Исследовательская работа «Самое интересное число»



Скачать 230,52 Kb.
Дата01.11.2016
Размер230,52 Kb.



МКОУ «Яланская средняя общеобразовательная школа»
ШКОЛЬНОЕ НАУЧНОЕ ОБЩЕСТВО

«ЭВРИКА»




Школьная I научно-исследовательская конференция учащихся «Старт в науку»

Исследовательская работа

«Самое интересное число»
Отделение точных наук,

секция математика.

Работу выполнила: Сычева Ангелина,



ученица 9 класса.

Куратор: Спирина Ирина Марксовна,



учитель математики.

ноябрь 2013 год



Содержание

1. Введение ………………………………………………. ………..3

2. Первое знакомство с числом  …………………………………4

3. История числа  …………………………………………………4

4. Запись числа ……………………………………………………6

5. Поэзия числа  …………………………………………………..7

6. Мнемонические правила ……………………………………….9

7. Число π в литературе …………………………………………...10

8. Забавные факты ………………………………………………...10

9. Заключение ……………………………………………………...13

10. Литература ……………………………………………………..14

11. Приложения………………………………………………….…15- 25





I. Введение

Математика пронизывает все науки без исключения,

и каждый из нас должен быть в ней более или менее компетентен.

В математике есть удивительное и загадочное число.

Это число p.

Никакое другое число не является таким загадочным, как  с его знаменитым никогда не кончающимся числовым рядом. Во многих областях математики и физики ученые используют это число и его законы.

Мало какому числу из всех чисел, которые используются в математике, в естественных науках, в инженерном деле и в повседневной жизни, уделяется столько внимания, сколько уделяется числу . В одной книге говорится: «Число  захватывает умы гениев науки и математиков-любителей во всем мире».

Его можно встретить в теории вероятностей, в решении задач с комплексными числами и прочих неожиданных и далеких от геометрии областях математики. Английский математик Август де Морган назвал как-то  “…загадочным числом 3,14159…, которое лезет в дверь, в окно и через крышу”. Это таинственное число, связанное с одной из трех классических задач Античности - построение квадрата, площадь которого равна площади заданного круга - влечет за собой шлейф драматических исторических и курьезных занимательных фактов.



Цель работы:

  • Исследование числа p и выявление его роли в окружающей среде.

Задачи работы

  • Повысить математическую культуру.

  • Уметь обрабатывать информацию.

  • Развить умение анализировать и делать выводы.

  • Научиться кратко излагать свои мысли.

Объектом исследования является наука математика.

Предметом исследования является иррациональное число p.

Методика проведения работы. В данной работе используется метод теоретического исследования – анализ, сравнение, обобщение и классификация.

Краткая характеристика источников. Для проведения данного исследования использована энциклопедическая и учебная литература разных годов издания и разных авторов.
II. Первое знакомство с числом p.

В школьном курсе математики с числом p мы впервые встречаемся в 6 классе в теме: «Длина окружности и площадь круга». В учебнике мы сталкиваемся со следующим объяснением: «Длина окружности прямо пропорциональна длине её диаметра. Поэтому для всех окружностей отношение длины окружности к длине её диаметра является одним и тем же числом. Его обозначают греческой буквой p («читается «пи»»). Длина окружности: C=2pr; площадь круга S=pr2 ».

В 8 классе мы узнаем, что число p является иррациональным, т.е. его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим. Следовательно, число p - это бесконечная непериодическая дробь.

Затем, в 9 классе мы опять встречаемся с числом p, но уже в курсе геометрии. Здесь мы пытаемся доказать длину окружности следующим образом: «Периметр любого правильного вписанного в окружность многоугольника является приближённым значением длины окружности. Чем больше число сторон такого многоугольника, тем точнее это приближённое значение, так как многоугольник при увеличении числа сторон всё ближе и ближе «прилегает» к окружности».


III. История числа

Число π (произносится «пи» — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине ее диаметра. Обозначается буквой греческого алфавита «p». Старое название  числа p лудольфово число.

В цифровом выражении π начинается как 3,141592… и имеет бесконечную математическую продолжительность.

Как считают специалисты, это число было открыто вавилонскими магами. Оно использовалось при строительстве знаменитой Вавилонской башни. Однако недостаточно точное исчисление значения  привело к краху всего проекта.

Возможно, что эта математическая константа лежала и в основе строительства легендарного Храма царя Соломона. (Приложение №1)

Это число также было известно и древнеегипетским, древнеиндейским и древнегреческим геометрам. Способ его вычисления математическим способом впервые предложил Архимед. (Приложение №2)

Площадь круга диаметром d египетские математики определяли как  (d-d/9)2 (эта запись дана здесь в современных символах). Из приведенного выражения можно заключить, что в то время число  p  считали равным дроби (16/9)2, или 256/81, т.е. p = 3,160...


В священной книге джайнизма (одной из древнейших религий, существовавших в Индии и возникшей в VI в. до н.э.) имеется указание, из которого следует, что число  p  в то время принимали равным  , что даёт дробь 3,162... 
Древние греки Евдокс, Гиппократ и другие измерение окружности сводили к построению отрезка, а измерение круга - к построению равновеликого квадрата.

Следует заметить, что на протяжении многих столетий математики разных стран и народов пытались выразить отношение длины окружности к диаметру рациональным числом.

Первым ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом p английский математик У. Джонсон в 1706 г. В качестве символа он взял первые буквы греческих слов περιφέρεια — окружность, периферия и περίμετρος — периметр. Введённое У. Джонсоном обозначение стало общеупотребительным после опубликования работ Л. Эйлера, который воспользовался введённым символом впервые в 1736 г. (Приложение №3)

Число p связывают с окружностью. Однако это число появляется в различных математических результатах, в которых ни о какой окружности речи не идёт.



Например. ** Рассмотрим множество положительных чисел. Если у них случайным образом выбрать два числа, то какова вероятность того, что выбранные числа не будут иметь общего делителя? Ответ неожидан: искомая вероятность равна 6/ p2.

** Когда-то немецкий математик Лейбниц (1646-1716) заинтересовался, сколько получится в пределе, если последовательно будем складывать такие числа: 1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+... Оказалось, что в пределе мы получим p /4. (Для доказательства Лейбниц пользовался приёмами высшей математики).

** Было найдено и много других формул, где неожиданно появляется число p. Вот формула английского математика Джона Валлиса:



А так выглядит формула Франсуа Виета:



IV. Записи числа p.

Поиски точного выражения  занимали многих ученых – математиков. В начале XVII в. голландский математик из Кёльна Лудольф ван Цейлен (1540-1610)  нашёл 32 правильных знака этого числа. С тех пор значение числа  с 32 десятичными знаками получило название числа Лудольфа.

К концу XIX в., после 20 лет упорного труда, англичанин Вильям Шенкс нашёл 707 знаков числа . Однако в 1945 г. обнаружено с помощью ЭВМ, что Шенкс в своих вычислениях допустил ошибку в 520-м знаке и дальнейшие его вычисления оказались неверными. (Приложение №4)

Эпоха цифровой техники в XX веке привела к увеличению скорости появления вычислительных рекордов. Джон фон Нейман и другие использовали в 1949 году ЭНИАК для вычисления 2037 цифр , которое заняло 70 часов. Ещё одна тысяча цифр была получена в последующие десятилетия, а отметка в миллион была пройдена в 1973 году. Такой прогресс имел место не только благодаря более быстрому аппаратному обеспечению, но и благодаря алгоритмам. Одним из самых значительных результатов было открытие в 1960 году быстрого преобразования Фурье, что позволило быстро осуществлять арифметические операции над очень большими числами.

Итак, с помощью современных вычислительных машин, получено 1000 000 знаков после запятой и периода нет.

Всем нам знакомо значение p с двумя знака после запятой:



p =3,14

А вот как выглядит p с 231 знаком после запятой:



p =3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 192 169 399 375 105 280 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233….

Сравнение точности приближений числа p с рациональными числами приведено в таблице.

Число

Округленное значение

Точность (совпадения разрядов)



3,14159265…






3,14285714…

2 разряда после запятой



3,14166667…

3 разряда после запятой



3,14159292…

6 разрядов после запятой

Анализ данных таблицы, позволяет сделать вывод, что наиболее точным приближением числа p является дробь (Приложение № 5)

V. Поэзия числа 

Большинство из нас будут удивлены, узнав, сколько людей интересуется числом . Но познакомившись поближе с этим виртуальным героем, мы будем удивлены еще больше, ибо история человечества предстанет нам как череда усилий величайших умов по уточнению знаков числа  и поисков алгоритмов для этого процесса.


... Рассмотрите внимательно его первую тысячу знаков, проникнитесь поэзией этих цифр, ведь за ними стоят тени величайших мыслителей Древнего мира и Средневековья, Нового и настоящего времени. (Приложение № 6)

Зачем, спросит обыватель, нам столько знаков, ведь известно, что для расчета полета на край нашей Галактики с точностью, равной диаметру протона, достаточно знать сорок знаков числа , а при расчете земной орбиты вокруг Солнца с точностью до миллиметра достаточно четырнадцати знаков ? А уже в XVII веке были получены первые 34 знака. Трудно объяснить деловым людям, ожидающим непременную сиюминутную выгоду от каждого движения, что число  — это вызов нашему интеллекту, волнующая загадка устройства мира, в конце концов, это очень интересно.

Какое бы сочетание цифр мы бы ни выдумали — оно непременно встретится в знаках числа , то есть можно ожидать появление любой наперед заданной последовательности цифр.

Попробуйте поискать в первых десяти тысячах знаков  свой телефон или дату рождения; если не получится — ищите в ста тысячах знаков. И еще: в числе 1/ начиная с 55172085586-го знака идут 3333333333333; не правда ли, удивительно? Да что ходить далеко: даже в первой тысяче есть неожиданности — пять девяток подряд.


Есть гипотезы, предполагающие, что в числе  скрыта любая информация, которая когда-либо была или будет доступна людям. В том числе и различные предсказания — надо лишь найти их и расшифровать; имея под рукой компьютер — это не составит большого труда. Хочется только напомнить, что один исследователь в ответ на сообщения о наличии в Библии зашифрованных предсказаний сказал, что он с помощью программы нашел в Библии предсказание о том, что в ней нет никаких предсказаний. Но это вовсе не значит, что нужно прекратить все опыты с .


VI.Мнемоническое правило

Мнемо́ника, мнемоте́хника — совокупность специальных приёмов и способов, облегчающих запоминание нужной информации и увеличивающих объём памяти путём образования ассоциаций.

Запоминание числового выражения величины числа  p (~3,14159265358…) происходит легче, если использовать его стихотворные формы, в которых, например:

** число букв в каждом слове соответствует очередной цифре числа:

«Это я знаю и помню прекрасно
Пи многие знаки мне лишни, напрасны»

** Или когда рифмуются сами цифры:



«Чтобы ПИ запомнить, братцы,
Надо чаще повторять
Три, четырнадцать, пятнадцать
Девять, двадцать шесть и пять»

** Другой вариант разбиения:



«Чтобы нам не ошибиться,
Надо правильно прочесть
Три, четырнадцать, пятнадцать
Девяносто два и шесть»

**Также можно использовать диалог "Что я знаю о кругах?", предложенный Я. И. Перельманом:

Что я знаю о кругах? (π ≈ 3,1416).
— Вот и знаю я число, именуемое Пи. – Молодец! (π ≈ 3,1415927).
— Учи и знай в числе известном за цифрой цифру, как удачу примечать (π ≈ 3,14159265359).

Если подсчитать количество букв в каждом слове в вышеприведенных фразах (без учета знаков препинания) и записать эти цифры подряд, не забывая про десятичную запятую после первой цифры «3». Получится приближенное число p.

VII. Число π в литературе

Классический научно-фантастический роман Карла Сагана «Контакт» заканчивается тем, что его героиня находит послание внеземного разума, запрятанное внутри знаков числа p.

Двое математиков - Дэвид Бэйли (Калифорния) и Ричард Крандалл (Орегон) - сделали важный шаг в строгом доказательстве того, что p содержит не какое-то одно сообщение, а вообще любое (в том числе и любое осмысленное). Эти математики показали, что десятичное разложение p содержит любую целочисленную строку. Они также пришли к предварительному выводу, что все строки одинаковой длины встречаются внутри p с одинаковой частотой: 87435 появляется так же часто как 30752, а 451 как 862 и т.п., - это свойство называют нормальностью.

Живёт по доброй воле

У Пи-числа в плену,

Когда же съест пуд соли –

Он снимет пелену!

Вы поглядите, ну:

Вот число по кличке Пи –

Подсчитай-ка, не сопи!

Это знали с древности...

Ты ж, забудь о лености.

Вспомни старый Вавилон –

Мудрецам большой поклон!

Рим, Египет и Китай,

Грекам древним дань отдай!

Антифон и с ним Бризон

Спели чуть не в унисон,

А за ними - Архимед.

Вот кто дали нам ответ!

Есть окружность, вот длина –

Подели давай-ка на:

На диаметр её же...

Не спеши-ка! Хм... Похоже!..

Три-Четырнадцать... Ура!

Ну, а дальше? Ох, дыра...

Сколько знаков без конца!..

Не послать ли нам гонца?

Нет. Ему их не догнать –

Жизнь так можно потерять...

Лучше, слышь, вина купи –

Тост подымем мы за Пи!



VIII. Забавные факты
Иррациональное число во все времена будоражило умы не только ученых, но и простых людей, интересующихся наукой и тайнами Вселенной. Так постепенно число  стало частью международной культуры.
** 14 марта человечество отмечает неофициальный праздник «Международный день числа p». Почему 14 марта? Этот день в американской системе дат записывается как 3.14. Если быть точнее, то поздравлять окружающих с днем  нужно в марте 14-го в 1:59:26, в соответствии с цифрами числа p – 3,1415926…

Интересно, что праздник числа p, отмечающийся 14 марта, совпадает с днем рождения одного из наиболее выдающихся физиков современности Альбертом Эйнштейном. (Приложение № 7)


** Еще одной датой, связанной с числом p, является 22 июля, которою называют «Днем приближенного числа p», так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближенным значением числа p.
** Запомнить знаки человечество пытается уже давно. Но как уложить в память бесконечность? Любимый вопрос мнемонистов-профессионалов. Разработано множество уникальных теорий и приёмов освоения огромного количества информации. Многие из них опробованы на .

Мировой рекорд, установленный в прошлом столетии в Германии - 40 000 знаков. Российский рекорд значений числа  1 декабря 2003 года в Челябинске установил Александр Беляев. За полтора часа с небольшими перерывами на школьной доске Александр написал 2500 цифр числа . (Приложение № 8)

** Мировой рекорд по запоминанию знаков числа p принадлежит японцу Акира Харагучи. Он запомнил число p до 100 - тысячного знака после запятой. Ему понадобилось почти 16 часов, чтобы назвать всё число целиком. (Приложение № 7)


** На сегодняшний день последний рекорд, достигнутый на суперкомпьютерах - это 500 млрд. знаков.
** Билль о числе p ( под биллем разумеют предложение об издании нового закона или постановления, вносимое в одну из палат, или же, в наиболее обширном смысле — сам закон или постановление).

В штате Индиана (США) в 1897 был выпушен билль, законодательно устанавливающий значение числа p равным 3,2. Данный билль не стал законом благодаря своевременному вмешательству профессора Университета Пердью, присутствовавшем во время рассмотрения принятого данного закона.


** До недавнего времени во всем мире существовал только один памятник, посвященный числу «пи». Монумент находится в Сиэтле, на ступеньках перед зданием музея искусств. Он представляет собой огромную греческую букву.

Сотруднику петербургского Музея городской скульптуры пришло в голову увековечить число p на своем загородном участке под Приозерском. Он подошел к идее намного более творчески. Цифры числа он представил в виде деревянных столбиков разной высоты и цвета. Получилась такая математическая радуга..

(Приложение № 9)
** Германский король Фридрих Второй был настолько очарован этим числом, что посвятил ему…целый дворец Кастель дель Монте, в пропорциях которого можно вычислить p. Сейчас волшебный дворец находится под охраной ЮНЕСКО.

(Приложение № 10)


** Выход нового диска Кейт Буш "Aerial" заставил сердца математиков забиться сильнее. В песне, которую певица так и назвала – "Пи", прозвучали 124 числа из знаменитого числового ряда 3,141… (Приложение № 10)
** Существует и Пи-клуб, члены которого, являясь фанатами загадочного математического феномена, собирают все новые сведения о p и пытаются разгадать его тайну. Чтобы вступить в него, для начала надо вызубрить наизусть как можно большее количество знаков p после запятой.

** А вот певицу Кейт Буш, несмотря на то, что она увековечила в своей песне знаменитое число, в клуб фанатов p не примут. В ее песне неправильно названо 25-е число последовательности, да и потом исчезли куда-то целых 22 числа. Так что ей предстоят упорные тренировки.

** В парфюмерии создан аромат названный в честь загадочного числа p - основы многих вычислений, открытий и инноваций. Этот аромат был создан под руководством Александра МакКуина (Alexander McQueen) - коренного англичанина в Париже, поэтому он не мог не получиться неординарным и уникальным, ведь в нем смешалось два мира: английское спокойствие и французская любовь к праздникам. Флакон аромата - отдельное произведение искусства. Он был создан знаменитым дизайнером Сержем Мансо (Serge Mansau) и представляет собой прозрачную пирамиду с вытесненными геометрическими узорами. (Приложение № 10)

IX. Заключение

Число  появляется в формулах, используемых во многих сферах. Физика, электротехника, электроника, теория вероятностей, строительство и навигация - это лишь некоторые из них. И кажется, что подобно тому как нет конца знакам числа , так нет конца и возможностям практического применения этого полезного, неуловимого числа .

В современной математике число p - это не только отношение длины окружности к диаметру, оно входит в большое число различных формул.

Эта и другие взаимозависимости позволили математикам ещё глубже выяснить природу числа p.



X. Список литературы.
1. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. Перевод с немецкого и дополнения И.Б. Погребысского - М.: «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 1978

2. Глейзер. Г.И. история математики в средней школе / Г.И. Глейзер. – М.: Просвещение, 1970.

3. Виленкин Н.Я. Математика: Учеб. Для 6 кл. общеобразоват. Учреждений / Н.Я Виленкин, В.И. Жохов, А.С Чесноков, С.И Шварцбурд.- 15-е изд. Перераб. – М.:

Мнемозина, 2005.

4. Атанасян Л.С. Геометрии: Учеб. Для 7-9 кл. общеобразоват. Учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 13-е изд. – М.: росвещение, 2003.

5. Математика в школе, журнал, 1983 год.

6. Мантуров О.В. Толковый словарь математических терминов: Пособие для учителей / О.В.Мантуров, Ю.К.Солнцев, Ю.И.Соркин, Н.Г.Федин. – М.: Просвещение, 1965.
 
Ссылки

http://crow.academy.ru/dm/materials_/pi/history.htm

http://hab.kp.ru/daily/24123/344634/



Приложение №1


Вавилонские маги.





Вавилонская башня.



Храма царя Соломона


Приложение №2
Архиме́д (Ἀρχιμήδης; 287 до н. э. — 212 до н. э.) древнегреческий   математикфизик и инженер из Сиракуз. Сделал множество открытий в геометрии. Заложил основы механикигидростатики, автор ряда важных изобретений

Архимед родился в Сиракузах, греческой колонии на острове Сицилия. Отцом Архимеда был математик и астроном Фидий, состоявший, как утверждает Плутарх, в близком родстве с Гиероном II, тираном Сиракуз. Отец привил сыну с детства любовь к математикемеханике и астрономии. Для обучения Архимед отправился в Александрию Египетскую — научный и культурный центр того времени.



Приложение №3


Уильям Джонс (англ. William Jones, 1675 год, Лланвихангел-Трер-Бейрд, Англси  3 июля 1749 года, Лондон, Англия) — британский (валлийский) математик, первый обозначил число пи греческой буквой . Отец филолога Уильяма Джонса.







Уильям Джонс родился в 1675 году в семье Джона Джорджа Джонса и Элизабет Роуланд в деревне Лланвихангел-Трер-Бейрд в Англси. Семья была бедной, и Уильяма отдали на обучение в местную благотворительную школу в приходе Лланвехелль. Там его математические способности были замечены местным помещиком, который помог Джонсу устроиться на работу в бухгалтерию лондонского торговца. Успехами в своей карьере Джонс был в частности обязан достопочтенному семейству Бакли из Северного Уэльса, а также графу Макклесфилду.
Приложение №4

Людольф ван Цейлен  — голландский математик (28 января 154031декабря1610).

Важнейшей работой ван Цейлена было вычисление числа Пи с 35 десятичными знаками. Это число известно под именем Людольфского, согласно его завещанию оно должно было быть выбито на его надгробии. В вычислении ему очень много помогала его жена.




Вильям Шенкс (1812—1882 г.) - английский математик. 15 лет своей жизни в конце XIX века посвятил вычислению числа пи, и установил новый рекорд, указав уже 707 знаков после запятой, хотя из-за ошибки только первые 527 были верными. Чтобы избежать подобных ошибок, современные вычисления подобного рода проводятся дважды. Если результаты совпадают, то они с высокой вероятностью верные. Ошибку Шенкса обнаружил один из первых компьютеров только в 1948 году; он же за несколько часов подсчитал 808 знаков числа пи.




Приложение №5


Сравнение точности приближений числа p с рациональными числами.


Число

Округленное значение

Точность (совпадения разрядов)



3,14159265…






3,14285714…

2 разряда после запятой



3,14166667…

3 разряда после запятой



3,14159292…

6 разрядов после запятой







Приложение №6
Рассмотрите внимательно его первую тысячу знаков,

проникнитесь поэзией этих цифр, ведь за ними стоят

тени величайших мыслителей Древнего мира и

Средневековья, Нового и настоящего времени.


p = 3,1415926535 8979323846 2643383279 50288419716939937510

5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679

8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128

4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196

4428810975 6659334461 2847564823 37867831652712019091

4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273

7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436

7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094

3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548

0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912

9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798

6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132

0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872

1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235

4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960

5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859

5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881

7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303

5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778

1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989….

Приложение №7
День числа ПИ – отмечается 3.14 в 1.59.26

π ≈ 3,1415926……




Мировой рекорд по запоминанию знаков числа p принадлежит японцу Акира Харагучи. Он запомнил число p до 100 - тысячного знака после запятой. Ему понадобилось почти 16 часов, чтобы назвать всё число целиком.



Приложение №8

Российский рекорд значений числа  1 декабря 2003 года в Челябинске установил Александр Беляев. За полтора часа с небольшими перерывами на школьной доске Александр написал 2500 цифр числа .


Приложение №9
Памятник, посвященный числу «пи».

Монумент находится в Сиэтле, на ступеньках перед зданием музея искусств. Он представляет собой огромную греческую букву.





Памятник числу Пи под Приозерском




Приложение №10

Германский король Фридрих Второй был настолько очарован этим числом, что посвятил ему…целый дворец Кастель дель Монте, в пропорциях которого можно вычислить p. Сейчас волшебный дворец находится под охраной ЮНЕСКО



Выход нового диска Кейт Буш "Aerial" заставил сердца математиков забиться сильнее. В песне, которую певица так и назвала – "Пи", прозвучали 124 числа из знаменитого числового ряда 3,141…








Приложение №11

В парфюмерии создан аромат названный в честь загадочного числа p - основы многих вычислений, открытий и инноваций.





Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница