Контрольная работа №3 2011 в каких случаях возможна линеаризация нелинейных уравнений?



Скачать 109.8 Kb.
Дата29.10.2016
Размер109.8 Kb.
ТипКонтрольная работа
Федеральное Агентство по образованию
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)
Кафедра компьютерных систем в управлении и проектировании (КСУП)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3

2011




  1. В каких случаях возможна линеаризация нелинейных уравнений?

Так как операция линеаризации проводится с помощью разложения в ряд Тейлора, то она применима только к непрерывно дифференцируемым (линеаризуемым) нелинейностям и возможна только при достаточно малых отклонениях величин и при отсутствии разрывов в функции F в окрестностях интересующей нас точки.


  1. В чем различия и что общего между исходным нелинейным уравнением и линеаризованным?

Различия:

1. Линеаризованное уравнение приближенно. При разложении в ряд Тейлора члены ряда высоких порядков малости отбрасываются. Геометрически это равносильно замене всех нелинейных зависимостей исходного дифференциального уравнения отрезками прямых линий и их линейной композицией.

2. Линеаризованное уравнение составлено относительно отклонений, а не самих сигналов (уравнение в отклонениях). Это позволяет интересующую нас точку считать номинальным, установившимся режимом системы, и получить нулевые начальные условия в данной точке.

3. Линеаризованное уравнение линейно, и операции над ним проще. К линеаризованной системе применим принцип суперпозиции, при которой реакция системы на несколько одновременных входных воздействий сводится к сумме реакций на каждое воздействие в отдельности. Это позволяет проводить структурную декомпозицию системы и проводить анализ элементов структуры по отдельности.

Общее:

1. Форма линеаризованного и нелинеаризованных уравнений совпадают.

2. Они описывают один и тот же объект (систему).


  1. Как записывается общее решение однородного линейного дифференциального уравнения в случае некратных и кратных корней характеристического уравнения?

Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения является линейной композицией частных решений.

Для действительных некратных корней частными решениями являются:



и общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

.

Для какого-либо кратного корня (кратность k):



.

В случае комплексных корней, каждой паре комплексно-сопряженных корней



кратности n, соответствуют 2n частных решений:



Общее количество этих частных решений будет соответствовать степени дифференциального уравнения, и эти решения линейно независимы, а постоянные коэффициенты при них находятся из начальных условий.




  1. К каким вынуждающим функциям применим метод неопределенных коэффициентов при решении неоднородных дифференциальных уравнений?

Метод неопределенных коэффициентов может быть применен в том случае, если вынуждающая функция f(t) имеет конечное число линейно независимых производных. Функция f(t) в этом случае может быть многочленом целой положительной степени t или состоять из комбинации экспоненциальной, синусоидальной или гиперболической функций.


  1. В чем состоит необходимое и достаточное условие линейной независимости n решений однородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка?

Необходимым и достаточным условием независимости функций y1...yn на некотором отрезке, является тождественное неравенство нулю определителя Вронского на этом отрезке. Определитель Вронского представляет собой определитель квадратной матрицы вида

Если решения y1, y2 дифференциального уравнения линейно независимы на некотором отрезке, то определитель Вронского, составленный для этих решений, не обращается в нуль ни в одной точке этого отрезка. И наоборот, если y1, y2 линейно зависимы на отрезке, то определитель Вронского на этом отрезке тождественно равен нулю.




  1. К каким функциям не применимо преобразование Фурье?

Прямое преобразование Фурье функции f(t) есть интеграл вида
, которая получается при помощи предельного перехода от суммы ряда Фурье к интегралу по всей частотной оси (Т   ).

Для разложимости функции в ряд Фурье пока не найдены необходимые и достаточные условия. Для разложимости почти всюду на отрезке, достаточна интегрируемость функции вместе с ее р (р>1) степенью. Рассмотрим два класса функций, представимых рядом Фурье - кусочно-монотонные и кусочно-гладкие. Для этих классов необходимо, чтобы функция f(t) удовлетворяла условиям Дирихле — кусочно-непрерывная, ограниченная, с конечным числом экстремумов на периоде. Подразумевается также, что она периодическая и имеет в любой точке периода конечные производные хотя бы с одной стороны (условие Дини). Кроме того, чтобы преобразование Фурье было определено для функции , необходимо чтобы вышеуказанный интеграл сходился абсолютно (являлся т.н. интегралом Лебега -). Менее сильное условие — равенство Парсеваля -


Поскольку в подинтегральном выражении присутствует множитель , модуль которого равен единице, интеграл Фурье сходится лишь для быстро сходящихся функций. Для того чтобы расширить класс функций, для которых возможно интегральное преобразование, вместо чисто мнимого показателя -jt , можно взять полное комплексное число с вещественной частью, не равной нулю, в результате получим преобразование Лапласа, для которого существование интеграла обеспечивается условием (М и s0 — некоторые положительные числа).

В случае, если функция времени представляет собой дискретный набор значений, определение прямого интеграла Фурье также не имеет смысла. Но можно представить дискретную функцию времени в виде суммы «дельта-функций». Если дискретность функции имеет постоянный шаг по времени dt и бесконечна по времени, то прямое преобразование Фурье даст непрерывный периодический спектр, с периодом по частоте Fs = 1/dt.




  1. Как получить из преобразования Лапласа преобразование Фурье?

Преобразование Лапласа имеет ядро преобразования в отличие от ядра преобразования Фурье — . Наличие вещественной части в показателе существенно расширяет класс функций, для которых определено преобразование Лапласа. Отображение Лапласа определено для комплекснозначных функций, для которых , где М, s0 - константы, s00 — порядок роста функции. При этом интеграл преобразования Лапласа, может сходиться не при всех значениях p.

Для функций с порядком роста s0=0, преобразование Лапласа вырождается в преобразование Фурье. Отсюда, преобразование Лапласа — это Фурье-преобразование функции , где множитель улучшает функцию , делая для нее возможным Фурье-преобразование.




  1. Что такое передаточная функция системы?

Математическое описание системы обычно строится на составлении систем дифференциальных уравнений. Особенно важно, что поведение объектов самой различной природы описывается одними и теми же уравнениями, что позволяет использовать одни и те же методы их решения для самых различных технических задач. Однако часто непосредственное решение таких уравнений сложно, поэтому используют прикладные методы операционного исчисления. Наиболее распространенным является преобразование Лапласа, дающее возможность взаимно-однозначного перехода от дифференциальных уравнений к алгебраическим. Это существенно облегчает их решение, а кроме того позволяет ввести понятие передаточной функции. При этом система рассматривается как черный ящик, по определенному закону преобразующий входные сигналы Х(t) в выходные Y(t) :

или


где pk — оператор, обозначающий дифференцирование соответствующей функции времени k раз.

Операторный вид дифференциального уравнения системы:



, где М(р) — полином, учитывающий ненулевые начальные условия (можно назвать его состоянием объекта в начальный момент времени):

Во многих практических задачах начальные условия нулевые, либо сводятся к ним.

Отношение изображений по Лапласу выходной функции к входной при нулевых начальных условиях называется передаточной функцией системы ,

она полностью определяет динамические свойства объекта, и задача исследования и расчета многих систем начинается с ее определения. Понятие передаточной функции широко используется в теории автоматического регулирования, проектировании электронных устройств и обеспечивает легкий переход из операторной формы в частотную или временную область и обратно.



  1. Как связаны оператор сдвига E и разностный оператор ∆?

Определенный для дискретных систем оператор сдвига Е определяет следующее значение функции в ряду , а правый разностный оператор – разность между текущим и следующим значением . Связь между оператором сдвига и разностным оператором принимает вид

;

В результате имеется аналогия между дискретной и непрерывной функциями времени:



, где Т – шаг дискретизации, постоянный для данной системы (1 в дискретном времени). Системы разностных уравнений играют такую же роль в описании дискретных систем, что и дифференциальные уравнения в описании систем и цепей непрерывного времени.


  1. В какой форме записывается общее решение однородного разностного уравнения в случае некратных и кратных корней характеристического уравнения?

Рассмотрим однородное разностное уравнение порядка n:

Его решением будет линейная комбинация n независимых решений :



где сi — постоянные, определяемые из начальных условий.



Проведя формальную замену в исходном уравнении, получим характеристический многочлен:

Найдя его корни , получим общее решение в виде



, если все корни действительны и различны,

в случае кратных корней (m, l - кратности соответствующих корней).

В случае нулевых корней, их не учитывают, поскольку при этом порядок характеристического полинома больше порядка разностного уравнения.


  1. Что такое факториальный многочлен?

Операции дифференцирования и интегрирования многочленов в конечных разностях удобно определять с помощью операции факториальной степени, определяемой так:

В отличие от обычных степеней, дающих сложные разности



факториальные степени имеют свойства, позволяющие легко представлять обычные степени и их разности в виде факториальных многочленов, вида , а обычные многочлены — в виде суммы факториальных многочленов:





Кроме того, с помощью факториальных многочленов легче находить аналитические выражения для частичных сумм вида , т.н. телескопирующие функции, разность которых . В методичке эта функция определена в операторной форме как , и является аналогом интегрирования .

Общая формула телескопирования факториального многочлена



имеет вид :

Например для функции х2 имеем факториальный многочлен :





и телескопирующую функцию



  1. Как связаны дискретное преобразование Лапласа и z-преобразование?

Дискретное преобразование Лапласа является функциональным преобразованием решетчатых функций и определяется соотношением

где f(n) может быть получена в виде счетной последовательности значений непрерывной функции путем выборки с шагом дискретизации Т — f(t) fT) f(n), а s=kT= + jx — комплексное число, называемое параметром преобразования. По аналогии с обычным, интегральным преобразованием Лапласа, называют оригиналом, а — изображением решетчатой функции.

Дискретное преобразование Лапласа является аналогом обычного прямого преобразования Лапласа (для непрерывных функций), и существует соотношение между отображением решетчатой функции и отображением соответствующей непрерывной функции :

Однако для поиска обратного отображения, когда необходимо найти оригинал решетчатой функции по его изображению, возникают трудности из-за наличия иррационального множителя .—

Если сделать замену переменной , преобразование становится дробно-рациональной функцией переменной z, и получаем операцию Z- преобразования,

являющейся степенным рядом, сходящимся абсолютно и равномерно, в общем случае, некотором кольце комплексной плоскости . Например, если , то ряд сходится при |z|>ea, а для единичного скачка , область сходимости лежит вне единичной окружности (при |z|=1 получаем дискретное преобразование Фурье!).

Можно сказать, что z- преобразование является обобщением дискретных преобразований (для — дискретное преобразование Фурье, — дискретное преобразование Лапласа)

Обращение этого преобразования в общем случае имеет вид



, где С- любой замкнутый контур, включающий в себя все особые точки функции Fz(z). Вычисление оригинала часто удается произвести с помощью вычетов, но особенно просто, если Fz (z) может быть разложено по степеням 1/z.


  1. Что такое импульсная передаточная функция системы?

Формально импульсная передаточная функция может быть определена как отношение характеристических полиномов левой и правой части разностного уравнения, если сделать формальную замену операторов сдвига En или разности n некоторой переменной rn:

Более строго, импульсная передаточная функция, — это отношение z-отображения выходной функции к z-отображению входной функции предварительно невозбужденной системы (нулевые начальные условия). Является дискретным вариантом обычной передаточной функции.




  1. Какие методы существуют для нахождения обратного z-преобразования?

Поскольку Z-преобразование является периодической функцией (с периодом T), обратное преобразование является поиском последовательности f[kT]=f[n], аппроксимирующей исходную функцию f(t). Кроме того, обязательным условием является указание области сходимости, так как одному и тому же z-преобразованию, определенному в различных областях сходимости, соответствуют разные последовательности.

Существует два общих метода поиска этой последовательности:



  1. Контурное интегрирование.

Умножим обе части исходного выражения для Z-преобразования

на и проинтегрируем результат по контуру в комплексной плоскости:

если контур интегрирования включает в себя все особые точки Fz(z), и лежит в области сходимости, можно поменять порядок интегрирования и суммирования в правой части:





согласно интегральной формуле Коши, интеграл в скобках равен

Отсюда

Естественно, контур интегрирования должен быть внутри области сходимости.

Согласно теореме о вычетах, этот интеграл равен сумме вычетов функции относительно всех особых точек, попадающих внутрь контура интегрирования:



,

где n — общее количество особых точек (включая кратные полюсы), r — кратность i-го полюса




  1. Разложение на элементарные дроби.

Если представляет собой дробно-рациональную функцию, удобнее всего разложить ее на элементарные дроби, и по имеющимся таблицам (либо с помощью интегрирования) провести почленное обращение.

Так, если известны все нули zi и полюсы pi функции, ее можно представить в виде



(Mдля которой





  1. Разложение в степенной ряд.

Это частный метод, позволяющий найти несколько членов последовательности, но не позволяющий получить общую формулу для любого члена последовательности f(kT).

Особенно просто обращение находится, если можно разложить по степеням z-1, т.к. из определения Z- преобразования, его можно представить рядом Тейлора вида , и в большинстве случаев достаточно разделить числитель интересующего нас члена ряда на соответствующую ему степень z


Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2019
обратиться к администрации

войти | регистрация
    Главная страница


загрузить материал