Фурье-преобразование непрерывных и дискретных сигналов. Преобразование Лапласа и z-преобразование. Дискретное преобразование Фурье



Скачать 124,03 Kb.
Дата22.10.2016
Размер124,03 Kb.
ТипЛабораторная работа
Лабораторная работа 3
Тема: Фурье-преобразование непрерывных и дискретных сигналов. Преобразование Лапласа и Z-преобразование. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) и быстрое преобразование Фурье (БПФ). Программная реализация .Сравнительный анализ вычислительной эффективности. Исследование особенностей спектра Фурье типовых дискретных сигналов.

Цель основная: научиться программировать и использовать алгоритмы расчета дискретного преобразования Фурье

Цель дополнительная: разобраться с понятиями преобразования Фурье непрерывных и дискретных сигналов, дискретного преобразования Фурье, быстрого преобразования Фурье, выяснить, чем они похожи и чем отличаются.

Проблема

В теории обработки сигналов важную роль играют различные интегральные преобразования, среди которых важнейшим с точки зрения практического использования является Фурье преобразование. Следует отметить, что обычно как сам сигнал так и его Фурье-преобразование являются непрерывными функциями своих аргументов (временного и частотного). В теории цифровой обработки сигналов важным является вопрос о возможности замены этих непрерывных функций конечными дискретными последовательностями, условиях корректности такой замены, эффективных способах расчета прямого и обратного дискретных преобразований Фурье, их использования для решение важных задач теории обработки сигналов – интерполяции, фильтрации, корреляционно-спектрального анализа сигналов.


Далее рассматриваются некоторые важные для понимания проблемы понятия и определения, которые, впрочем, можно пропустить и переходить к следующим разделам.

Теоретические предпосылки


Спектр Фурье непрерывных сигналов.

Пусть - непрерывный сигнал, удовлетворяющий условию (сигнал с интегрируемым модулем). На практике такими сигналами могут быть либо т.н. переходные процессы, возникающие в некоторый момент времени и затем постепенно сходящиеся при к нулевому уровню, либо подлежащие обработке экспериментальные сигналы, заданные на некотором конечном интервале наблюдения , вне которого неявно предполагаются нулевыми.

Сигнал в этом случае может быть представлен в виде интегрального разложения по системе комплексных синусоидальных функций - интеграла Фурье:

. (1)

Здесь - комплекснозначная функция, определяющая амплитуду и фазовую задержку комплексной синусоиды с частотой : , участвующей в формировании сигнала . В общем случае эта функция определена на всей оси частот и называется она Фурье-спектром сигнала . Функция тоже спектр, но определенный не на круговых частотах , измеряемых в [радиан/сек], а на циклических частотах f, измеряемых в [число периодов / сек]. ( Эти виды частот связаны известным соотношением ) .

В свою очередь Фурье-спектр может быть получен из иcходного сигнала с помощью соотношения :

(2)

Соотношения (1),(2) представляют собой пару интегральных преобразований Фурье, причем 2 – прямое преобразование Фурье, 1 – обратное преобразование Фурье.

Отметим, что сигнал и фурье-спектр - две взаимнооднозначные характеристики, первая есть временное представление сигнала, вторая – частотное представление. Временное представление более наглядно и привычно для обыденного восприятия, второе – менее наглядно, но исключительно полезно при математическом описании преобразований сигналов в т.н. линейных системах с постоянными параметрами (ЛПП-системах).

Перечислим основные свойства Фурье-спектра действительнозначных сигналов:



  1. Функция в общем случае комплекснозначная :

.

Функцию называют амплитудным спектром (иногда магнитудой спектра), она определяет действительную амплитуду синусоиды с частотой , участвующей в формировании сигнала. Функцию называют фазовым спектром, она показывает фазовый сдвиг, которому следует подвергнуть комплексную синусоиду частоты перед суммированием при восстановлении исходного сигнала.




  1. Вследствие действительности сигнала функция имеет комплексно-сопряженную симметрию



,

,



  1. Энергия спектра Фурье ограничена и равна энергии исходного сигнала (равенство Парсеваля):


(3)

Для этого, очевидно, Фурье-спектр с ростом частоты должен достаточно быстро убывать.


NB. Для тех, кто пока еще не может примириться с необходимость рассмотрения в разложении (1) отрицательных частот и самим понятием комплексной синусоиды, можно дать следующие разъяснения. С преобразованием Фурье в комплексной форме (1) оказалось очень удобно работать, причем при анализе как действительных сигналов, так и комплексных. Если же рассматривать только действительные сигналы, то с учетом свойств симметрии Фурье-спектра , попарно группируя компоненты с положительными и отрицательными частотами, преобразование (1) можно переписать в виде:


(4)

В преобразовании (4) сигнал составляется в виде суперпозиции обычных косинусоид, определенных на обычных положительных (!!!) частотах . Для каждой частоты амплитуда косинусоиды равна , а сама косинусоида сдвинута по фазе на величину . Обратите внимание, что для точного восстановления действительного сигнала недостаточно регулировать только амплитуду синусоидальных компонент, нужно еще их определенным образом подвигать по фазе.



Важное замечание (преобразование Лапласа и Z-преобразование)
В теории непрерывных линейных систем с постоянными параметрами широко и плодотворно используется понятие преобразования Лапласа (s-преобразования):

, (5)

функции, определенной на комплексной s-плоскости : .

При этом прямое преобразование Фурье (2) может рассматриваться как преобразование Лапласа, вычисленное на мнимой оси в s-плоскости:

.

В связи с этим, в литературе часто можно встретить обозначение для Фурье-спектра - , в котором содержится неявное указание на то, что это спектр именно непрерывного сигнала.



Z-преобразование дискретных сигналов
Дискретные сигналы представляют собой последовательности действительных чисел , в общем случае определенные при отрицательных и положительных целочисленных значениях аргумента n. На практике чаще всего дискретные сигналы задаются на неотрицательных n , т.е. n=0,1,2.3,..., и кроме того имеют ограниченное число отсчетов N, при этом последний отсчет – (N-1) .

В системах анализа данных дискретные сигналы обычно получаются дискретизацией с помощью аналогово-цифровых преобразователей (АЦП) исходных непрерывных сигналов:



.

Здесь Т – шаг дискретизации (здесь и далее будем следовать традициям теории цифровой обработки сигналов, где такому обозначению временного интервала дискретизации отдается предпочтение по сравнению с более «привычным» - ).

В этих случаях, чтобы подчеркнуть непрерывную «природу» сигнала и не потерять при преобразованиях размерность аргумента отсчеты дискретного сигнала обозначают в виде - . Если используется традиционное обозначение , то предполагается что шаг дискретизации T=1.
В теории дискретных линейных систем вместо s-преобразования Лапласа широко используется понятие Z-преобразования дискретного сигнала
(6)

Z-преобразование имеет смысл, для тех значений комплексной переменной z, где ряд (6) сходится.

Z-преобразование линейно и обладает еще рядом «полезных» свойств, благодаря чему оно успешно используется при описании линейных дискретных систем. Исходная последовательность может быть восстановлена с помощью обратного Z-преобразования :

, (7)

где С – замкнутый контур, охватывающий все особые точки функции .


Спектр Фурье дискретных сигналов
Спектром Фурье последовательности называют комплексную функцию

(8)

(9)

Формулы (8), (9) представляют собой пару преобразований Фурье. Выражение (9) показывает, как исходная последовательность может быть собрана из дискретизированных комплексных синусоид различных частот, взятых с весами . Сравнение (8) с (6) показывает, что спектр Фурье - есть просто Z-преобразование, вычисленное на единичной окружности в комплексной Z-плоскости. NB. Отметим, что использование в записи аргумента ПФ дискретных сигналов не частоты , а конструкции , применяется для неявного указания на то, что это спектр именно дискретного сигнала, а также на его связь с Z-преобразованием. Свойства спектра Фурье дискретных сигналов подобны свойствам спектра Фурье непрерывных сигналов. Однако есть принципиальное отличие. Спектр периодичен по частоте с периодом . Поэтому его значения рассматривают на одном периоде - либо , либо .

Если дискретный сигнал был получен дискретизацией с некоторым шагом T непрерывного сигнала со спектром , то принципиальным является вопрос о том, какова связь между и . Можно показать, что связь такова :

, (10)

т.е. спектр дискретного сигнала есть результат наложения сдвинутых копий спектра непрерывного сигнала. Величина сдвига кратна . Отсюда вывод: если спектр непрерывного сигнала ограничен частотой , то в спектре дискретного сигнала при всевозможных сдвигах копий непрерывного спектра не произойдет их наложения и на интервале в спектре просто будет неискаженная копия .

NB. Последнее утверждение фактически означает, что всякий непрерывный сигнал с ограниченным спектром может быть без информационных потерь представлен набором своих дискретных отсчетов при соответствующем выборе шага дискретизации: . Действительно, если спектр дискретизированной последовательности (8) подставить в (1), где провести интегрирование в интервале , то получим известное выражение в виде теореме Котельникова

, (11)

позволяющее однозначно восстановить значения исходного сигнала по его дискретным отсчетам при любых t.



Дискретное преобразование Фурье

Тот факт, что спектр Фурье дискретного сигнала есть непрерывная функция, не очень хорошо с точки зрения задачи разработки устройств и программ цифровой обработки. Хотелось бы и в частотной области иметь дело с последовательностями. Для этого, мы подозреваем, надо бы дискретизировать по частоте с достаточно мелким шагом функцию . Но не будем торопиться ...


Далее будем вести речь о дискретных последовательностях конечной длины N:

(12)

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) последовательности есть последовательность N частотных отсчетов, рассчитываемых по формуле:

, k=0,1,2, ...,N-1 (13)

Обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ) позволяет восстановить исходную последовательность



, n=0,1,2, ...,N-1 (14)
Закономерен вопрос - как связаны коэффициенты ДПФ с Z-преобразованием и преобразованием Фурье ?.
Сравнивая (13) с (6), заключаем, что отсчеты ДПФ для конечного сигнала длины N совпадают со значениями X(z), взятыми в N точках, равномерно распределенных на единичной окружности

. (15)

и, следовательно, с отсчетами спектра Фурье , взятыми с шагом дискретизации по частоте. (NB. Т.е. все таки дискретизация в частотной области !!!).

Возникает вопрос: можно ли по отсчетам ДПФ (13) при необходимости восстановить весь непрерывный по частоте Фурье-спектр . По идее, такая возможность должна быть. Ведь ОДПФ (14) восстанавливает исходную последовательность длины N, а ей соответствует непрерывный Фурье-спектр (8). Действительно, можно вывести точную интерполяционная формулу, для восстановления непрерывного спектра из ДПФ:

(16)

Формула (16) - аналог теоремы Котельникова для частотной области. Отметим, что для конечных сигналов естественным образом возник шаг частотной дискретизации . А что было бы, если бы мы не знали длину исходного сигнала - N, но знали бы его непрерывный Фурье-спектр . Мы бы задались некоторым достаточно мелким шагом , дискретизировалия фурье-спектр на одном периоде и получили набор частотных отсчетов длины L, применили ОДПФ и восстановили конечный временной ряд длиной L отсчетов. Однако, следует иметь ввиду, что этот ряд являлся бы результатом суммирования сдвинутых на L отсчетов копий оригинального сигнала (можно получить формулу подобную формуле (10) для частотной области). При этом, если длина последнего N окажется больше чем L, то в будут присутствовать наложения от соседних копий.

Как бы то ни было, мы с вами установили принципиальную возможность замены непрерывных представлений исходного сигнала и преобразования Фурье конечными последовательностями без потери информации. Основные условия – ограниченность по частоте (финитность) спектра исходного непрерывного сигнала и ограниченность во времени самого сигнала .

Некоторые свойста ДПФ

Напоминаем общую формулу расчета ДПФ



, k=0,1,2, ...,N-1


  1. Все отсчеты ДПФ в общем случае комплексные, кроме отсчетов X(0) и X(N/2)

  2. Имеется комплексно-сопряженная симметрия относительно отсчета N/2 и поэтому при графическом отображении часто ограничиваются рассмотрением первой половины ДПФ : k=0, 1, 2,...,N/2 .


Быстрое преобразование Фурье (БПФ)
БПФ есть математически эквивалентный, но более быстрый алгоритм вычисления ДПФ. Основная идея – можно достичь экономии в расчетах по формуле (13) если сначала разбить исходный ряд на два более коротких, выполнить ДПФ для них, а потом определенным образом собрать полное ДПФ. Соответственно можно получить еще большую экономию, если при расчете ДПФ от половинок исходного сигнала, тоже разделить каждую половинку на две части. И т.д. Подробности алгоритма БПФ есть в различных источниках. Особенность БПФ – требования к длине реализации N. Для достижения максимальной эффективности требуется чтобы N было степенью двойки, т.е. 32,64,128,256,512, и т.д. Если в исходном сигнале число отсчетов N не кратно степени 2, то сигнал следует искусственно дополнить до ближайшей степени 2 нулями либо средним значением по имеющейся части.

Применения ДПФ(БПФ)
Многочисленные. Обнаружение гармонических компонент и оценка их параметров (амплитуды, частоты). Статистический корреляционно-спектральный анализ. Вычисления сверток дискретных сигналов. И т.д. Но это рассмотрим в следующих работах.
Полезно знать приемы тригонометрической интерполяции на основе ДПФ:


  1. Интерполяция дискретного сигнала.


Проблема. Имеем дискретную реализацию некоторого конечного непрерывного сигнала с финитным спектром, удовлетворяющую условию теоремы Котельникова (т.е. формально нет потери информации), но тем не менее зрительно воспринимаемую как весьма “дерганную”. Желаем представить ее в более густой сетке отсчетов для улучшения зрительного восприятия сигнала. Для этого очевидно необходимо интерполировать значения сигнала в промежуточных точках. Мы знаем, что есть точная интерполяционная формула (11), но не хотим ее использовать в явном виде, потому что интерполируемые значения будут весьма долго считаться.
Решение: Рассчитываем ДПФ от исходного сигнала длиной N, расширяем его за счет симметричной вставки в среднюю часть нулевых значений до длины L>>N, выполняем ОДПФ и получаем новую. дискретную реализацию, в которой на той же исходной длине будет уже не N, а L>>N отсчетов и при этом все они точные.


  1. Интерполяция спектра Фурье.


Проблема: Как правило, при графическом представлении непрерывного спектра Фурье некоторого сигнала отсчетами его ДПФ получается излишне резкий, «дерганный» вид. Хотелось бы интерполировать частотные отсчеты в более густую, подробную сетку, чтобы улучшить зрительное восприятие непрерывного Фурье-спектра.
Решение . Исходную реализацию дополняем справа нулями либо средним значением до новой длины L>>N, рассчитываем ДПФ и отображаем в результате существенно большее число отсчетов Фурье-спектра, которые следуют друг за другом более плавным образом.

Задания к работе




  1. Написать функцию реализующую, вычисления ДПФ F(k) сигнала x(n) , заданного в N точках

DFT(x,F,N)


по формуле (13) и функцию ОДПФ:
IDFT(F,x,N)
по формуле (14)
Сформировать также функцию TotalDFT(x1,x2,N,ind), выполняющую ДПФ при ind=0 и ОДПФ при ind =1. (NB. Можно реализовать версии процедур с одним указателем на массив, в котором будет и входной сигнал и результат преобразования на выходе, например DFT(x,N,ind) . Не забывайте, что спектр Фурье – комплекснозначный, рекомендую сразу реализовать и использовать комплексный тип и для входного и для выходного массивов в процедурах )


  1. Написать функцию FFT(x,N,ind), реализующую алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ, или по-английски FFT - Fast Fourier Transform) для длин сигналов, кратных степени двойки. (NB. В папках FFT_1 и FFT_2 приведены два варианта реализации алгоритма БПФ на языке C для системы Borland C++ 3.1, разберитесь и используйте их, либо найдите где-либо другие реализации БПФ)




  1. Написать процедуру для графического отображения коэффициентов ДПФ :

предусмотреть варианты:

  1. отображение амплитудного и фазового спектра сразу в двух окнах

  2. отображение отдельно амплитудного и фазового спектра

NB. Для амплитуды предусмотреть возможность отображения в логарифмическом масштабе:

и в обычном линейном

  1. Проверить правильность работы процедур ДПФ двумя способами :

  1. проводя прямое и обратное ДПФ какого-нибудь тестового сигнала (исходный сигнал должен быть точно восстановлен)

  2. проводя анализ синусоидального сигнала известной частоты и амплитуды и наблюдая его амплитудный спектр




  1. Придумать методику и сравнить c ее помощью быстродействие ваших процедур и «фирменной» процедуры БПФ. Сравнение провести для длительностей сигнала N, равных степени 2. (Можно, например, большое число раз выполнить ДПФ и ОДПФ некоего сигнала и сравнить суммарное затраченное на эти манипуляции время для случаев N=32, 64, 128, 256, 512, 1024)




  1. Придумать и реализовать тесты, наглядно иллюстрирующие применение ДПФ для тригонометрической интерполяции сигнала (10) и спектра (16).




  1. Оформить пользовательский интерфейс программы в виде : 1) выбор модели (см. лаб.работу 1) либо чтение сигнала из файла данных (см. лаб.работу 2); 2) отображение анализируемого сигнала; 3) расчет + отображение спектральных характеристик сигнала – амплитуды и фазы спектра в различных видах.




  1. Оформить отчет в виде файла формата Word.

Каталог: stud
stud -> Методические указания по выполнению лабораторных работ Дисциплина: «Производство строительных материалов, изделий и конструкций»
stud -> 43. Традиционная архитектура микропроцессорной системы
stud -> Методические указания по организации и проведению самостоятельной работы студентов по учебной дисциплине
stud -> История физической культуры и спорта
stud -> Программы студенческой мобильности международные, региональные и национальные организации, фонды и программы
stud -> Конспект первых лекций по дисциплине " основы автоматизированного схемотехнического проектирования радиоэлектронных устройств "
stud -> Программа практики производственная практика для направления: 230100. 62 Информатика и вычислительная техника
stud -> Дипломная работа по созданию аис порядок прохождения преддипломной практики и требования к отчету


Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2019
обратиться к администрации

войти | регистрация
    Главная страница


загрузить материал