Алгоритм преобразования выражений с помощью формул сокращенного умножения



Скачать 61,04 Kb.
Дата21.10.2016
Размер61,04 Kb.
Алгоритм преобразования выражений

с помощью формул сокращенного умножения

Каждому из нас, наверняка, приходилось сталкиваться с умножением многочлена на многочлен, возведением его в степень, и для решения таких задач приходилось выполнять множество различных действий в длинных выражениях. Однако в некоторых случаях данное действие можно заменить и выполнить короче с помощью формул сокращенного умножения.



Квадрат суммы

  1. Рассмотрим формулу - квадрат суммы.




Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражения плюс квадрат второго выражения.

ab

ab

b2



a2


Некоторые правила сокращенного умножения были известны еще 4 тысячи лет тому назад. Их знали вавилоняне и другие народы древности. Но в то время они формулировались словесно или геометрически. У древних греков величины обозначались не числами или буквами, а отрезками прямых. Они говорили не а2, а “квадрат на отрезке а”, не “ab”, а “прямоугольник, заключенный между отрезками a и b”. Правило, сформулированное во второй книге “Начал” Евклида в III веке до нашей эры, звучало так: “Если прямая линия как-либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником, заключенным между отрезками”.

Также в началах Евклида справедливость данного равенства при положительных значениях a и b доказана геометрическим способом с помощью вышеприведенного чертежа.



Алгоритм решения:

  1. Возведем в квадрат выражение .

  2. Воспользуемся формулой и выполним первое действие – возведем в квадрат первое выражение. Получим

  3. Следующим шагом является нахождение удвоенного произведения первого и второго выражения. Так как первое выражения – a, второе - b

  4. Следующим шагом по данной формуле будет возвести в квадрат второе выражение, и так как второе выражение в нашем примере -

  5. Чтобы получить окончательный результат нам следует сложить все три выражения -

Примеры:

1)

2)

Квадрат разности

Формула квадрата разности очень похожа на формулу квадрата суммы и содержит различия лишь в знаках.

Рассмотрим формулу - квадрат разности.





Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения.

Геометрическое объяснение квадрата разности ничем не отличается от объяснения первой формулы.



Алгоритм решения:

  1. Возведем в квадрат выражение .

  2. Воспользуемся формулой и выполним первое действие – возведем в квадрат первое выражение. Получим

  3. Следующим шагом является нахождение удвоенного произведения первого и второго выражения. Так как первое выражения – a, второе - b

  4. Следующим шагом по данной формуле будет возвести в квадрат второе выражение, и так как второе выражение в нашем примере -

  5. Чтобы получить окончательный результат нам следует вычесть из квадрата первого выражения удвоенное произведение первого и второго выражений, а затем прибавить квадрат второго выражения -

Примеры:___1)___2)___Разность_квадратов'>Примеры:

1)

2)

Разность квадратов

Рассмотрим формулу - разность квадратов.





Или
Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Разность квадратов выражений равна произведению разности выражений и их суммы.

c:\users\margarita\desktop\08-06-19.jpg

Для данной формулы также существует графическое объяснение.



Алгоритм решения:

  1. Выполним действия в выражении .

  2. Найдем разность первого и второго выражений .

  3. Найдем сумму первого и второго выражений.

  4. Перемножим результат сумму и разность первого и второго выражения

Примеры:

1)

2)

Куб суммы

Рассмотрим формулу - куб суммы.





Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.
Алгоритм решения:

  1. Возведем в куб выражение .

  2. Воспользуемся формулой и выполним первое действие – возведем в куб первое выражение. Получим .

  3. Найдем утроенное произведение квадрата первого выражения на второе.

  4. Найдем утроенное произведение первого выражения на квадрат второго.

  5. Найдем куб второго выражения.

  6. Найдем сумму куба первого выражения, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе, утроенного произведения первого выражения на квадрат второго и куба второго выражения. Получим - .

Пример:

1)

2)

Куб разности

Рассмотрим формулу - куб разности.




Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.
Алгоритм решения:

  1. Возведем в куб выражение .

  2. Воспользуемся формулой и выполним первое действие – возведем в куб первое выражение. Получим .

  3. Найдем утроенное произведение квадрата первого выражения на второе.

  4. Найдем утроенное произведение первого выражения на квадрат второго.

  5. Найдем куб второго выражения.

  6. Из куба первого выражения вычтем утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, затем прибавим утроенное произведения первого выражения на квадрат второго и вычтем куб второго выражения. Получим -

  7. Примеры:_______Сумма_кубов'>Примеры:





Сумма кубов

Рассмотрим формулу - сумма кубов.





Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

Алгоритм решения:

  1. Выполним действия в выражении .

  2. Найдем сумму первого и второго выражений .

  3. Найдем неполный квадрат разности первого и второго выражений

  4. Перемножим сумму первого и второго выражений и неполный квадрат первого и второго выражения

Примеры:

1)

2)

Разность кубов

Рассмотрим формулу - разность кубов.





Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

Алгоритм решения:

  1. Выполним действия в выражении .

  2. Найдем сумму первого и второго выражений .

  3. Найдем неполный квадрат разности первого и второго выражений

  4. Перемножим сумму первого и второго выражений и неполный квадрат первого и второго выражения

Примеры:

1)

2)

Треугольник Паскаля

Этот треугольник позволит найти коэффициенты членов многочлена при возведении двучлена в любую степень. На третьей строке видим коэффициенты, получаемые при возведении в квадрат, на четвёртой – в куб.c:\users\margarita\desktop\pascal.hex2.gif

Если очертить треугольник Паскаля, то получится равнобедренный треугольник. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух, расположенных над ним чисел. Продолжать треугольник можно бесконечно. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси.

Первое упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названием «meru-prastaara» встречается в комментарии индийского математика X века Халаюдхи к трудам другого математика, Пингалы. Треугольник исследуется также Омаром Хайямом около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма. В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй (поэтому китайцы называют его треугольником Яна Хуэя). На титульном листе учебника арифметики, написанном в 1529 году Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета, также изображён треугольник Паскаля. А в 1653 году (в других источниках в 1655 году) вышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике».

Составитель Кашина Маргарита,

ученица 7 класса школы при Посольстве РФ в Великобритании



Учитель математики Щербакова В.Б.

Кашина Маргарита, 7 класс

Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница