Лекция электродинамика теории относительности (продолжение)



Скачать 47,14 Kb.
Дата25.10.2016
Размер47,14 Kb.
ЛЕКЦИЯ 7. Электродинамика теории относительности (продолжение).
7.1. 4-ток. Уравнение непрерывности

В основу построения релятивистской электродинамики положим утверждение об инвариантности электрического заряда и закон сохранения заряда. Закон сохранения электрического заряда



(7.1)

должен быть справедлив во всех инерциальных системах отсчета. Наша задача состоит в том, чтобы придать данному закону релятивистски-ковариантный вид.

Запишем уравнение непрерывности в виде

. (7.2)

Введем 4-е вектор тока (4-ток)



. (7.3)

Используя определение 4-е дивергенции (6.13), придадим уравнению (7.2) ковариантный вид



. (7.4)

Уравнение (7.4) содержит ковариантный оператор (6.11), который обладает всеми свойствами 4-е вектора. Ковариантность уравнения (7.4) обеспечивается требованием, чтобы компоненты образовывали 4-е вектор.

Из определения 4-е тока следует, что при переходе от одной системы отсчета к другой его компоненты преобразуются по формулам (6.2):

. (7.5)

Рассмотрим систему отсчета , в которой заряды покоятся, т.е. . Перейдем в систему отсчета , которая движется со скоростью относительно первой. Сами заряды по отношению к системе отсчета будут двигаться со скоростью . Тогда в системе отсчета, по отношению к которой заряды движутся со скоростью , получим:



. (7.6)

Данные преобразования показывают, что переход от одной системы отсчета в данном случае сводится к возникновению электрического тока и изменению плотности электрического заряда.

Пусть теперь в системе : - нейтральный проводник с током. Тогда переход к системе , которая движется со скоростью относительно , сводится к возникновению плотности заряда и изменению плотности тока. На самом деле из формул (7.5) следует:

. (7.7)

Нейтральный проводник в системе оказывается заряженным в системе .

Данные примеры являются иллюстрацией следующего утверждения: разбиение источников электромагнитного поля на заряды и токи носит относительный характер, т.е. определяется выбором системы отсчета.
7.2. 4-е потенциал. Релятивистски-ковариантные уравнения для потенциалов.

Рассмотрим уравнения (4.7) для потенциалов электромагнитного поля:



(7.8)

при учете калибровки



. (7.9)

Покажем, что данная система уравнений может быть записана в релятивистски-ковариантной форме.

Используем в дальнейшем 4-е оператор (6.11):

.

В формулах (7.8) над оператором набла мы ставим знак вектора, подчеркивая его трехмерную форму.

Правые части уравнений (7.8) содержат компоненты 4-е тока . Отсюда следует, что левые части данных уравнений представляют собой компоненты 4-е вектора. Введем 4-е вектор

, (7.10)

который называется 4-е потенциал. Тогда уравнения (7.8) записываются следующим образом:



. (7.11)

Компоненты 4-е векторов в формуле (7.11) преобразуются в согласии с преобразованиями Лоренца (6.2): , при этом связь между ними, выражаемая законом (7.11), сохраняется



.

Условие калибровки (7.9) в релятивистски-ковариантной форме записывается в виде



, (7.12)

где операция 4–е дивергенция определяется формулой (6.13). Результат ее применения к 4-е вектору есть скаляр, который инвариантен относительно преобразований Лоренца. Этим обеспечивается релятивистски-ковариантный вид формулы (7.12).

Таким образом, полная система уравнений (7.8) и (7.9) для потенциалов электромагнитного поля представлена в релятивистски-ковариантном виде.

Формулы преобразования потенциалов электромагнитного поля получаются из общих формул (6.2):



. (7.13)

7.3. Тензор электромагнитного поля

Введем в рассмотрение 4-е тензор



(7.14)

с компонентами



. (7.15)

Здесь , , и - компоненты 4-е вектора . Данный тензор является антисимметричным тензором:. Для его полного определения достаточно найти шесть независимых компонент. Вычислим компоненту :



.

Аналогично находим: , .

Вычислим :

.

Аналогично находим: .

Объединяя полученные результаты и используя антисимметричность тензора, окончательно найдем:

. (7.16)

Тензор (7.16) называется тензором электромагнитного поля.


7.4. Формулы преобразования компонент тензора электромагнитного поля

Компоненты тензора электромагнитного поля преобразуются в согласии с общими формулами (6.6)-(6.9):



,

. (7.17)

В нерелятивистском случае :



,

. (7.18)

Поскольку , формулы (7.18) можно записать так:



. (7.19)

Формулы (7.19) совпадают с формулами (2.13) и (2.14) для преобразований векторов электрического и магнитного полей. Вторая формула при этом была выписана без вывода. Здесь получены обе формулы преобразования полей.


7.5. Инварианты электромагнитного поля

Поля и при переходе от одной системы отсчета к другой преобразуются в согласии с формулами (7.17). Из них можно образовать комбинации, которые не меняются при преобразованиях Лоренца – инварианты электромагнитного поля.

Такими комбинациями являются:

. (7.20)

В справедливости данного утверждения можно убедиться, проведя преобразования полей по формулам (7.17) и вычислив инварианты (7.20).

Из инвариантности величин (7.20) следует:

1. Если векторы электрического и магнитного полей ортогональны друг другу в какой-то системе отсчета, то они будут ортогональны и в другой системе отсчета.

2. Если модули векторов электрического и магнитного полей равны друг другу в какой-то системе отсчета, то они будут равны и в другой системе отсчета.

3. Неравенства сохраняются при переходе от одной системы отсчета к другой.

4. Если векторы полей образуют в одной из систем отсчета тупой (острый) угол, то они образуют тупой (острый) угол и в другой системе.

5. Особый интерес представляет случай, когда . В этом случае вектора перпендикулярны друг другу и равны по модулю. Это свойство векторов остается справедливым для всех систем отсчета. Данный случай соответствует плоской электромагнитной волне.








Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница