Комплексные числа



страница1/7
Дата01.11.2016
Размер1,9 Mb.
  1   2   3   4   5   6   7
Воронежская область Каменский район

МКОУ «Марковская СОШ»

УЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

Факультатив для старших классов по теме: «Комплексные числа»

Выполнила: учитель математики

1 категория

Ромасева Людмила Владимировна

Марки

2012-2013 уч.год



СОДЕРЖАНИЕ

Стр.


  1. Введение 3



  1. Планирование занятий факультатива для старших классов

по теме: «Комплексные числа» 5

  1. Факультатив для старших классов по теме:

« Комплексные числа» 7

    1. Комплексные числа в алгебраической форме

(занятия 1-10) 7

    1. Геометрическая интерпретация комплексных чисел

( занятия 11-15) 30

3.3 Комплексные числа в тригонометрической форме

(занятия 16-25) 49

3.4 Решение в радикалах уравнений 3-й степени

( занятия 26 – 30) 70


  1. Заключение 81



  1. Приложения 1- 9 85



  1. Список использованной литературы 105

1. ВВЕДЕНИЕ

Теория комплексных чисел является составной частью учебной программы по математике для школ с углубленным изучением математики. Это объясняется тем, что, будучи непосредственным обобщением понятия действительного числа, комплексное число является завершающим элементом в стройной и строгой логической конструкции понятия числа. Именно поэтому необходимо включение темы «Комплексные числа» в программу для старших классов.

Однако, следует отметить тот факт, что в факультативном курсе для 10-го класса, содержащем материал по теории комплексных чисел, в качестве приложения этой теории приведены сведения из теории комплексного переменного и теории дифференциальных уравнений.

Думается, что этот факультативный курс, давая дополнительные сведения к основному школьному курсу, должен быть с ним, тем не менее, логически связан. Именно поэтому в предлагаемом факультативе в качестве приложений теории комплексных чисел рассмотрены: решение квадратных уравнений с комплексными коэффициентами, решение в радикалах уравнений 3-й степени, решение задач на ГМТ.

Таким образом, основной причиной выбора темы иследовательской работы явилась целесообразность введения в старших классах факультатива по теме: «Комплексные числа», что в свою очередь вызвано следующими проблемами школьной математики.

1.Необходимость расширения математического кругозора выпускников и повышение математической культуры учащихся.

Наличие у комплексных чисел более тесной, нежели у других числовых множеств, связи с геометрией (в частности, с векторным исчислением) представляют широкие возможности, с одной стороны, применения алгебраических методов к решению геометрических задач (задачи на ГМТ), а с другой стороны, наглядных геометрических интерпретаций различных алгебраических операций (действия с комплексными числами в тригонометрической форме).



2.Необходимость логического завершения развития понятия числа и ликвидация тем самым пробела, существующего в программе средней школы.

3.Выделение из множества всех алгебраических уравнений лишь тех, которые «Решаются в радикалах», т.е. для которых существуют формулы, выражающие корни уравнения через его коэффициенты.

Сюда относится решение уравнений 3-й (и сводящихся к ним уравнений 4-й степени), поскольку по теореме Абеля: «Ни для какого натурального числа n>4 нельзя указать формулу, которая выражала бы корни любого уравнения n-й степени через его коэффициенты при помощи радикалов».



Тем самым завершается алгебраическое образование школьников.

Проделана следующая работа:

1.Разработано содержание курса (объем изучаемого материала).

Факультативный курс состоит из четырех разделов:

- комплексные числа в алгебраической форме(10 часов);

- геометрическая интерпретация комплексных чисел(5 часов);

- комплексные числа в тригонометрической форме (10 часов);

- решение уравнений 3-й степени( 5 часов).



2.Разработана структура курса (поурочное изложение материала)

3.Составлены карты индивидуальных заданий по первому и третьему разделам (с целью дифференцированного подхода к организации самостоятельной работы учащихся на уроках) – приложения 1-5, 6-8.

4.Составлены контрольные работы по первым трем разделам (4 варианта в каждой контрольной работе; приведены ответы)

5.Отдельным приложением (9) идет решение уравнений 4-й степени методом Феррари.

Введение исследовательской работы представляет собой выяснение причин, обусловивших выбор данной темы исследований.

Заключение исследовательской работы содержит сведения по истории формирования и развития понятия комплексного числа.

Планирование занятий факультатива для старших классов по теме «Комплексные числа»

(30 часов).

Номера занятий Содержание занятий Кол-во часовЛекцияПрактика 1 234

1

2

3



4

5-6


7-8

9-10


11

12

13



14

15

16-17



18-19

20-21


22-23

24-25


26-27

28-30I.Комплексные числа в алгебраической форме.(10 часов)

Введение понятия комплексного числа.

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел. Степени мнимой единицы.

Операция сопряжения и ее свойства.

Модуль комплексного числа.

Извлечение квадратного корня из комплексного числа.

Действия с комплексными числами в алгебраической форме.

Действия с комплексными числами в алгебраической форме.

Контрольная работа №1.



II. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.(5 часов)

Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Контрольная работа №2.



III.Комплексные числа в тригонометрической форме.( 10 часов)

Тригонометрическая форма комплексного числа. Связь с алгебраической формой комплексного числа.

Действия с комплексными числами в тригонометрической форме. Возведение в натуральную степень и извлечение корня из комплексного числа в тригонометрической форме.

Действия с комплексными числами в тригонометрической форме.

Действия с комплексными числами в тригонометрической форме.

Контрольная работа №3



IV.Приложение теории комплексных чисел к решению уравнений.( 5часов)

Решение уравнений третьей степени.

Решение уравнений третьей степени.

1

1



1

1

1



2

2

2



2

2

2



1

1

1



1

2

2



2

3

3.1.Комплексные числа в алгебраической форме



Занятие 1.

Введение понятия комплексного числа.

(Лекция)

Понятие числа прошло длинный исторический путь. В процессе развития математики числовая система расширялась не один раз. Уже на ранних этапах развития человечества в результате счета возникают натуральные числа. Постепенно складывае6тся представление о бесконечности множества натуральных чисел и появляется понятие натурального ряда – бесконечной последовательности чисел 1, 2, 3, 4, 5, . . . . Затем возникают дроби, нуль, отрицательные числа, необходимые для решения линейных уравнений вида

ax+ b = 0,

где a и b-целые числа.

Поскольку рациональных чисел было достаточно для того, чтобы с любой степенью точности выразить результат любого изменения, то долгое время считали, что результат измерения всегда выражается или натуральным числом, или отношением двух таких чисел, т.е дробью.

Однако, еще в школе Пифагора был обнаружен тот факт, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной и поэтому не может быть точно выражена рациональным числом. Это открытие привело, в конце концов, к тому, что в математику вошли иррациональные числа.

Рациональные числа вместе с иррациональными образуют множество действительных чисел, которое является расширением множества рациональных чисел, поскольку на нем также определены четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение и деление (кроме деления на нуль).

Важное место в алгебре занимает решение алгебраических уравнений, т.е уравнений вида

а0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an =0,

где a0, a1, …., an-действительные числа. Однако, оказалось, что для решения таких уравнений действительных чисел явно не достаточно. Например, действительных корней не имеет квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом. Простейшим таким уравнением является уравнение

х2 + 1 = 0.

Для того, чтобы это уравнение имело решение, необходимо расширить множество действительных чисел путем присоединения к нему корня уравнения х2 = -1. Обозначим этот корень через i

Таким образом, по определению

i2 + 1 = 0, или i2 = -1, следовательно i =√-1.



Символ i называется мнимой единицей. С его помощью и с помощью пары действительных чисел a и b составляется выражение вида

z = a + bi.

Полученные выражения назвали комплексными числами, поскольку они содержали как действительную, так и мнимую части (от французских слов «reel» - действительный и «imaginaire» - мнимый, воображаемый). Название 2комплексное» переводится как «составное» - по виду выражения a + bi.

Итак, комплексными числами называются выражения вида



z = a + bi,

где a и b – действительные числа, а i – некоторый символ, удовлетворяющий условию i = √-1. Число a называется действительной частью комплексного числа z = a + bi, a число b его мнимой частью. Для их обозначения используются символы

a = Re z, b = Im z.

Комплексные числа вида z = a + 0i = a являются действительными числами и, следовательно, множество комплексных чисел содержит в себе множество действительных чисел. Если потребовать, как мы сделаем это ниже, чтобы операции сложения и умножения комплексных чисел не выводили за пределы множества комплексных чисел и обладали всеми свойствами одноименных операций на множестве действительных чисел, то множество комплексных чисел будет расширением множества действительных чисел.

Теоретическое обобщение понятия числа можно проиллюстрировать следующей схемой.

Комплексные числа (С)

…, 0, -1 ,i, 3+7i, -2-0, 6i, е, 1/√2,….

Действительные числа (R)

…, -7, 3, …, -3√3, …, 0, …, √2, …, π, .

Целые числа (Z)

…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ….

Рациональные числа (Q)

…, -3, …, -1/3, …, 0, …, 1,5, ….

Рациональные числа (Q)

Натуральные числа (N)

1, 2, 3, 4, 5, …

Комплексные числа вида z = 0 + bi называются чисто мнимыми.

Два комплексных числа z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е если выполняются равенства

a1 = a2; b1 = b2.

Занятие 2.

СЛОЖЕНИЕ, ВЫЧИТАНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКНЫХ ЧИСЕЛ. СТЕПЕНИ МНИМОЙ ЕДИНИЦЫ.

(Лекция).

Определим операции сложения и умножения комплексных чисел.



Суммой двух комплексных чисел z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i называется комплексное число z1 = z2 вида

z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1+b2) i.

Произведение двух комплексных чисел z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i можно найти, почленно умножая числа z1 и z2:

z1 z2 = (a1 + b1i)( a2 + b2i) = (a1 a2 + b1 b2i2) + (a1 b2 + a2 b1) i =( a1 a2 - b1 b2) + (a1 b2+ a2 b1)i.

Таким образом, произведением двух комплексных чисел z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i называется комплексное число z1 z2 вида



z1 z2 =( a1 a2 - b1 b2) + (a1 b2 + a2 b1) i.

Пример. Найти сумму комплексных чисел z1 =2 +3 i и z2 = -3- i.

Решение. z1 + z2 =(2+3 i) + (-3- i) = (2+(-3)) + (3+(-1)) = -1 + 2 i.

Ответ: -1 + 2 i.

Пример. Найти произведение комплексных чисел z1 = 3+2i и z2 = -1-i.

Решение. z1z2 = (3+2i)(-1-i) = (3(-1)-2(-1)) + (3(-1) +(-1)2) i = -1-5i

Ответ: -1-5i

СВОЙСТВА ОПЕРАЦИЙ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ

КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ.

Каковы бы ни были комплексные числа z1, z2, z3, справедливы следующие равенства:

  1. Коммутативный (переместительный) закон сложения:

z1+ z2 = z2 + z1.

  1. Ассоциативный (сочетательный) закон сложения (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)

  2. Коммутативный закон умножения:

z1 z2= z2 z1

  1. Ассоциативный закон умножения:

(z1 z2) z3= z1(z2 z3).

  1. Дистрибутивный (распределительный) закон умножения относительно сложения:

z1(z2+ z3)= z1 z2+ z1 z3.

Проведем доказательства свойства 3 (остальные свойства доказываются аналогично).



Доказательство. Пусть z1= a1+ b1i, z2= a2+ b2i. Тогда поскольку ai и bi – действительные числа, для которых умножение коммутативно, имеем:

z1 z2=( a1+ b1i)( a2+ b2i)=( a1 a2+ b1 b2)+( a1 b2+ a2 b1)i= (a2 a1- b2 b1)( b2 a1+ b1 a2 )i=( a2+ b2i)( a1+ b1i)= z2 z1.



Кроме того, в множестве комплексных чисел есть «особые» элементы

0=0+0i и 1=1+0i,

которые обладают такими же свойствами, что и на множестве действительных чисел, а именно, для любого комплексного числа z = a + bi имеют место равенства.


  1. z + 0 = z.

  2. z 0 = z.

  3. Произведение двух комплексных чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Доказательство. Пусть z1= a1+ b1i, z2= a2+ b2i и z1 z2=0. Тогда по определению равенства и произведения двух комплексных чисел получаем систему уравнений:

a1 a2- b1 b2=0, (1)

a1 b2+ a2 b1=0, (2)

Умножив уравнение (1) на a2 , а уравнение (2) на b2 и сложив получаемые уравнения, приходим к системе:

a1 a2- b1 b2=0, a1 a2- b1 b2=0, (1)*

a1 a22+ a1 b2=0; a1(a22+ b22)=0. (2)*

Возможны два случая.

1 случай. a1=0

Тогда из уравнения (1)* следует, что b1 b2=0. Если b1=0, а b2≠0 то z1= a1+ b1i=0. Если b2=0, а b1≠0, то из уравнения (2) следует, что a2b1 =0, значит, a2=0, т.е. z2=a2+b2i=0.

Если b1=b2=0, то z1=0.

2 случай. a1≠0.

Тогда из уравнения (2)* следует, что a22+b22=0, т.е. a2=b2=0, значит, z2=0.



  1. z1=z

10. Всякому комплексному числу z=a+bi соответствует противоположное комплексное число (-z) такое, что z+(-z)=0.

Доказательство. Вычислим (-z). Пусть (-z)=x+yi, тогда получаем систему: a+bi+x+yi=0+0i

a + x=0,

b + y=0;

откуда находим x = - a,

y= - b.

Таким образом, (-z)= - a- bi.



11.Всякому комплексному числу z= a + b i, отличному от нуля, соответствует обратное комплексное число z-1 такое, что

z z-1=1.

Доказательство. Условие z≠0 равносильно условию a2 + b2 ≠0. Вычислим z-1

z = = = = = - i.

Значит, z-1 = - i.

Пользуясь понятиями противоположного и обратного комплексного числа, определим операции вычитания и деления комплексных чисел.



Для того. Чтобы найти разность двух комплексных чисел z1 = a1 +b1i и z2 = a2 + b2 i, достаточно сложить число z1 с числом, противоположным числу z2, т.е.

z1 - z2 =(a1- a2) + (b1 – b2) i.

Пример. Вычислить z1- z2, если z1=5-2 i, z2=-3+ i.

Решение. z1- z2 = (5-(-3)) + (-2-1) i = 8-3i.

Ответ: 8-3i.

Для того, чтобы разделить комплексное число z1=a1+b1i на комплексное число z2=a2+b2i, не равное нулю, достаточно умножить число z1 на число, обратное числу z2, т.е

= z1z2-1 = (a1+b1i)( - = = = +


Пример. Вычислить .

Решение.

= ( ( - = )(- = = = - - i.


Ответ: -1,7 – 0,1i.

СТЕПЕНИ МНИМОЙ ЕДИНИЦЫ.

Вычислим степени мнимой единицы i. Прежде всего, как и для действительных чисел, положим i0 = 1. Тогда

i 1 = i;

i 2 = -1(по определению мнимой единицы);

i3 = -i;

i4 = -i2 =1;

i5 = i4 i= i;

i6= i5 i = i2=-1;

i7= i6 i=- i;

i8= i7 i=1; и т.д.

Вообще, если натуральный показатель степени m при делении на 4 дает в остатке r. Т.е. если m=4n+r , где n-натуральное число, то im= i4n+r = (i4)n ir = ir = ir

При этом ir =



Пример. Вычислить а) i233; b) i102; c) i67; d) i516.

Решение. а) i233 = i232+1 = i

b) i102= i100+2= i2 = -1;

c) i67 = c) i64+3= c) i3 = i;

d) i516 = i0 = 1.



Ответ: а) i; b) -1; c) –i; d) 1.

Занятие 3.

ОПЕРАЦИЯ СОПРЯЖЕНИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА. МОДУЛЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА.

(Лекция)

__

Комплексное число z называется сопряженным комплексному числу z = a + bi, если



__

z = a – bi.

____

Пример. 3+4i = 3-4i.



СВОЙСТВА ОПЕРАЦИИ СОПРЯЖЕНИЯ.

__

__



  1. z = z.



  1. Для любого действительного числа а справедливо равенство

__

a = а.


  1. Для любого действительно числа b справедливо равенство

__

bi = -bi Справедливость свойств 1-3 следует непосредственно из определения операции сопряжения.

____ __ __


  1. z1+z2 = z1 + z2 . Пусть z1 = а1 + b1i, z2 = a2 + b2i. Тогда z1 = а1 - b1i, z2 = a2 - b2i.

Поэтому

_____ _______________ _______________ ____________

z1 + z2 = (а1+ b1i) + (a2+ b2i) = (а1+ a2)+( b1+ b2) i = ( а1+ a2)+( b1+ b2) i

_ __


=( а1+ a2) - ( b1+ b2) i = ( а1- b1i)+( a2 - b2i)= z1+ z2.

___ _ __



  1. z1 z2 = z1 z2.

___ ______________

Если z1= а1+ b1i, z2= a2+ b2i, то z1 z2=( а1+ b1i)( a2+ b2i) = (а1 a2- b1 b2) – (а1 b2+ a2 b1) i.

С другой стороны,

___


z1 z2 = ( а1- b1i)( a2- b2i) = (а1 a2- b1 b2) – (а1 b2+ a2 b1)i.

Полученные одинаковые результаты доказывают справедливость свойства 5.




Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3   4   5   6   7


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница