I. Преобразования Фурье. Определение 1



страница10/20
Дата28.07.2017
Размер0,86 Mb.
1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   ...   20

Определение . Функцию

будем называть нормированным преобразованием Фурье.



Определение . Если – нормированное преобразование Фурье функции , то сопоставляемый интеграл

будем называть нормированным интегралом Фурье функции .

Будем рассматривать нормированное преобразование Фурье (16).



Введем для удобства следующие обозначения:



(т.е. ).

В сравнении с прежними обозначениями это всего лишь перенормировка: Значит, в частности, соотношения (15) позволяют заключить, что



или, в более короткой записи,





Определение 5. Оператор мы будем называть нормированным преобразованием Фурье, а оператор будем называть обратным нормированным преобразованием Фурье.

В лемме 1 отмечалось, что преобразование Фурье любой абсолютно интегрируемой на функции стремится на бесконечности к нулю. В следующих двух утверждениях констатируется, что, подобно коэффициентам Фурье, преобразование Фурье тем быстрее стремится к нулю, чем глаже функция, от которой оно берется ( в первом утверждении); взаимный с этим факт будет состоять в том, что чем быстрее стремится к нулю функция, от которой берется преобразование Фурье, тем глаже ее преобразование Фурье (второе утверждение).



Утверждение 1 (о связи гладкости функции и скорости убывания её преобразования Фурье). Если и все функции абсолютно интегрируема на , то:

а) при любом





б)




Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   ...   20


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2019
обратиться к администрации

войти | регистрация
    Главная страница


загрузить материал