Авербах Л. И., Воропаев В. И., Гельруд Я. Д. Моделирование задач планирования и управления проектами в условиях риска и неопределенности с использованием циклической альтернативной сетевой модели



Скачать 388,3 Kb.
страница3/3
Дата17.10.2016
Размер388,3 Kb.
1   2   3

4. Постановки и методы решения задач планирования работ при ограниченных ресурсах на базе использования ЦАСМ

4.1. Математическая модель и метод решения задачи « Минимизация времени выполнения проекта с постоянной интенсивностью ведения работ при ограничениях на ресурсы».

Сложный проект представляется циклической стохастической моделью G(W,А), которая описывается системой неравенств (1),(3), где временные ограничения и продолжительности дуг являются в общем случае случайными величинами. Работы выполняются без разрывов с постоянной скоростью (если v – объем работы, то Dv/Dt=const). Пусть заданы vkij – потребность в k-м (kÎК) ненакапливаемом ресурсе на работе (i,j), тогда rkij=vkij/Wp(yij) – интенсивность потребления k-го ненакапливаемого ресурса на работе (i,j). Так как интенсивность вычисляется через р-квантильную оценку продолжительности работы, то она имеет вероятностный характер, и все производные от нее также вероятностны. Обозначим εk – множество работ, потребляющих ресурс k, а εkt – множество работ, потребляющих ресурс k в момент времени t (εk=U"tεkt), тогда общая потребность на всю программу в k-м ресурсе равна Vк(i,j)Îεkvkij. Пусть наличие ресурсов в каждый момент времени задано функцией Ак(t).

Имея Fк(t)=å(i,j)Îεktrkij – потребность в ресурсе k в момент времени t, получаем математическую постановку задачи оптимального распределения ненакапливаемых ресурсов в виде:

Найти такие сроки начала и окончания работ (i,j) Тi*Î[Wpi0),Wpi1)] и Тj*Î[ Wpj0), Wpj1)], что

Тj* – Тi*  Wp(yij), для всех дуг (i, j); (15)

Ак(t)  Fк(t), для всех t и k; (16)

Tn* ®min. (17)

Ограничение (15) отображает требование соблюдения технологической последовательности работ.

Ограничение (16) учитывает ограниченность ресурсов, т.е. в каждый момент времени потребность в ресурсе не должна превышать его наличия.

Tn* – срок свершения завершающего события.

Аналогичная постановка задачи для накапливаемых ресурсов gÎГ отличается от предыдущей только видом ограничения (16), которое принимает вид:

t=1Аk(t) ≥  t=1Fk(t), для всех  и k; (18)

т.е. суммарная потребность в накапливаемом ресурсе g от начала планового периода к любому моменту t не должна превышать суммарного объема поставок этого же вида ресурса за соответствующий период.

Для решения сформулированной задачи в работе предложен модифицированный алгоритм «Калибровка», отличия которого от применяемого в обобщенных сетевых моделях[8] заключаются в следующем:

 вместо детерминированных временных параметров (ранние и поздние сроки свершения событий, продолжительности работ и длины дуг) используются их р-квантильные аналоги Wpj0), Wpi1), Wp(yij), вычисляемые методом имитационного моделирования, описанным выше;

 понятие «обязательных» и «необязательных» работ фронта Фt пересекается в теоретико-множественном смысле с понятиями р-квантильных критической, промежуточной и резервной зон, т.е. прежде всего на обслуживание ставятся «обязательные» работы, входящие в р-квантильную критическую зону, затем «обязательные» работы, входящие в р-квантильную промежуточную зону, после чего «обязательные» работы, входящие в р-квантильную резервную зону. «Необязательные» работы фронта Фt рассматриваются в соответствие с очередью, установленной по убыванию р-квантильных коэффициентов напряженности Кнp(i,j);

для пучка работ, выходящих из альтернативных вершин, вычисляется rki– средняя интенсивность потребления k-го ненакапливаемого ресурса на пучке работ: rki =j>>irkijрij. Также для пучка работ вычисляется средний коэффициент напряженности. Далее для включения в план рассматривается работа, выходящая из альтернативной вершины i с вычисленными средними характеристиками. Если эта работа ставится на обслуживание, то Тi* =t;

 в результате работы алгоритма получается план Тp={Тi*} c заданным уровнем достоверности р. При увеличении количества «розыгрышей» N повышается надежность всех р-квантильных оценок и, следовательно, надежность получаемых вариантов плана.



4.2. Математическая модель и метод решения задачи «Минимизация показателя качества потребления ресурсов при заданном времени выполнения проекта с постоянной интенсивностью ведения работ».

Оптимальное распределение ресурсов при заданном времени – «сглаживание», является задачей, в которой в качестве критерия оптимальности принимается мера неравномерности потребления ресурсов. Если Т – заданное время выполнения программы, то Rkср=Vк/Т – среднее потребное количество ресурса k в единицу времени. В качестве меры неравномерности потребления ресурса k предлагаются следующие функции:

fк1"t½Fк(t) – Rkср½, (19)

fк2"t(Fк(t) – Rkср)2, (20)

fк3=maxt½Fк(t) – Rkср½, (21)

fк4=maxtFк(t), (22)

fк5"t(Fк(t) – Ak(t))2, (23)

fк6"t(Fк(t) – Ak(t))xk, (24)

где xk= þ xk1 – если (Fк(t) – Ak(t)) > 0,

ü -xk2 – если (Fк(t) – Ak(t)) < 0;

xk1 – удельные затраты, связанные с превышением потребности ресурса k над его наличием (для ресурсов типа «мощности» – стоимость сверхурочного времени), xk2 – удельные затраты, связанные с избыточным наличием ресурса k (для ресурсов типа «мощности» – стоимость простоя исполнителей или оборудования).

План выполнения работ проекта, оптимально использующий некоторый ресурс k, может быть весьма далек от оптимального по использованию другого ресурса. В связи с этим предлагаются целевые функции в виде

fiкlкfкi, где lк – весовой коэффициент, характеризующий важность k–го вида ресурса. kÎКÈГ.

Таким образом, математическая модель задачи «сглаживания» принимает вид:

Найти такие сроки начала и окончания работ (i,j) Тi*Î[Wpi0),Wpi1)] и Тj*Î[ Wpj0), Wpj1)], что

Тj* – Тi*  Wp(yij), для всех дуг (i, j); (25)

Tn* £ Т; (26)

fi ®min. (27)

Здесь кроме i=1,…,6 возможно использование критериев вида (12),(14). Для решения сформулированной задачи предлагается модифицированный алгоритм «Сглаживание», отличия которого от применяемого в обобщенных сетевых моделях[8] заключаются в следующем:

 вместо детерминированных временных параметров (ранние и поздние сроки свершения событий, продолжительности работ и длины дуг) используются их р-квантильные аналоги Wpj0), Wpi0), Wp(yij), вычисляемые методом имитационного моделирования;

 для пересчета плана ранних (или поздних) сроков применяется модифицированный алгоритм «Маятник»;

 по желанию пользователя выбирается один из вариантов целевой функции fi, i=1,2,…,6. Оптимальные планы, полученные по разным критериям, служат основанием для принятия эффективного решения менеджером проекта;

 работы, попавшие в «пиковые» моменты времени (где функционал fi принимает максимальное значение), упорядочиваются по убыванию р-квантильных коэффициентов напряженности Кнp(i,j);

 выдвигаются из очереди работы в пределах р-квантильных оценок их резервов, вычисленных по формулам (12)-(13);

для пучка работ, выходящих из альтернативных вершин, вычисляется rki– средняя интенсивность потребления k-го ненакапливаемого ресурса на пучке работ: rki =j>>irkijрij. Также для пучка работ вычисляется средний коэффициент напряженности. Далее для включения в план рассматривается работа, выходящая из альтернативной вершины i с вычисленными средними характеристиками. Если эта работа ставится на обслуживание, то Тi* =t;

 в результате работы алгоритма получается план Тp={Тi*} c заданным уровнем достоверности р. Увеличивая количество «розыгрышей» N, можно повысить надежность всех р-квантильных оценок и, следовательно, надежность получаемых вариантов плана.



4.4. Математическая модель и метод решения задачи «Распределение ограниченных ресурсов на ЦАСМ с переменными интенсивностями работ».

Выше задачи распределения ограниченных ресурсов на ЦАСМ рассматривались при условии постоянной интенсивности выполнения работ. В данной модели рассматривается возможность задания переменной интенсивности выполнения работы, а, следовательно, возможность изменения количества назначаемых на нее ресурсов.

Так как при описании проекта с помощью ЦАСМ используются обобщенные связи, позволяющие выделять не только начала и окончания работ в качестве событий, но и промежуточные состояния работ, то нижеприведенная постановка позволяет реализовать две дополнительные возможности:


  • выбор интенсивности выполнения всей работы ЦАСМ в заданных пределах;

  • изменение интенсивности выполнения отдельных частей работы.

Математическая модель задачи распределения ограниченных ресурсов на ЦАСМ с переменными интенсивностями работ имеет вид:

Найти такие сроки начала и окончания работ (i,j) Тi*Î[Wpi0),Wpi1)] и Тj*Î[ Wpj0), Wpj1)], что

Тj* – Тi*  Wp(yij), для всех дуг (i, j); (28)

tijmin £ Тj* – Тi*£ tijmax для всех работ или частей работ (i,j); (29)

Ак(t)  Fк(t), для всех t и k; (30)

t=1Аk(t) ≥  t=1Fk(t), для всех  и k; (31)

Тn* ® min. (32)

Соотношения (28) задают взаимосвязи между всеми событиями сети, включая дуги-связи, дуги-работы и абсолютные временные ограничения.

Соотношения (29) обеспечивают нахождение переменной продолжительности работы или ее частей в соответствующих границах, определяемых по формулам:

tijmin(мах)=vkij/rkijmах(мin), (33)

где rkijмin и rkijмах – соответственно минимальная и максимальная интенсивности потребления k-го ненакапливаемого ведущего ресурса на работе (i,j),

vkij – трудоемкость выполнения работы (i,j) по ведущему ресурсу k.

В качестве ведущего ресурса выступают только нескладируемые ресурсы (машины, станки, оборудование, исполнители и др.), количество которых, назначенное на работу, определяет ее продолжительность.

Ограничение (30) учитывает ограниченность ненакапливаемых ресурсов, т.е. в каждый момент времени потребность в ресурсе k не должна превышать его наличия.

Ограничение (31) задает условие – суммарная потребность в накапливаемом ресурсе g от начала планового периода к любому моменту t не должна превышать суммарного объема поставок этого же вида ресурса за соответствующий период.

Целевая функция (32) обеспечивает построение плана в минимально возможные сроки выполнения проекта.

Решение поставленной задачи на базе ЦАСМ обеспечивается модифицированным алгоритмом, суть изменений которого (по отношению к алгоритму для решения аналогичной задачи на базе ОСМ[4]) разберем поэтапно:

Этап 1. Подготовительные процедуры. Временной расчет ЦАСМ производим модифицированным алгоритмом «маятник», контроль на непротиворечивость в соответствие с вышеизложенным.

Этап 2. Формирование фронта работ. В качестве ранних сроков свершения событий, являющихся началами работ, берем их р-квантильные оценки Wpi0).

Этап 3. Формирование очереди. Работы фронтов Фt1 и Фt2 упорядочиваются по убыванию р-квантильных коэффициентов напряженности Кнp(i,j). Выдвигаются из очереди работы в пределах р-квантильных оценок их резервов, вычисленных по формулам (12)-(13). Для пучка работ, выходящих из альтернативных вершин, вычисляется rki– средняя интенсивность потребления k-го ненакапливаемого ресурса на пучке работ: rki =j>>irkijрij. Также для пучка работ вычисляется средний коэффициент напряженности. Далее для включения в план рассматривается работа, выходящая из альтернативной вершины i с вычисленными средними характеристиками. Если эта работа ставится на обслуживание, то Тi* =t;

Этапы 4–6. Назначение ресурсов на работы, изменение интенсивностей их выполнения, выдвижение работ из фронта. Изменения в этих этапах касаются только замены ранних и поздних сроков свершения событий и резервов работ их р-квантильными оценками.

Этап 7. Временной пересчет плана ранних сроков. Производится в соответствие с модифицированным алгоритмом «маятник».

Этап 8. Использование дополнительных ресурсов. Изменения аналогичны этапам 4 – 6.



4.5. Математическая модель и метод решения задачи « Формирование плана

минимальной стоимости».

Обозначим аij – минимально возможное время выполнения работы (i,j), которому соответствуют затраты саij; bij – максимально возможное время выполнения работы (i,j), которому соответствуют затраты сbij. Величины аij и bij определяются исходя из максимальной и минимальной величин ведущего ненакапливаемого ресурса, которые потенциально могут быть задействованы на работе (i,j). Принимая во внимание возможные сбои в работе оборудования, колебания производительности труда исполнителей, а также прочие непредвиденные затраты, полагаем вышеприведенные параметры случайными величинами с заданными законами распределения. Также предполагается, что ускорение работы связано с дополнительными затратами (на привлечение дополнительной рабочей силы и оборудования, сверхурочные доплаты и т.п.). Имеем

аij £ tij £ bij ,

сbij £ сij £ саij, (34)

где сij – затраты, соответствующие времени выполнения tij.

Задав некоторый уровень значимости р, выполняем имитационное моделирование вышеописанных параметров (учитывая их аддитивность) в соответствие с методом, описанным выше, получая их р-квантильные оценки – Wpij), Wp(bij), Wpаij), Wpbij). Анализ некоторых проектов ОКР, реконструкции и строительства сложных объектов показал обоснованность использования для этих параметров бета-распределения.

Полагаем, что зависимость затрат от времени выполнения линейная, т.е.

сij =zij – yijtij ,

откуда, используя (34) для р-квантильных оценок, получаем выражение для р-квантильного коэффициента пропорциональности:

yрij = (Wpаij) – Wpbij))/(Wp(bij) – Wpij))=DWpij)/Dt. (35)

Таким образом, yрij с вероятностью р характеризует затраты, связанные с сокращением продолжительности работы (i,j) на единицу времени. Будем называть yрij – «р-ценой» сокращения работы на единицу времени.

Если на всех работах принять tij = Wpij), то будет получено наименьшее критическое время Wpкрmin). Этому времени соответствуют наибольшие затраты, равные Wpа) = å"(i,j)Wpаij).

Если на всех работах принять tij = Wp(bij), то мы получим сетевой график, которому соответствуют наименьшие затраты, равные Wpb)=å"(i,j)Wpbij), и наибольшее критическое время Wpкpmax).

При наименьшем критическом времени Wpкрmin) можно уменьшить затраты, если «удлинить» некритические работы за счет полного использования их р-квантильных резервов времени. Ведь увеличение tij на единицу с вероятностью р снижает ее стоимость на yрij. Обозначим полученные затраты через Срd, тогда можем утверждать, что для Тр= Wpкрmin) минимальная стоимость равна Срd, и, в общем случае, для любого ТрÎ[Wpкрmin),Wpкрmах)] получаем план с минимальными затратами С(Тр). С помощью функции С(Тр) оцениваем дополнительные затраты, связанные с сокращением сроков завершения проекта.

Если затраты линейно зависят от продолжительности работ, то нахождение С(Тр) сводится к решению задачи вида:

Найти такие продолжительности работ tij, что

Wpj) – Wpi)– tij  0, для всех работ (i, j); (36)

Wpij) £ tij £ Wp(bij), (37)

Wp(Tn0) £ Т, (38)

С(Т)=å"(i,j) сij"(i,j) (zij – yijtij ) ® min, (39)

что эквивалентно

å"(i,j) yijtij ® mах. (40)

Для решения этой задачи предложена модификация алгоритма Келли, основанного на использовании теоремы о минимальном разрезе и максимальном потоке[7]. Суть модификации в замене параметров аij, bij, саij, сbij на их р-квантильные оценки – Wpij), Wp(bij), Wpаij), Wpbij). Далее алгоритм используется без изменений.

Таким образом, вышеприведенный модифицированный алгоритм позволяет с заданным уровнем значимости р определять оптимальные варианты финансирования проекта в условиях риска и неопределенности.



Заключение.

Проведенные в данной работе исследования образуют теоретическую и методическую основу решения задач планирования и управления проектами и позволяют следующее:

1. С помощью предложенной в работе универсальной модели (ЦАСМ) можно учесть альтернативный характер как технологии производства работ, так и способов назначения ресурсов на работы, произвести их оптимальное назначение с оптимальными темпами использования, таким образом, рассмотренные нами методы ресурсно-временного анализа могут эффективно применяться при управлении сложным проектом с учетом риска и неопределенности условий его выполнения.

2. Эти же модели и соответствующие алгоритмы могут быть использованы, если объектом управления является комплекс проектов и если требуется каждый проект в отдельности и комплекс проектов в целом реализовать в максимально сжатые сроки.

3. Построение оптимизированных календарных планов реализации проектов, а также оптимизированного сводного плана для комплекса проектов, произведенное с использованием предложенных моделей и алгоритмов, позволяет определить соответствующие потребности в ресурсах (в том числе финансовых), графики работ исполнителей, использования машин и оборудования.

4. Периодическая актуализация исходных данных дает возможность уточнять эти потребности и графики, тем самым снижать уровень неопределенности и создавать необходимые предпосылки для повышения эффективности реализации проектов в пространстве «время–ресурсы–стоимость».

5. Полученные результаты – универсальные средства моделирования и алгоритмы решения задач календарного планирования проектов – позволяют расширить сферу применения методов сетевого моделирования для управления такими проектами, сложность которых обусловлена большим разнообразием технологических зависимостей между отдельными работами, вероятностным характером взаимосвязей и параметров работ, осуществляемых в условиях неопределенности.

6. Комплекс предложенных экономико-математических моделей на базе ЦАСМ и алгоритмов решения задач оптимизации расписаний при управлении проектами может являться методологической и методической основой разработки функциональных подсистем системы автоматизации проектирования.



Литература.

1. Воропаев В.И. Управление проектами в России. –М.: Аланс, 1995.

2. Мир Управления проектами. // Под ред. Х. Решке, Х. Шелле, пер. с англ. – М.: СОВНЕТ, АЛАНС, 1994.

3. Зуховицкий С., Радчик И.А. Математические методы сетевого планирования, –М.: Наука. 1965.

4. Воропаев В.И. Модели и методы календарного планирования в автоматизированных системах управления строительством. М.: Стройиздат, 1975.

5. Голенко Д.И. Статистические методы сетевого планирования и управления. – М.: Наука, 1969.

6. Филлипс Д., Гарсиа-Диас А. Методы анализа сетей. –М.: Мир. 1984.

7. Форд Л.Р., Фалкерсон Д.Р. Потоки в сетях. – М.: Мир, 1965.

8. Воропаев В.И. и др. Методические рекомендации по ресурсному анализу календарных планов на основе обобщенных сетевых моделей. –М.: ЦНИИЭУС, 1990.

9. Канторович Л.В. На основе математических методов. //Экономика строительства. –1965. –№3.



10. Авербах Л.И. Совершенствование системы управления строительной организацией с использованием экономико-математических методов. //Дисс. на соискание ученой степени к.э.н.–Новосибирск: НГУ. –1968.

11. Воропаев В.И., Гельруд Я.Д. Циклические альтернативные сетевые модели и их использование при управлении проектами. (в печати).

Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница