Математический анализ, теория функций комплексного переменного, дифференциальные уравнения



Скачать 90,67 Kb.
Дата29.10.2016
Размер90,67 Kb.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования



МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)


“УТВЕРЖДАЮ”

Декан факультета ВМС

Коваленко С.М.

…………….… ……..

«__»_февраля ___________2009 года.

П

рограмма междисциплинарного государственного экзамена


по специальности 090102 для студентов групп ВИ-1-04, ВИ-2-04,ВИ-3-04

Москва 2009



Раздел 1. Математический анализ, теория функций комплексного переменного, дифференциальные уравнения.

  1. Непрерывность действительных функций одного и многих действительных переменных. Свойства непрерывных функций.

  2. Дифференцируемость функций одного и многих действительных переменных в точке и на множестве. Достаточные условия дифференцируемости. Производные и дифференциалы высших порядков.

  3. Теоремы о среднем для действительных функций одного действительного переменного (Ролля, Лагранжа, Коши) и их применение.

  4. Формула Тейлора для действительных функций одного и многих действительных переменных и ее применение. Экстремум действительной функции одного и многих действительных переменных достаточные условия его существования.

  5. Числовой ряд. Сходящиеся ряды и их простейшие свойства. Признаки сходимости рядов с положительными членами (признаки сравнения, Даламбера, Коши). Абсолютно и не абсолютно сходящиеся ряды. Признак Лейбница. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов.

  6. Функциональные ряды. Равномерно сходящиеся ряды. Критерий Коши равномерной сходимости ряда. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Теорема о почленном дифференцировании ряда.

  7. Степенные ряды. Первая теорема Абеля. Область и радиус сходимости степенного ряда. Равномерная сходимость степенного ряда. Непрерывность суммы, почленная дифференцируемость степенного ряда. Ряд Тейлора для функции одного действительного переменного и условие разложимости функции в ряд Тейлора.

  8. Элементарная теория интеграла. Первообразная и неопределенный интеграл. Существование первообразной для непрерывной функции. Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Интегралы Римана-Стилтьеса.

  9. Интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность по параметру. Теорема об интегрировании и дифференцировании собственных интегралов по параметру.

  10. Равномерно сходящиеся интегралы, зависящие от параметра. Признаки равномерной сходимости. Теорема о непрерывности, интегрировании и дифференцировании несобственных интегралов, зависящих от параметра.

  11. Предел и непрерывность комплекснозначной функции комплексного переменного. Дифференцируемость функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана.

  12. Интеграл от функции комплексного переменного. Теорема Коши. Интегральная формула Коши. Теорема о существовании производных любого порядка. Интеграл типа Коши.

  13. Вычеты. Основная теорема о вычетах.




  1. Основные типы дифференциальных уравнений 1-го порядка и методы их решения.

  2. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Структура их общего решения.


Раздел 2. Теория вероятностей и математическая статистика.

  1. Вероятностное пространство. Аксиомы теории вероятностей. Свойства вероятностной меры.

  2. Дискретное вероятностное пространство. Классическое определение вероятностей.

  3. Случайные величины, функции распределения и их свойства. Абсолютно непрерывные, дискретные распределения. Типовые распределения: биномиальное, равномерное, геометрическое, пуассоновское, нормальное, показательное, распределение Стьюдента, 2-распределение, г-распределение, распределение Коши. Схема Бернулли. Полиномиальная схема.

  4. Условные вероятности. Независимость событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Независимые случайные величины. Формула свертки.

  5. Математическое ожидание случайной величины и его свойства. Примеры. Математическое ожидание функции случайной величины. Дисперсия случайной величины и ее свойства. Вычисление математических ожиданий и дисперсий для типовых распределений. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин. Неравенство Чебышева. Коэффициент корреляции и его свойства.

  6. Определение и свойства характеристической функции. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин. Вычисление характеристических функций для типовых распределений. Связь дифференцируемости характеристической функции с наличием моментов распределений. Формула обращения и теорема единственности. Теорема непрерывности для характеристических функций. Примеры и приложения.

  7. Дискретные цепи Маркова с конечным числом состояний. Примеры цепей Маркова. Классификация состояний цепи Маркова. Периоды классов эргодических состояний. Теорема о предельных вероятностях для неразложимой ациклической цепи. Нахождение вектора предельных вероятностей путем решения системы линейных уравнений.

  8. Определение случайного процесса. Примеры. Семейство конечномерных распределений. Условия согласованности. Теорема Колмогорова о согласованных распределениях (без доказательства). Классификация случайных процессов. Пуассоновский случайный процесс. Винеровский процесс. Стационарные процессы. Свойства корреляционной функции.

  9. Основные понятия математической статистики: понятия выборки, вариационного ряда, эмпирической функции распределения, выборочных моментов. Примеры использования этих понятий в практических задачах. Теорема Фишера. Несмещенные оценки, состоятельные оценки. Неравенство Рао-Крамера. Условия обращения его в равенство. Эффективные оценки.

  10. Основные методы статистического оценивания. Метод моментов. Метод максимального правдоподобия. Применение к случаю нормального и биномиального распределения.

  11. Проверка статистических гипотез. Простые и сложные гипотезы. Статистические критерии. Ошибки 1-го II-го родов. Функция мощности. Наиболее мощный и равномерно наиболее мощный критерии. Лемма Неймана-Пирсона. Примеры применения леммы к случаю нормального, биномиального и полиномиального распределений. Доверительные интервалы и доверительные вероятности. Построение доверительных интервалов с помощью центральной статистики


Раздел 3.Алгебра.


  1. Ранг матрицы над полем, способы его вычисления. Ранг произведения матриц. Обратная матрица и способы ее вычисления.

  2. Векторные пространства над полем, их базисы и размерность. Координаты векторов в базисе и их изменение при переходе к другому базису. Свойства конечномерных векторных пространств. Подпространства векторного пространства, операции над ними. Размерности суммы и пересечения подпространств.

  3. Кольцо многочленов над кольцом с единицей. Делимость многочленов с остатком. Значение многочлена, его корень. Теорема Безу.

  4. Делимость многочленов над полем. Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное многочленов. Свойства НОД и алгоритм его нахождения. Взаимно простые многочлены и их свойства. Неприводимые многочлены и их свойства. Каноническое разложение многочлена и его однозначность.

  5. Группы и их основные свойства. Смежные классы по подгруппе, теорема Лагранжа. Описание циклических групп. Прямые произведения групп. Теорема о разложении конечной абелевой группы.

  6. Подстановки конечных множеств, их четность. Разложение подстановок в произведение независимых циклов. Подстановочные представления конечных групп. Регулярные группы подстановок и их свойства.

  7. Транзитивные и примитивные группы подстановок. Сопряженность подстановок в симметрической группе, уравнения Коши.

  8. Системы образующих групп. Понятия свободной группы. Подгруппы свободных групп.

  9. Примеры Системы образующих элементов симметрической и знакопеременной групп подстановок, оценки длины групп относительно этих систем образующих. Описание групп подстановок, порождаемых наборами транспозиций.

  10. Нормальные делители группы. Факторгруппа, теорема об эпиморфизме.

  11. Конечные поля, характеристика поля, число элементов, теорема о примитивном элементе. Существование поля с заданным примарным числом элементов. Описание подполей.

  12. Неприводимые многочлены над конечными полями. Существование неприводимых многочленов данной степени над конечным полем. Построение поля с заданным числом элементов.

  13. Линейные рекуррентные последовательности (ЛРП) над полем. Характеристический многочлен. Семейства ЛРП. Минимальный многочлен, способы его нахождения.

  14. Периодические последовательности и ЛРП. Нахождение периодов многочленов и ЛРП над конечными полями. Многочлены и ЛРП максимального периода над GF(q).


Раздел 4. Дискретная математика, теория информации и кодирования


  1. Булевы функции. Представление булевых функций формулами алгебры высказываний и многочленами Жегалкина.

  2. Замкнутые классы функций. Критерии полноты для булевых функций и функций многозначной логики.

  3. Псевдобулевые функции и их представление рядами Фурье.

  4. Основные алгоритмические модели алгоритмов: машины Тьюринга, рекурсивные функции, нормальные алгоритмы Маркова.

  5. Понятие сложности алгоритма. Классы сложности.

  6. Дискретное преобразование Фурье и его связь с задачами вычисления значений и интерполяции многочленов. Алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ). Применения алгоритма БПФ для булевых функций и его сложность.

  7. Понятие энтропии, свойства энтропии. Теоремы Шеннона о пропускной способности канала связи..

  8. Линейный код и способы его задания. Число линейных (n,k)- кодов. Процесс декодирования линейного кода.

  9. Кольца вычетов. Малая теорема Ферма. Сравнения первой степени. Китайская теорема об остатках.

  10. Квадратичные вычеты. Символы Лежандра и их свойства. Квадратичный закон взаимности.


Раздел 5. Методы программирования

  1. Алгоритмы на графах. Обход графа в глубину, построение глубинного остовного леса и классификация ребер, не вошедших в лес. Алгоритмы нахождения компонент связности, двусвязных компонент неориентированных графах и сильно связных компонент ориентированных графов. Алгоритмы построения остовных деревьев минимвльной стоимости (алгоритм Крускала). Поиск в ширину и кратчайшие пути в графе. Алгоритм нахождения кратчайших расстояний от выделенной вершины до всех остальных вершин графа (алгоритм Дейкстры). Оценки сложности алгоритмов.




  1. Алгоритмы внутренней сортировки. Сортировки сравнениями: сортировка вставками в дерево, пирамидальная сортировка, быстрая сортировка. Лексикографическая сортировка как пример распределяющей сортировки. Оценки трудоемкости.


Раздел 6. Теоретические основы компьютерной безопасности, криптографические методы защиты информации.


  1. Угрозы безопасности информации. Угрозы конфиденциальности, целостности, доступности, раскрытия параметров АС. Понятие политики безопасности. Дискреционная политика безопасности. Мандатная политика безопасности. Мандатная политика целостности.

  2. Модель Белла-Лападулы как основа построения систем мандатного разграничения доступа. Основные положения модели. Базовая теорема безопасности (BST). Модель системы безопасности HRU. Основные положения модели. Теорема об алгоритмической неразрешимости проблемы безопасности в произвольной системе.

  3. Основные положения критериев TCSEC («Оранжевая книга»). Фундаментальные требования компьютерной безопасности. Требования классов защиты.

  4. Основные положения Руководящих документов ГТК и ФСТЭК в области защиты информации. Определение и классификация НСД. Определение и классификация нарушителя. Классы защищенности АС от НСД к информации.

  5. Основные положения ГОСТА Р-15408 («Общие критерии»). Структура профиля защиты и задания по безопасности. Структура и ранжирование функциональных требований. Структура требований доверия и оценочные доверия.

  6. Криптосистемы с открытым ключом. Оценки их стойкости Понятие сертификата. Криптосистемы RSA и Эль–Гамаля. Методы обоснования выбора их параметров.

  7. Криптографические хэш-функции. Стандарты ГОСТ Р 34.11 и SHA.

  8. Цифровая подпись. Схемы цифровой подписи. Сравнение параметров алгоритмов, реализованных в стандартах ГОСТ Р 34.10 и DSS


Заведующий кафедрой

Информационной безопасности.

д.ф.м.н., профессор А.С.Кузьмин



« .» февраля 2009 года



Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница