Цифровые фильтры и их характеристики


Оптимизационные методы расчета частотных фильтров



страница8/13
Дата21.10.2016
Размер3,87 Mb.
ТипГлава
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13

9.6. Оптимизационные методы расчета частотных фильтров


Оптимизационные методы различаются критерием аппроксимации, уточняющим смысл соотношения (9.21). Наиболее часто используют два основных критерия аппроксимации: среднеквадратический критерий, минимизирующий среднеквадратическую погрешность аппроксимации

(9.74)


и наилучший равномерный (чебышевский) критерий, минимизирующий абсолютную погрешность аппроксимации

(9.75)


Критерии (9.74) и (9.75) могут применяться раздельно и совместно — каждый для определенной области частот. Функция q(w) в них является весовой функцией, влияющей на точность аппроксимации на различных диапазонах частоты. Общие принципы определения значений q(w) сформулированы в §2.4, а конкретный пример разработан в примере 2.6.

При использовании критерия (9.75) в цифровой фильтрации для отдельных интервалов частот w1jw   w2j задаются значениями j, такими, чтобы на этих интервалах выполнялось неравенство

(9.76)

Тогда для -го интервала



(9.77)

где R произвольная константа, общая для всех интервалов (нормирующий множитель).

По (9.75) и (9.77) определяем оптимальную функцию , удовлетворяющую (9.76). Соотношение (9.77) можно использовать и совместно с (9.74). Однако в этом случае (9.77) следует рассматривать как эвристическую рекомендацию.

Существуют два метода расчета НЦФ, соответствующие указанным критериям аппроксимации. Первый метод метод наименьших квадратов позволяет при заданных величинах w1, w2 и функциях q(w), B(w) и определить вектор коэффициентов{c}, минимизирующий целевую функцию:

(9.78)

Необходимые и достаточные условия минимума (9.78) [19] имеют вид уравнений



, (9.79)

где K в зависимости от четности или нечетности N принимает значения или , которые с учетом (9.26) сводятся к системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов {ci} и, следовательно, значений импульсной характеристики h(i):

(9.80)

где


(9.81)

(9.82)


Пример 9.13. Рассчитать два равнополосных ФНЧ (условия примера 9.11) при w1 = 0, w2 = 0,5 и

где .


Решение. Выбирая функции и такими же, как в примере 9.12, из (9.81), (9.82) получаем [19]

Таблица 9.9



iЗначения ИХ N = 11N = 150

1

3



4

5

6



70,0118785

-0,0000003

-0,0621937

0,0000008

0,3007862

0,4999980

-

--0,0033884



0,0000021

0,0197280

-0,0000073

-0,0713280

0,0001370

0,3049177

0,4999840Результаты расчета ИХ по уравнению (9.80) и АЧХ по формуле (9.13) при g = 1 приведены в табл. 9.9 и 9.10.

Таблица 9.10



wЗначение АЧХ A(w) N = 11N = 150,0000

0,0625


0,1250

0,1875


0,2500

0,3125


0,3750

0,4375


0,50001,0009418

0,9987452

0,9965320

0,6734561

0,4999968

0,2463425

0,0034674

0,0010103

0,00094200,9998589

0,9995361

0,9993988

0,6601352

0,4999387

0,2510380

0,0005983

0,0003612

0,0001417

_______________ . _______________



Пример 9.14. Решить задачу аналитического синтеза амплитудно-фазового корректора по методу наименьших квадратов.

Решение. Амплитудно-фазовый корректор, т.е. фильтр, у которого АЧХ и ФЧХ близки к заданным желаемым функциям A*(w) и *(w), можно построить в виде нерекурсивного фильтра, используя метод наименьших квадратов [23], если определять ИХ h(i) из условия минимума функции:

Здесь


Необходимые и достаточные условия минимума

приводят к системе линейных алгебраических уравнений относительно значений ИХ h(i):

Решив эту систему, можно определить импульсную характеристику амплитудно-фазового корректора. В частном случае при система может быть решена аналитически и значения импульсной характеристики рассчитаны по формуле [19]

_______________ . _______________

Второй метод метод наилучшей равномерной аппроксимации — основывается на чебышевской теории равномерного приближения [19, 45]. В соответствии с этой теорией для заданного класса функций , аппроксимируемой функции , весовой функции и замкнутого интервала аппроксимации существует функция наилучшего равномерного приближения с такими значениями коэффициентов , которые соответствуют минимальному значению

(9.83)


где

Величина ({c}) представляет собой максимальное значение абсолютной погрешности аппроксимации на интервале [w1, w2].

Очевидно, что функция наилучшего равномерного приближения точно соответствует критерию (9.75). Для ее отыскания используют теорему Чебышева [19], которая утверждает, что для того, чтобы функция Ф(w, {c}) была функцией наилучшего равномерного приближения к функции B(w) с весовой функцией q(w), необходимо и достаточно, чтобы функция (w, {c}) принимала наибольшие и равные друг другу по абсолютной величине и чередующиеся по знаку значения в K + 2 последовательно расположенных точках (точках альтернанса) интервала [w1, w2], т.е.

(9.84)


Последнее соотношение истинно при любом значении w, принадлежащем интервалу [w1, w2].

Теорема Чебышева справедлива и для аппроксимируемых функций, заданных на отдельных интервалах, не имеющих общих точек. В этом случае функция должна быть доопределена на промежуточных интервалах так, чтобы в целом получилась непрерывная функция на замкнутом интервале, включающая все заданные интервалы. При этом все точки альтернанса должны располагаться только на заданных интервалах.

Как правило, аналитически функцию наилучшего равномерного приближения определить невозможно. Одним из наиболее эффективных численных методов определения функций чебышевского приближения является алгоритм Ремеза [19, 45]. Суть этого алгоритма сводится к последовательной модификации коэффициентов аппроксимирующей функции до тех пор, пока с заданной степенью точности не оказываются выполненными условия теоремы Чебышева. Алгоритм Ремеза ориентирован на применение ЭВМ.

Пример 9.15. Решить задачу чебышевской аппроксимации для ФНЧ с линейной ФЧХ минимального порядка N = Nmin.

Решение. Определим Nmin по оценочной эмпирической формуле, справедливой для ФНЧ [19]:

(9.85)


где

а и максимально допустимые отклонения АЧХ от аппроксимируемой функции B(w) соответственно в полосах пропускания и задерживания.

Очевидно, что фильтру наименьшего порядка NNmin (оптимальному фильтру) соответствует оптимальная функция . Для того чтобы определить функцию , нужно построить несколько функций наилучшего равномерного приближения к B(w) с весом q(w) различных порядков, начиная с K = Kн = (N – 2)/2 (для четных Nmin). Если при K = Kн условие (9.76) не выполняется хотя бы для одного j, необходимо увеличить K. Процесс вычислений заканчивается тогда, когда удовлетворяет (9.76), а (или для равнополосных фильтров) не удовлетворяет, причем .

_______________ . _______________



Пример 9.16. Рассчитать по алгоритму Ремеза равнополосный ФНЧ (условия см. в примере 9.11) для .

Решение. Для заданных п и з Nmin, в соответствии с (9.75), равно 14. Так как фильтр равнополосный, Kн = 8. С помощью алгоритма Ремеза строим функции наилучшего равномерного приближения и , аппроксимирующие функцию

с весовой функцией в полосах пропускания и задерживания. При требования к АЧХ выполняются: при и при ; при требования к АЧХ не выполняются, т.е. . В табл. 9.11 приведены абсолютные погрешности аппроксимации при и .

Таблица 9.11

iЗначения ИХ N = 11N = 1500,0130539-0,003737010,00000000,00000002-0,06386860,020568030,00000000,000000040,3013116-0,072319950,50000000,00000006-0,30536917-0,5000000 0,00159430,0002395

_______________ . _______________



Пример 9.17. Решить задачу чебышевской аппроксимации для минимально-фазового ФНЧ порядка N по заданной АЧХ.
Даны условия:

(9.86)


Решение. Точный алгоритм решения сводится к следующему [19].

1. Необходимо построить оптимальную функцию , удовлетворяющую соотношениям

где

Каждая функция последовательности, которую следует построить для определения , строится как функция наилучшего приближения к аппроксимируемой функции



с весовой функцией

(9.87)


Ориентировочная оценка величины начального порядка Kн функции может быть найдена так же, как в примере 9.15, если принять и

(9.88)


2. Строим функцию , не имеющую вещественных корней. Величина при ; .

3. По коэффициентам строим функцию

.

4. Вычисляем корни функции .



5. Строим функцию корни которой совпадают с корнями , лежащими внутри и на единичной окружности.

6. Строим передаточную функцию искомого минимально-фазового фильтра . Значение определяем из условия , эквивалентного равенству . Из последнего равенства и выражений для и следует, что

.

_________________ . ________________



Пример 9.18. Рассчитать минимально-фазовый равнополосный ФНЧ наименьшего порядка N при wгп = 0,125, wгз = 0,375;
п1 = 0,02, з1 = 0,003.

Решение. По формулам (9.88) находим п = 0,04; з = 4,5108. Тогда из формулы (9.85) следует, что Kн = 6. Аппроксимируемая функция примет вид

Находим по формуле (9.87) весовую функцию:

С помощью алгоритма Ремеза определяем . Для этого были последовательно построены функции , , и [19, 45]. Анализ показал, что функция удовлетворяет заданным требованиям, т.е. . По полученной функции строим функцию , а по коэффициентам последней передаточную функцию

.
Таблица 9.12

Значения ИХ h(i)00,039041610,189554720,388034830,395527640,14428235–0,09230056–0,10184077–0,004961280,0290167390,01067023мп0,00828240мз0,00019770

Определив ее корни, записываем передаточную функцию

,

корни которой совпадают с корнями , лежащими внутри единичной окружности (корней, лежащих на единичной окружности, в данном примере нет), причем . Значения импульсной характеристики этого фильтра и максимальные значения абсолютных погрешностей аппроксимации



приведены в табл. 9.12.

_____________________ . ____________________

Сравним приведенные методы синтеза нерекурсивных фильтров. Метод взвешивания для АЧХ простой формы легко реализуется, однако дает невысокую точность аппроксимации вблизи точек разрыва частотных характеристик. Использование сложных окон (например, окна Кайзера) уменьшает погрешность аппроксимации, однако существенно усложняет процедуру расчета фильтра и не позволяет получать удобные математические формулы для вычисления импульсных характеристик ЦФ. Более эффективным способом борьбы с систематическими погрешностями аппроксимации из-за явления Гиббса остается линейное доопределение АЧХ в полосе безразличия с последующим применением других методов синтеза НЦФ.

Методы частотной выборки и разложения в тригонометрический ряд Фурье для частотных фильтров также просты в реализации, причем метод разложения в ряд Фурье позволяет для избирательных фильтров получить аналитические выражения (формулы) для вычисления ИХ фильтров, что удобно как при практических расчетах, так и в теоретических исследованиях фильтров. При увеличении порядка проектируемого ЦФ использование этого метода позволяет рассчитать только новые значения ИХ, поскольку ранее рассчитанные значения сохраняются, изменяя только свою нумерацию (см. пример 9.12).

По точности представления частотных характеристик метод частотной выборки при одинаковых условиях обычно превосходит метод взвешивания, но уступает методу разложения аппроксимируемой функции в тригонометрический ряд Фурье. Последнее связано с тем, что метод частотной выборки является дискретным вариантом непрерывного метода разложения в ряд Фурье для фильтров вида 1 и 2 (сравните алгоритмы вычисления для этих методов), а замена непрерывной формулы на дискретную приводит к дополнительной погрешности. Погрешность в методе частотной выборки возникает только между точками частотных отсчетов (в самих точках частотная характеристика воспроизводится без погрешности, т.е. имеет место её интерполяция), а при использовании метода разложения в тригонометрический ряд погрешность распределяется по всем значениям частоты в диапазоне от 0 до 0,5.

С увеличением порядка фильтра N погрешность аппроксимации в этих методах уменьшается. Поэтому их целесообразно использовать при больших порядках проектируемых фильтров (N=5000…10000), когда применение других методов становится практически невозможным. Фильтры такого высокого порядка представляют собой почти идеальные избирательные фильтры, которые применяются при моделировании сложных систем на ЭВМ.

Оптимизационные методы расчета НЦФ (метод наименьших квадратов и метод наилучшего равномерного приближения) по точности аппроксимации значительно превосходят неоптимизационные методы. Как отмечено в [19] и следует из приведенных ранее примеров синтеза частотных фильтров, при одних и тех же значениях N максимальная погрешность аппроксимации в полосах пропускания и задерживания даже для метода разложения в ряд Фурье оказывается примерно в 40 раз больше, чем для метода наименьших квадратов, и примерно в 100 раз больше, чем для метода чебышевской аппроксимации.

Метод наименьших квадратов требует для своей реализации значительного объёма вычислений, так как для решения задачи аппроксимации в этом случае необходимо определять коэффициенты и правые части системы линейных алгебраических уравнений и решить эту систему (см. (9.80)). Его целесообразно использовать в тех случаях, когда применяется сложная целевая функция, минимум которой соответствует искомому решению (см. пример 9.15), или когда необходимо учитывать дополнительные ограничения на ИХ фильтра. По точности аппроксимации метод занимает промежуточное положение между методами разложения в ряд Фурье и наилучшей равномерной аппроксимации.

Метод наилучшего равномерного приближения реализуется, как правило, в виде эффективного алгоритма Ремеза. Он позволяет [19]:

- рассчитать фильтр заданного порядка N, для которого максимальная абсолютная погрешность аппроксимации в полосах пропускания и задерживания будет минимальна;

- по заданной максимальной абсолютной погрешности аппроксимации в полосах пропускания и задерживания рассчитать фильтр наименьшего порядка , АЧХ которого удовлетворяет поставленным требованиям;

- точно задать отношения между абсолютными погрешностями аппроксимации в различных частотных полосах с помощью весовой функции.

Алгоритм Ремеза целесообразно использовать для расчета нерекурсивных частотных фильтров всегда, за исключением тех случаев, когда следует использовать методы частотной выборки, разложения в ряд Фурье или наименьших квадратов, поскольку он наиболее точный из всех методов. Следует, однако, иметь в виду, что этот алгоритм весьма сложен в реализации и его использование невозможно без ЭВМ и специального программного обеспечения.


  1. Каталог: ~Susev V -> fileman -> download -> %D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0.%20%D0%A6%D0%B8%D1%84%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F%20%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D0%BA%D0%B0%20%D1%81%D0%B8%D0%B3%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%BE%D0%B2%3A%20%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D1%8B%20%D0%B8%20%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D1%8B
    %D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0.%20%D0%A6%D0%B8%D1%84%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F%20%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B1%D0%BE%D1%82%D0%BA%D0%B0%20%D1%81%D0%B8%D0%B3%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%BE%D0%B2%3A%20%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D1%8B%20%D0%B8%20%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC%D1%8B -> Цифровая обработка сигналов: методы и алгоритмы
    download -> В. В. Сюзев Основы спектрального анализа в базисе Хартли
    download -> Скалярный метод синтеза быстрых
    download -> В. В. Сюзев Основы спектрального анализа в базисе Хартли
    download -> В. В. Сюзев, Д. Ю. Карамнов
    download -> Цифровая обработка сигналов: методы и алгоритмы
    download -> Методы представления и преобразвания сигналов в базисе обобщенных функций крестенсона
    download -> В. В. Сюзев имитация псевдослучайных сигналов с энергетическими характеристиками, инвариантными к обобщенному сдвигу в системах счисления с переменным основанием


    Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2019
обратиться к администрации

войти | регистрация
    Главная страница


загрузить материал