные волны в многомерном случае. Описание взаимодействия дельта-ударных волн методом слабых асимптотик. Дельта-ударные волны с сингулярным носителем в виде стратифицированного многообразия.
11. Система уравнений газовой динамики без давления. Связь дельта-ударных волн с «блинной» теорией Зельдовича-Шандарина о строении вселенной. Влияние «темной материи» на процесс концентрации масс.
12. Построение обобщенных решений уравнения переноса с помощью обобщенных решений уравнения неразрывности и преобразования Маделунга.
13. Параболические псевдодифференциальные уравнения с малым параметром (уравнения типа Колмогорова-Феллера). Неосциллирующие аналоги ВКБ-решений в малом по времени. Асимптотика фундаментального решения при малых временах. Общая схема туннельного канонического оператора Маслова.
14. Построение глобальных по времени асимптотических решений уравнения с малым параметром типа Колмогорова-Феллера методом характеристик. Решение задачи Коши в обратном времени.

Список литературы
1. C.M. Dafermos, Hyperbolic conservation laws in continuum physics / Springer, 2000.

2.Теория солитонов. Метод обратной задачи / М., Мир, 1980.

3. Дж. Лэм, Введение в теорию солитонов / М., Мир, 1983.

4. М. Абловиц, X. Сигур, Солитоны и метод обратной задачи / М., Мир, 1987.

5. V.G. Danilov, G.A. Omel’yanov, V.M. Shelkovich, Weak asymptotics method and interaction of nonlinear waves / Asymptotic methods for wave and quantum problems, Amer. Math. Soc. , Transl. Ser. 2, 208, 33–163, Providence, RI, 2003.

6. V.G. Danilov, V.M. Shelkovich, Delta-shock wave type solution of hyperbolic systems of conservation laws / Quart. Appl. Math. 63(2005), no. 3, 401–427.

7. S. Albeverio, V. Danilov, Global in Time Solutions to Kolmogorov-Feller Pseudodifferential Equations with Small Parameter / Russian Journal Math. Phys., 18 (2011), no. 1, 10-25.

8. V.G. Danilov, D. Mitrovic, Shock wave formation process for a multidimension scalar conservation law / Quarterly Appl. Math., XIX (2011), no.4, 613-634.


13. Математическое моделирование молекулярных машин

Цель курса: познакомить студентов с методами использования р-адических уравнений в задачах математического моделирования динамки и функции биологических макромолекул - молекулярных машин.
Задачи курса:

Ознакомление с ультраметрическими пространствами, р-адическими числами, элементами анализа на поле р-адических чисел и р-адическими псевдо-дифференциальными уравнениями. Освоение аналитического аппарата теории ультраметрических случайных процессов. Развитие навыков решения р-адических уравнений ультраметрической диффузии как основы ультраметрических моделей динамики молекулярных машин. Ознакомление с особенностями архитектуры и динамики функциональных биополимеров.Развитие навыков конструирования ультраметрических моделей структуры и динамики функциональных биополимеров и молекулярных машин.


Программа курса
1. Обзор представлений о функциональных биополимерах и молекулярных машинах. Характерные особенности динамики и функции биополимеров. Молекулярные машины. Проблемы математического моделирования биополимеров и молекулярных машин. Основные идеи иерархического (ультраметрического) моделирования.
2. Введение в р-адический анализ в объеме, необходимом для освоения данного курса. р-Адические числа и ультраметрические пространства, локально-постоянные функции на Qp, интегрирование на Qp. (8 часов)

3. р-Адическое преобразование Фурье и р-адические всплески.


4. Псевдо-дифференциальный оператор Владимирова, р-адические псевдодифференциальные уравнения. Уравнение ультраметрической диффузии, методы решения, свойства решений. Численные методы решения р-адических псевдо-дифференциальных уравнений. Компьютерное моделирование ультраметрической диффузии.
5. Ультраметрическое описание флуктуационно-динамической подвижности белковой структуры. Свойства флуктуационно-динамической подвижности белковых молекул. Спектральная диффузия в белках. Задача о распределении времени первых возвращений и числа возвращений для ультраметрической диффузии. Ультраметрическая модель спектральной диффузии в белках.
6. Ультраметрическое описание элементарного цикла ферментативной реакции. Особенности кинетики связывания СО миоглобином в высокотемпературной и низкотемпературной областях. Моделирование кинетики ферментативного связывания уравнением ультраметрической диффузии с реакционным стоком. Методы решения и свойства решений такого уравнения. Особенности ультраметрической модели кинетики связывания СО миоглобином в низкотемпературной и высокотемпературной области.
7. Ультраметрические модели рабочего цикла молекулярной машины. Биологические молекулярные машины, их структурные и функциональные особенности. Архитектура модели рабочего цикла молекулярной машины. Система уравнений вида "реакция - ультраметрическая диффузия" как основа многомасштабного математического моделирования рабочего цикла молекулярных машин. Методы решения. Примеры математических моделей молекулярных машин.

Список литературы
1. В.С. Владимиров, И.В. Волович, Е.И. Зеленов, р-Адичесикий анализ и математическая физика. Наука. М. 1994.

2. Н. Коблиц, р-Адические числа, р-адический анализ и дзета функции. Мир. М. 1982

3. С.В. Козырев, р-Адические псевдодифференциальные операторы и р-адические всплески.

4. В.А. Аветисов, А.Х. Бикулов, А.П. Зубарев, Д.А. Мешков, Многомасштабное математическое моделирование молекулярных машин: проблемы и современные подходы. //Наноструктуры. Математическая физика и моделирование. (2012, в печати)

5. Л.А. Блюменфельд, Проблемы биологической физики, Наука. М. 1977


14. Модели биофизики и термодинамики макромолекул; самосборка

Цель курса: ознакомить с базовыми процессами и объектами молекулярных мезосистем.
Задачи курса:

- получение базовых знаний о биофизике молекулярных мезосистем,

- ознакомление с механизмами молекулярного движения и самосборки,

- получение представлений о математических моделях, описывающих молекулярные мезосистемы,

- подготовка к самостоятельным исследованиям в области моделирования макромолекул и явлений самосборки.

Программа курса
1. Базовые физико-химические структуры и процессы в молекулярных мезосистемах.

Молекулы биологической клетки, мембраны, плазма, регуляторы протеинов, энзимы.

Молекулярные моторы. Потоки информации в клетке. Биокомпьютер Либермана.

Броуновское движение, уранение Фоккера-Планка, соотношения Эйнштейна,

диффузионное приближение, теория Крамерса теплового туннелирования, химические реакции.
2. Термодинамика мягкой материи.

Статистический вес, энтропия, конформационная энтропия. Второй закон термодинамики, равновесные процессы. Примеры: термодинамика нитей, стальные проволоки, каучук.

Физика воды, роль водородных связей. Осмотическое давление. Особый статус модели Изинга. Денатурация ДНК.
3. Проблема самосборки.

Амфифильные молекулы, образование бислоёв. Вирусы. Молекулярные машины.

Модельные представления, основанные на уравнении Фоккера-Планка, применение к деятельности энзимов. Самосборка как работа молекулярной вычислительной машины.
4. Механика мембран.

Строение биологической мембраны. Искусственные химические мембраны, их технологические применения. Модель Хелфрика. Фазы губок (sponge phases). Трудности аналитического и дифференциально-геометрического подхода; численное моделирование.



Список литературы
М.В.Волькенштейн, Молекулярная биофизика, Наука, Москва (1975).

А.Зоммерфельд, Термодинамика и статистическая физика, ИЛ, Москва (1955)

Р.Кубо, Статистическая механика, Мир, Москва (1967).

А.Б.Рубин, Теоретическая биофизика, том 1-2, изд. МГУ (2004).



15. Модели планетарной защиты

Цели и задачи курса:

Познакомить студентов с методами планетарной защиты от опасных околоземных объектов.


Программа курса:



Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница