Экзаменационные вопросы по геометрии



Скачать 53,05 Kb.
Дата20.10.2016
Размер53,05 Kb.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ ПО ГЕОМЕТРИИ

(МиИ-1, 2-й семестр 2009-2010 учебного года)





1

2

1.

Отображение и преобразование; группа преобразований.

2.

Осевая симметрия на плоскости.

3.

Центральная симметрия на плоскости.

4.

Параллельный перенос на плоскости; группа.

5.

Разложение параллельного переноса на произведение 2-х осевых симметрий.

6.

Вращение: определение, задание, уравнение.

7.

Свойства вращения; группа.

8.

Движение, основная теорема (с доказательством).

9.

Уравнение движения; движения 1-го и 2-го родов; группы.

10.

Теорема Шаля. Разложение движений в произведение осевых симметрий; классификация движений.

11.

Гомотетия.

12.

Определении е преобразования подобия. Группа подобий (доказать). Подобие как композиция гомотетии и движения (теорема – с доказательством)).

13.

Аналитическое выражение подобия. Подобия 1-го и 2-го родов. Группа подобий 1-го рода. Свойства подобия (перечислить).

14.

Определение аффинного преобразования. Частные виды аффинных преобразований. Основная теорема, следствие.

15.

Аналитическое выражение аффинного преобразования. Группа аффинных преобразований; подгруппы группы аффинных преобразований.

16.


Неподвижные (двойные) элементы аффинного преобразования (теорема – с доказательством). Центроаффинное преобразование, перспективно-аффинное преобразование.

17.

Теоретико-групповые принципы геометрии; «Эрлангенская программа» Ф.Клейна.

18.


Аффинная и прямоугольная декартова системы координат в пространстве; координаты векторов и точек в пространстве. Простейшие задачи в координатах (обзор).

19.

Векторное произведение двух векторов, его координаты; вычисление площади треугольника.

20.


Смешанное произведение трех векторов, его геометрический смысл; вычисление смешанного произведения, приложения; условие компланарности трех векторов.

21.

Плоскость в трехмерном евклидовом пространстве, ее различные уравнения.

22.


Геометрический смысл коэффициентов при текущих координатах общего уравнения плоскости. Взаимное расположение 2-х плоскостей; условие параллельности 2-х плоскостей.

23.


Угол между двумя плоскостями; условие перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости, уравнения биссекторов (обзор). Пучки и связки плоскостей (обзор).

24.

Различные способы задания прямой; переход от одного вида задания к другому.

1

2

25.


Взаимное расположение двух прямых; условие параллельности двух прямых. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости. Угол между двумя прямыми; условие перпендикулярности двух прямых.

26.


Взаимное расположение прямой и плоскости; условие параллельности прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью; условие перпендикулярности прямой и плоскости.

27.

Расстояние от точки до прямой. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Связка прямых.

28.

Аксиомы n-мерного аффинного пространства Аn; аффинный репер, координаты точки. k-мерная плоскость в Аn, ее уравнене.

29.

Аксиомы n-мерного евклидова пространства Еn, ортонормированный репер.

30.

Квадратичная форма n переменных, ее матрица и ранг; приведение квадратичной формы к каноническому виду (методы Лагранжа и Якоби).

31.

Нормальный вид квадратичной формы; закон инерции (без доказательства).

Индексы инерции и сигнатура квадратичной формы.



32.


Некоторые сведения из алгебры линейных преобразований: инвариантное векторное подпространство , собственный вектор и собственное значение линейного преобразования; матрица линейного преобразования, ее характеристическое уравнение. Случай, когда линейное преобразование имеет n линейно независимых собственных векторов.

33.

Самосопряженные линейные преобразования в евклидовом пространстве Еn, свойства (обзор).

34.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду в Еn; пример.

35.

Гиперквадрики в евклидовом пространстве Еn; центр (теорема) и ортогональные (метрические) инварианты гиперквадрики – в обзорном порядке.

36.

Классификация квадрик в Е3.

37.

Изучение поверхностей 2-го порядка методом сечения.

38.

Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида, их свойства (в обзорном порядке).


Утверждено на заседании кафедры геометрии 18 мая 2010 г. (протокол № 10).
Примечания.

1) Студенты Степанов Н.И., Тимофеева Н.В., Порфирьев П.., получившие на коллоквиуме оценку 4 или 5 с первого захода, на экзамене освобождаются от теоретических вопросов 1-17 (но от задач не освобождаются).



2) К экзамену допускаются студенты, получившие по результатам межсессионной аттестации (текущий рейтинг РТ) от 40 до 60 баллов.
КАФЕДРА ГЕОМЕТРИИ

Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница