Гамильтонова Механика

И. Кричевер

Этот курс – первый в ряду базовых курсов по теоретической физике, читаемых студентам 3-4 года бакалавриата и магистратуры.

В основе математического аппарата современной теории гамильтоновых систем лежат методы и концепции, возникшие в различных разделах математики: в теории дифференциальных уравнений и динамических систем, в теории групп и алгебр Ли, в теории гладких отображений многообразий. Многие современные математические неории, например, бурно развивающаяся симплектическая геометрия возникли из задач классической механики. Поэтому настоящий курс рекомендуется не только тем кто планирует продолжения учебы в магистратуре по направлению “математическая физика”, но и тем, кто собирается заниматься чистой математикой.

1. 
   Лагранжев формализм: принцип наименьшего действия, уравнения Эйлера-Лагранжа, первые интегралы движения и симметрии действия, 1-я теорема Нётер
   
2. 
   Основы гамильтонова формализма: фазовое пространство, преобразование Лежандра, уравнения Гамильтона, скобки Пуассона и симплектическая структура, теорема Дарбу.
   
3. 
   Примеры: Геодезические на группах Ли. Механика твердого тела и гидродинамика идеальной жидкости.
   
   
   
4. 
   Разделение переменных и интегрируемость: уравнения Гамильтона-Якоби, канонические преобразования, фазовые потоки и теорема Лиувилля. Динамические системы с симметриями. Отображение момента. Метод разделения переменных, интегрируемость по Лиувиллю. Системы допускающие представление Лакса