Методические рекомендации для преподавателя 70 >10. Рейтинг-план дисциплины по семестрам 74



Дата01.04.2018
Размер1,97 Mb.




Содержание


1. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ 3

2. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ 6

3. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ 11

4.ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ 18

4.1. Перечень компетенций программы: 18

4.2. Описание показателей и критериев оценивания компетенций: 19

4.3 Типовые контрольные задания 20

4.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания ЗУН 58

5. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ) 64

6. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 65

7. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ) 68

8. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ 69

9. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ 70

10. РЕЙТИНГ-ПЛАН ДИСЦИПЛИНЫ ПО СЕМЕСТРАМ 74


1. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ


Дисциплина «Вычислительная математика» реализуется в рамках вариативной части.

Для освоения дисциплины «Вычислительная математика» студенты используют знания, умения и навыки, сформированные в процессе изучения дисциплин «Математический анализ», «Программирование», «Алгебра», «Линейная алгебра», «Методы оптимизации».

Освоение дисциплины «Вычислительная математика» является необходимой основой для изучения таких дисциплин как «Теория оптимального управления», «Исследование операций», «Практикум решения задач на ЭВМ» и некоторых других. Также приобретенные знания пригодятся для выполнения выпускных квалификационных работ.

Цель дисциплины

Курс «Вычислительная математика» занимает важное место среди прикладных математических дисциплин. В процессе работы над курсом студенты должны на основе рассмотренных примеров освоить процедуру обоснованного выбора численного метода исследования математической модели социальных, экономических, физических процессов и явлений.

Курс «Вычислительная математика» преследует две основные цели:


  • Познакомить студентов с основными численными методами и реализующими их алгоритмами;

  • Подготовить студентов к решению практических задач, требующих, как правило, применения комбинации численных методов, и относящихся к самым различным сферам приложения: кибернетика, прикладная математика, математическое моделирование, оптимизация, автоматизированные системы управления и т.п.

Понятийный, методологический и технологический материал курса играет важную роль в формировании научного мировоззрения будущего учителя информатики в области решения проблем анализа, разработки и реализации различных прикладных систем учебного назначения.

Поэтому можно выделить следующие подцели:



  1. изучение математических и алгоритмических основ численных методов;

  2. этапы решения задачи на ЭВМ;

  3. ознакомление с понятиями корректность, аппроксимация, сходимость, устойчивость;

ознакомление с методами и моделями решения различных прикладных задач;

Задачи дисциплины «Вычислительная математика» определяются содержанием и спецификой ее предмета и методов.

В более детальном виде задачами дисциплины являются:



  • сформировать у студентов представление об основных понятиях и принципах численных методов;

  • ознакомить с математическими моделями, методами и направлениями разработки современных методов численных расчетов.

Воспитательные цели:

  1. Формирование этики и профессионального поведения.

  2. Формирование культуры учебной и научной деятельности.

  3. Формирование научной толерантности.

  4. Воспитание культуры межличностного общения.

  5. Раскрытие роли отечественных ученых в развитии науки и техники.

  6. Показ вклада отечественной науки в борьбу за мир и мирное использование достижений науки.

  7. Формирование научного мировоззрения, диалектического взгляда на развитие природы, науки и техники.

  8. Формирование эстетических взглядов при изучении основ науки.

  9. Воспитание нравственности у студентов на примерах истории развития науки.

  10. Показ многонационального характера науки и прогресса.

  11. Воспитание конфликтологической культуры.

  12. Формирование культуры речи, её грамотности.

Воспитательные задачи:

Наблюдение и анализ учебно-воспитательного процесса представляют собой важнейший компонент содержания учебно-профессиональной деятельности и преследуют следующие цели: углубление теоретических знаний по вычислительной математике, их конкретизацию и обобщение, интеграцию теории и практики.

В процессе анализа информации важен сам процесс осознания, объективации опыта. Анализ выступает как способ добывания знаний, который может стать основой профессионального долголетия будущего специалиста – выпускника БашГУ.

Важно развитие у студентов познавательных интересов к современным численным методом не только во время лекционных и лабораторных занятий по дисциплине, но и во внеучебное время при самостоятельном изучении материала дома. Развитие познавательных интересов студентов может выступать как задача по отношению к цели «подготовка студентов к сознательному выбору профессии».

Таким образом, воспитательные задачи включают:


  • Усиление активности на занятиях по дисциплине, самостоятельности и творческой деятельности студентов.

  • Формирование у студентов положительной мотивации и потребности в знаниях по вычислительной математике.

  • Совершенствование структуры занятий по курсу.

  • Применение на занятиях по дисциплине активизирующих методов и средств обучения.

  • Стимулирование и формирование познавательных интересов к вычислительным методам решения задач.

  • Оптимизация процесса обучения (выбор наиболее эффективного варианта для данных условий на всех этапах обучения с учётом индивидуальных особенностей и возможностей студентов и преподавателя).

  • Создание на занятии по дисциплине благоприятных эмоционально-деловых отношений.

  • Организация познавательной деятельности студентов, направленной на развитие самостоятельности в освоении курса.

  • Интенсификация учебного процесса по дисциплине путём научной организации труда преподавателя и студентов.

  • Самостоятельная работа по повышению уровня своей теоретической и практической подготовки. Использование передового педагогического опыта и рекомендаций психолого-педагогической науки.

  • Использование новых педагогических технологий в изучении дисциплины.

Воспитательная цель не должна быть формальной. Основа воспитания в процессе обучения – собственные суждения студентов, их отношение к фактам, явлениям, с которыми они сталкиваются в процессе обучения дисциплине.

2. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

СТЕРЛИТАМАКСКИЙ ФИЛИАЛ БАШКИРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
по дисциплине Вычислительная математика_____________ на ____3_______ семестр

(наименование дисциплины)



Рабочую программу осуществляют:

Зачетных единиц трудоемкости (ЗЕТ)_____3___)

Учебных часов:

лекций (в т.ч. в интерактивных формах) 32


Лекции: ________________

семинарских (в т.ч. в интерактивных формах)__________

(должность, уч. степень, звание, ф.и.о.)

практических (в т.ч. в интерактивных формах)__________

___________________________________________________

лабораторных ___36 ______

___________________________________________________

консультаций ______________________________

Практические занятия: _______________________________

(должность, уч. степень. звание, ф.и.о.)

зачет ___________________________________




__________________________________




самостоятельная работа студентов ___38______

КСР ___2













Тема и содержание

Форма изучения материалов

Количество часов

Межпредметные связи

Инновационные методы в обучении

Основная и дополнительная литература

Задания по самостоятельной работе студентов

Самостоятельная работа/КСР

Форма контроля самостоятельной работы студентов





















1.

Раздел 1. Математическое моделирование

Тема 1. ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ.

Операторное уравнение. Корректность задач по Адамару и Тихонову.Этапы решения задачи на ЭВМ. Вычислительные модели и методы. Виды погрешностей. Полная погрешность задачи. Особенности машинной арифметики.

Л

ЛР


2

-


Алгебра, функциональный анализ, математический анализ

учебная дискуссия; самостоятельная работа с литературой

1, с.11-17

1, с.28

2

Опрос

2.

Раздел 2. Численные методы алгебры и анализа

Тема 2. ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ. ОСНОВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ.

Норма. Число обусловленности. Аддитивные и мультипликативные разложения матриц. -разложение квадратной матрицы. -разложение эрмитовых матриц, схема Холецкого. Ортогональные и унитарные матрицы. Матрицы вращения Гивенса. Матрицы отражения Хаусхолдера. Разложение матриц с применением ортогональных и унитарных матриц. Нахождение определителя с использованием мультипликативных разложений матриц.

Л

ЛР


2

4


Линейная алгебра, функциональный анализ, математический анализ, программирование, пакеты прикладных программ

учебная дискуссия; самостоятельная работа с литературой, презентации

1, с.19-70, 2, с.40-68

3.с.25-82



1, 2

6

Опрос

Лабораторная работа №1/1 (письменный отчет, программа)

Тест











































1, с.40-62,

3, с.40-55




1, с.63-67

3, с.60-75




6

Опрос Лабораторная работа №1/2 (письменный отчет, программа)

Тест


Тема 3. ТОЧНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

Точные методы. Метод Гаусса. Метод -разложений. Метод прогонки. Метод квадратного корня. Мера обусловленности системы, оценка погрешности приближенного решения системы.


Л

ЛР


2

4


Тема 4. ИТЕРАЦИОНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

Итерационные методы. Метод простых итераций. Критерий сходимости, достаточные условия сходимости. Оптимизация скорости сходимости итерационных процессов. Метод Якоби. Метод Зейделя. Метод последовательной релаксации.

Обратная матрица. Уточнение элементов обратной матрицы.

Л

ЛР


2

4



4

Опрос Лабораторная работа №1/3 (письменный отчет, программа)

Тест



Тема 5. ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ.

Полная и неполная проблема. Прямые и итерационные методы. Метод Данилевского. Метод Леверье. Метод вращений Якоби. Степенной метод. Методы на основе мультипликативных разложений матриц.

Л

ЛР


2

4


Линейная алгебра, функциональный анализ, математический анализ, программирование, пакеты прикладных программ



учебная дискуссия; самостоятельная работа с литературой, использование современных ППП


1, с.68-84,

3 с.56-67,

4 с.71-90


1, с.85-87

4, с.90-120


6

Опрос,


Лабораторная работа №2 (письменный отчет)

Тест


Тема 6. СКАЛЯРНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Итерационные численные методы решения уравнений с одним неизвестным: метод половинного деления, метод хорд, касательных, секущих, комбинированный метод хорд и касательных, метод простых итераций. Система скалярных нелинейных уравнений. Метод простых итераций. Метод скорейшего спуска. Метод Ньютона. Метод наискорейшего спуска решения СЛАУ.:


Л

ЛР


2

4


1, с.111-124,

3, с.86-97,




4, с.111-136

6

Опрос,

Лабораторная работа №3 (письменный отчет)

Тест


2.

Раздел 3. Аппроксимация и интерполяция

Тема 7. ЧИСЛЕННАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ.ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ

Интерполяционный многочлен Лагранжа. Интерполяционная схема Эйткина. Конечные и разделенные разности. Интерполяционный многочлен Ньютона (1 и 2 формулы). Узлы Чебышева. Сходимость интерполяционных процессов. Интерполирование сплайнами. Кубические сплайны. Наилучшее среднеквадратичное приближение функции алгебраическими многочленами. Многочлены Чебышева, наименее уклоняющиеся от нуля и их свойства. Метод наименьших квадратов.


Л

ЛР


2

4

Функциональный анализ, дифференциальное исчисление, математический анализ, программирование, пакеты прикладных программ


учебная дискуссия; самостоятельная работа с литературой, использование современных ППП

1, с.137-145,

2, с.186-197




5,7

6

Доклад

Раздел 4. Численное интегрирование

Тема 8. КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ.

Подходы построения квадратурных формул. Интерполяционные квадратурные формулы. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Формула трапеций. Формула Симпсона. Остаточный член. Квадратурные формулы наивысшей степени точности. Метод Гаусса. Сходимость квадратурных процессов.

Л

ЛР


2

4


Функциональный анализ, дифференциальное и интегральное исчисление, математический анализ, программирование, пакеты прикладных программ




6, 8




2

Опрос,

Лабораторная работа №4 (письменный отчет)

Тест


Раздел 5. Численное дифференцирование

Тема 9. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. ЗАДАЧА КОШИ.

Интегрирование с помощью степенных рядов. Метод последовательных приближений Пикара. Метод Эйлера. Методы Рунге-Кутта. Методы Адамса-Башфорта. Методы Адамса-Моултона. Методы прогноза и коррекции. Общий вид линейных многошаговых методов. Условия согласованности. Разностные уравнения. Устойчивость, неустойчивость, жесткость.

Л

ЛР


2

4


Функциональный анализ, дифференциальное и интегральное исчисление, математический анализ, программирование, пакеты прикладных программ

учебная дискуссия; самостоятельная работа с литературой, использование современных ППП

1, с.280-291

5, 11,9

6

Опрос,

Лабораторная работа №5 (письменный отчет)






Тема 10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ.

Начальные и краевые условия. Классификация краевых задач. Основные понятия теории разностных схем. Аппроксимация, сходимость, устойчивость. Метод Либмана решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Метод сеток для уравнения параболического типа. Метод прогонки для уравнения теплопроводности. Метод сеток решения краевой задачи уравнения колебания струны.

ЛР

4


2, с.163-180

12

8

Опрос,

Доклад,


Итоговый тест

3. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ
РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

В ходе изучения данного курса студенты слушают лекции, посещают лабораторные занятия и занимаются индивидуально. Особое место в овладении данным курсом отводится самостоятельной работе, которая заключается в следующем:

  • самостоятельное изучение части теоретического материала,

  • теоретическая и практическая подготовка к лабораторным занятиям,

  • систематическое выполнение лабораторных работ.

Самостоятельная работа студентов – это выполнение теоретических и практических заданий студентами по усвоению изучаемой дисциплины. К формам самостоятельной работы относится работа с основной и дополнительной литературой в библиотеке и дома, выполнение аудиторных и домашних контрольных работ, заполнение рабочей тетради, подготовка и написание курсовой работы, а также подготовка к семинарским и практическим занятиям, круглому столу, докладам и т. д.

раздела


Содержание вопроса

Кол-во часов

Технологии

Всего

В СДО

Без СДО

1

Предмет вычислительной математики. Теория погрешностей

8

4

4

ЭОР в

СДО,
работа с


внешними
ресурсами


2

Численные методы линейной алгебры

8

4

4

3

Решение нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений

8

4

6

4

Интерполяция функций. Аппроксимация. Элементы аппарата мат.моделирования процессов на основе рядов данных

10

5

5

5

Численные методы интегрирования функций

8

3

5

6

Численные методы решения задач дифференциального исчисления

10

4

6




Всего:

52

25

35





Перечень примерных вопросов и заданий для самоконтроля студентов

Вопросы для самопроверки

Тема 1. Теория погрешностей.

  1. Назовите три основных источника погрешностей при решении задач на ЭВМ, их природу и способы уменьшения.

  2. Основные виды погрешности. Этапы «колеса Самарского».


Тема 2. Решение систем линейных алгебраических уравнений.

  1. Что такое «главный» (ведущий) элемент в методе Гаусса последовательного исключения неизвестных переменных?

  2. Назовите условия диагонального преобладания матрицы.

  3. Какие матрицы называются ленточными?

  4. Какая матрица называется эрмитовой?

  5. Евклидова норма вектора и соответствующая (подчиненная) ей норма матрицы?

  6. Выпишите величину (в виде формулы), которая определяет норму матрицы через норму вектора.

  7. Что такое число обусловленности? Что оно оценивает?

  8. Каноническая форма записи любого итерационного метода решения СЛАУ.

  9. Какой итерационный процесс называется стационарным?

  10. Какой итерационный процесс называется явным?

  11. Какой итерационный процесс называется m-шаговым?

  12. Какой итерационный процесс называется линейным?

  13. Что такое невязка СЛАУ?

  14. Найдите симметричную и комплексно-сопряженную для данной *.

  15. Какая матрица называется положительно-определенной?

  16. Перечислите условия (необходимые и/или достаточные) для положительной определенности матрицы.

  17. Теорема об LU-разложении.

  18. Дайте определение точного метода решения СЛАУ.

  19. Дайте определение итерационного метода решения СЛАУ.

  20. Сформулируйте условия сходимости МПИ (критерий).

  21. Что вы можете сказать о методе последовательных релаксаций с параметром ?

  22. Метод Якоби и метод Зейделя. Что общего? Какие отличия?

  23. Основные отличия (преимущества и недостатки) прямых и итерационных методов решения СЛАУ.


Тема 3. Решение проблемы собственных значений и векторов.

  1. Что такое спектр матрицы? Что такое собственная пара?

  2. Дайте определение собственного вектора и соответствующего ему собственного значения матрицы.

  3. Что такое характеристический многочлен?

  4. Что такое вековое уравнение?

  5. Что такое след матрицы?

  6. Сколько всего может быть у матрицы собственных значение? Собственных векторов?

  7. В каком диапазоне лежит весь спектр матрицы?

  8. Спектр каких матриц состоит из их диагональных элементов?

  9. Что вы можете сказать о сумме собственных значений матрицы? О произведении?

  10. Перечислите основные свойства собственных значений и векторов?

  11. Что такое преобразование подобия? Матрица подобия?

  12. Жорданова форма матрицы?

  13. Определение матрицы с простой структурой?

  14. Какие матрицы имеют простую структуру?

  15. Что вы можете сказать о с.зн. и с.в. матрицы простой структуры?

  16. Перечислите известные вам методы решения полной проблемы с.зн. часной проблемы?

  17. Суть степенного метода.

  18. Суть методов основанных на LU-алгоритме, QR-алгоритме.

  19. Что такое нормальная форма Фробениуса?

  20. Суть метода Данилевского.

  21. Дайте определение ортогональной матрицы унитарной?

  22. Чему равен определитель ортогональной матрицы?

  23. Что такое матрица вращения?

  24. Суть метода вращений Якоби.


Тема 4. Решение скалярных нелинейных уравнений и систем.

  1. Опишите свойства алгебраических и трансцендентных уравнений.

  2. Для чего производится процедура отделения корней и предварительное исследование уравнений. Приведите пример.

  3. Приведите примеры известных вам способов исследования нелинейных уравнений.

  4. Опишите основные свойства прямых и итерационных методов решения уравнений.

  5. Что понимают под сходимостью итерационной процедуры? Ответ поясните примерами.

  6. Что такое область сходимости применительно к итерационной процедуре?

  7. Поясните, что такое скорость сходимости и как она связана с эффективностью метода.

  8. Опишите метод половинного деления.

  9. Опишите метод хорд. Назовите его достоинства и недостатки.

  10. Опишите метод секущих. Дайте его сравнительную характеристику.

  11. Опишите метод касательных. Укажите его достоинства и недостатки.

  12. Опишите метод простой итерации. Дайте его характеристику.

  13. Приведите пример итерационного метода, использующего квадратичную интерполяцию для решения нелинейных уравнений на ЭВМ.

  14. Какие специальные методы применяются для решения алгебраических уравнений?

  15. Почему на практике часто применяют комбинированные алгоритмы, включающие в себя различные методы отыскания корней?

  16. Расскажите об особенностях представления чисел в ЭВМ. Как влияет способ представления чисел в ЭВМ на точность расчетов?

  17. Что такое машинный нуль, машинная бесконечность и машинное ε ? Как эти параметры влияют на точность расчетов на ЭВМ?

  18. Для чего используется нормировка уравнений при их решении на ЭВМ?


Тема 5. Численная интерполяция.

  1. Условие интерполяции.

  2. Аппроксимация функций. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Оценка погрешности.

  3. Аппроксимация функций. Интерполяционный многочлен Ньютона (1 формула). Оценка погрешности.

  4. Аппроксимация функций. Интерполяционный многочлен Ньютона (2 формула). Оценка погрешности.

  5. Аппроксимация функций методом наименьших квадратов.

  6. Сходимость интерполяционных процессов. Интерполирование сплайнами. Кубические сплайны.

  7. Сходимость интерполяционных процессов. Интерполирование сплайнами. Параболические сплайны.


Тема 6.Численное интегрирование.

  1. Постановка задачи численного интегрирования. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса (общие положения).

  2. Формула трапеций. Общая формула трапеций. Остаточный член.

  3. Формула Симпсона. Общая формула Симпсона. Остаточный член.

  4. Формула Ньютона численного интегрирования. Общая формула Ньютона.

  5. Квадратурные формулы наивысшей степени точности. Метод Гаусса.

  6. Интегрирование быстро осциллирующих функций. Косинус-преобразование Фурье.

  7. Интегрирование быстро осциллирующих функций. Синус-преобразование Фурье.


Тема 7. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.

  1. Постановка задачи Коши. Дискретная задача Коши: основные понятия и определения (сетка, сеточные функции, численный метод, аппроксимация, сходимость).

  2. Методы рядов Тейлора решения задачи Коши.

  3. Численные методы решения задачи Коши : вывод формулы метода Эйлера, его геометрическая интерпретация, устойчивость, оценка погрешности, влияние вычислительной погрешности.

  4. Модификации метода Эйлера второго порядка точности: вывод расчетных формул, геометрическая интерпретация методов. Оценка погрешности.

  5. Методы Рунге-Кутты. Вывод формул. Оценка погрешности.

  6. Явные одношаговые методы. Локальная и глобальная погрешности. Оценка погрешности по правилу Рунге. Организация программы с автоматическим выбором шага.

  7. Решение задачи Коши для систем дифференциальных уравнений. Задача Коши для уравнения m-го порядка.

  8. Аппроксимация, устойчивость и сходимость численных методов решения задачи Коши.

  9. Неявный метод Эйлера.

  10. Многошаговые методы. Вывод формул явного метода Адамса-Башфорта.

  11. Многошаговые методы. Вывод формул неявного метода Адамса-Моултона.

  12. Жесткие задачи и методы их решения.

  13. Приведите примеры задач с обыкновенными дифференциальными уравнениями. Чем отличаются формулировки задачи Коши и краевой задачи?

  14. Назовите основные различия, достоинства и недостатки одношаговых и многошаговых методов решения задачи Коши.

  15. Что такое порядок точности метода и как он связан с его эффективностью? Приведите примеры методов разных порядков.

  16. Как влияет размер шага при решении задачи Коши на погрешность результата? Как работает процедура автоматического выбора шага?

  17. Составьте алгоритм решения задачи Коши для системы двух уравнений первого порядка методом Эйлера.



Тема 8. Краевые задачи для ОДУ второго порядка.

  1. Приведите примеры задач с обыкновенными дифференциальными уравнениями. Чем отличаются формулировки задачи Коши и краевой задачи?

  2. Назовите основные различия, достоинства и недостатки одношаговых и многошаговых методов решения задачи Коши.

  3. Опишите решение задачи Коши методом Эйлера.

  4. Опишите решение задачи Коши модифицированным методом Эйлера.

  5. Опишите решение задачи Коши методом Рунге-Кутта.

  6. Что такое порядок точности метода и как он связан с его эффективностью? Приведите примеры методов разных порядков.

  7. Как влияет размер шага при решении задачи Коши на погрешность результата? Как работает процедура автоматического выбора шага?

  8. Составьте алгоритм решения задачи Коши для системы двух уравнений первого порядка методом Эйлера.

  9. Опишите процедуру решения задачи Коши для уравнения второго порядка одношаговым методом.

  10. Поясните понятие устойчивости решения задачи Коши.

  11. Опишите решение задачи одним из многошаговых методов.

  12. Опишите решение задачи Коши методом предиктор-корректор.

  13. Приведите схему решения краевой задачи методом стрельбы с использованием метода деления отрезка пополам.

  14. Приведите схему решения краевой задачи методом стрельбы для линейного дифференциального уравнения.

Тема9. Решение дифференциальных уравнений в частных производных.

  1. Приведите классификацию ДУЧП в зависимости от их математической природы и физического смысла.

  2. Какого вида граничные условия используют в задачах с ДУЧП?

  3. Каковы особенности численного решения ДУЧП эллиптического, гиперболического и параболического типа?

  4. Какие виды сеток используются в методе конечных разностей? Каким образом строят на этих сетках разностные аппроксимации и соответствующие им шаблоны?

  5. Какие прямые и итерационные методы используют для решения систем алгебраических уравнений в задачах с ДУЧП?

  6. Постановка двухточечной краевой задачи. Основные теоремы о разрешимости и устойчивости дифференциальной задачи.

  7. Дискретная двухточечная краевая задача. Теорема о существовании решения разностной схемы.

  8. Дискретная двухточечная краевая задача. Принцип максимума для разностной схемы.

  9. Дискретная двухточечная краевая задача. Теорема сравнения для разностной схемы.

  10. Дискретная двухточечная краевая задача. Априорная оценка решения.

  11. Дискретная двухточечная краевая задача. Устойчивость разностной схемы.

  12. Дискретная двухточечная краевая задача. Аппроксимация и сходимость разностной схемы.

  13. Опишите метод прогонки и его роль в решении задач с ДУЧП.

  14. Дайте характеристику итерационных методов, используемых для решения систем алгебраических уравнений в задачах с ДУЧП.

  15. Как задаются граничные условия? Каким образом задается начальное приближение при решении ДУЧП с использованием итерационных методов? Ответ поясните на примере решенной задачи.

  16. Из каких соображений выбирают шаг сетки в методе конечных разностей?

  17. Каковы источники погрешности при решении задачи с ДУЧП? Каким образом можно оценить погрешность результата численного решения?

  18. В каких случаях может возникать неустойчивость решения задачи ? Как влияет выбор параметров сетки на устойчивость?

  19. Что понимают под сходимостью процесса решения задачи? Ответ поясните на примере решенной задачи.

  20. В чем заключается основное различие методы конечных разностей и метода конечных элементов?

  21. Каким образом строят дискретную модель в методе конечных элементов? Каким образом строят аппроксимации решения?

  22. Опишите последовательность решения задачи методом конечных элементов.

  23. Метод конечных разностей для случая переменного коэффициента теплопроводности.

  24. Аппроксимация граничных условий со вторым порядком точности.

  25. Понятие явной и неявной разностной схемы для уравнения теплопроводности.


4.ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ

4.1. Перечень компетенций программы:


В процессе освоения дисциплины у студентов развиваются следующие компетенции:

способностью применять соответствующий математический аппарат для решения профессиональных задач (ОПК-2)



Требования к результатам освоения содержания дисциплины
знать:

численные методы решения систем дифференциальных и алгебраических уравнений (З.1.5):

- принципы построения и ограничения на применение вычислительных методов; (З.1.5.1);

- способы контроля вычислений и оценки погрешности конкретного вычислительного метода (З.1.5.2);

- преимущества и недостатки прямых и итерационных методов численного решения линейных, нелинейных и дифференциальных уравнений (систем) (З.1.5.3);

уметь:

применять численные методы для решения практических задач. (У.1.5):

- выбирать требуемый метод в соответствии с особенностями задачи и имеющимися ограничениями на реализацию (У.1.5.1);

- использовать имеющееся программное обеспечение для решения сложных задач с применением нескольких методов и оценивать источники погрешностей (У.1.5.2);

- методом наименьших квадратов находить коэффициенты аппроксимирующих функций, и т. п. (У.1.5.3)

владетьчисленными методами (В.1.5):

- методами интерполирования и сглаживания экспериментальных данных (В.1.5.1);

- опытом выбора оптимального и оценки погрешностей реализованного численного метода (В.1.5.2);

- навыками использования Internet-ресурсов для изучения и реализации новых численных методов при решении практических задач (В.1.5.3).


4.2. Описание показателей и критериев оценивания компетенций:
Итоговой формой контроля знаний, умений и навыков по дисциплине является зачет, который оценивается оценками – «зачтено», «не зачтено». Эти оценки проставляются в аттестационную ведомость.

Основой для определения оценки на зачете служит уровень усвоения студентами материала, предусмотренного учебной программой дисциплины. Ответственность за объективность и единообразие требований, предъявляемых на экзаменах, несет заведующий кафедрой. Критерии оценки знаний, умений и навыков по дисциплине устанавливает кафедра.

При выставлении оценки могут быть применены рекомендательные критерии:

Оценка «зачтено» выставляется студенту, если он глубоко и прочно усвоил программный материал; исчерпывающе, последовательно, четко и логично его излагает, умеет тесно увязывать теорию с практикой, свободно справляется с задачами, вопросами и другими видами применения знаний; использует в ответе материал монографической литературы, правильно обосновывает принятое решение, владеет разносторонними навыками и приемами выполнения практических задач.

Оценка «не зачтено» выставляется студенту, который не знает значительной части программного материала, допускает существенные ошибки, с большим затруднениями выполняет практические работы. Как правило, оценка «не зачтено» ставится студентам, которые не могут продолжить обучение без дополнительных занятий по дисциплине.

Оценку знаний студентов следует производить на лабораторных занятиях по данной дисциплине, что является одной из форм их подготовки к зачету. Основу системы контроля учебной работы студентов по дисциплине составляет контроль посещаемости лекционных и лабораторных занятий, выполнения РГР (контрольный тест).

Результаты контроля анализируются и при необходимости принимаются оперативные решения по улучшению организации и содержанию учебно-воспитательной работы в рамках данной дисциплины. При этом, особое внимание обращается на выявление отстающих студентов, на умение студентов четко организовать свой труд, на обеспечение ритмичной работы.
4.3 Типовые контрольные задания
Виды контроля знаний студентов и их отчетности.

Видами контроля знаний студентов и их отчетности являются:



  1. тесты, коллоквиум – контроль над усвоением теоретического материала;

  2. лабораторные работы, отчет по индивидуальным вариантам лабораторных работ к каждой изученной теме – контроль над усвоением теоретического и практического материала.

Курс дисциплины «Вычислительная математика» завершается зачетом.

Основной формой текущего контроля усвоения материала является защита студентами индивидуальных отчётов по каждой теме лабораторного практикума.

Кроме того, в течение курса предусмотрено проведение контрольных работ в виде теста для проверки усвоения материала лекций и вопросов, вынесенных на самостоятельное изучение. Контрольные работы (тесты), охватывающая практически весь материал, проводятся по завершении изучения разделов.

Дополнительный контроль может осуществляется в форме проверки домашних контрольных работ, которые проводятся по завершении изучения разделов.


Примерные задания к контрольной работе


              1. Для заданной матрицы = и вектора = :

а) Найти норму матрицы и норму вектора .

б) Осуществив LU-разложение матрицы А, найти ее определитель.



              1. Для заданной матрицы = и вектора = :

решить систему методом Гаусса.

              1. Для скалярного нелинейного уравнения

а) Графически отделить ближайший к нулю корень уравнения;

б) Составить блок-схему (или программу) для нахождения корня методом простых итераций с точностью .



              1. Протабулировать функцию на отрезке с шагом . По найденной таблице найти значение многочлена Ньютона (1-я формула).

              2. Для скалярного нелинейного уравнения

а) Графически отделить ближайший к нулю корень уравнения;

б) Составить блок-схему (или программу) для нахождения корня методом половинного деления с точностью .



              1. Протабулировать функцию на отрезке с шагом . По найденной таблице найти значение многочлена Лагранжа .

              2. Составить блок-схему (или программу) вычисления интеграла методом Симпсона с .

              3. Аппроксимировать дифференциальное уравнение в узле равномерной сетки разностным уравнением со вторым порядком относительно шага.

              4. Составить блок-схему (или программу) вычисления интеграла методом трапеций с .

              5. Применяя метод Эйлера, найти решение задачи Коши , в трех последовательных точках:

              6. Для задачи Коши выполнить один шаг длины 0.1 по методу Эйлера-Коши и оценить погрешность найденного значения по правилу Рунге.

              7. Методом Рунге-Кутты 2 порядка точности найти решение системы дифференциальных уравнений в двух последовательных точках , .

              8. Записать расчетные формулы явного и неявного методов Эйлера для решения задачи Коши для системы двух ОДУ 1 порядка.

              9. Дана система ОДУ 1 порядка с постоянными коэффициентами, причем известны собственные значения матрицы :

a) ,
b) ,
c) .
В каких случаях систему можно считать жесткой?

              1. Методом конечных разностей найти с шагом h=0.2 решение задачи:


Тесты текущего контроля по дисциплине

«Вычислительная математика»
ДЕ-1. Виды и методы нахождения погрешностей вычислений (10)

Чем вызвана неустранимая погрешность?

А) Тем, что математическая модель исследуемого объекта никогда не учитывает всех без исключения явлений, влияющих на состояние объекта, и тем, что входящие в задачу заданные параметры (числа или функции) измеряются с какой-либо ошибкой.

Б) Тем, что любые арифметические операции над числами производится при наличии ограниченного количества используемых для записи чисел разрядов позиционной системы исчисления.

В) Тем, что в результате применения численного метода могут быть получены не точные, а приближенные значения искомой функции, даже если все предписанные методом вычисления проделаны абсолютно точно.
Даны числа и с абсолютными погрешностями . Оценить погрешность их разности .

А)

Б)

В).
Определение относительной погрешности.

А) Пусть - точное, - приближенное значение некоторого числа. Относительной погрешностью приближения называется величина такая, что .

Б) Пусть -точное, -приближенное значение некоторого числа. Относительной погрешностью приближения называется величина такая, что .

В) Пусть -точное, -приближенное значение некоторого числа. Относительной погрешностью приближения называется величина .
Определение абсолютной погрешности.

А) Пусть – точное, – приближенное значение некоторого числа. Абсолютной погрешностью приближения называется величина такая, что .

Б) Пусть – точное, – приближенное значение некоторого числа. Абсолютной погрешностью приближения называется величина такая, что .

В) Пусть –точное, –приближенное значение некоторого числа. Абсолютной погрешностью приближения называется величина .
Определить относительную погрешность приближенного числа по ее абсолютной погрешности , предварительно округлив число до верных знаков.

А) Относительная погрешность 0,077.

Б) Относительная погрешность 0,078.

В) Относительная погрешность 0,080.
Чем вызвана погрешность метода при численном решении поставленной задачи?

А) Тем, что математическая модель исследуемого объекта не может учитывать все без исключения явления, влияющие на состояние объекта.

Б) Тем, что любые арифметические операции над числами производятся при наличии ограниченного количества используемых для записи чисел разрядов позиционной системы исчисления.

В) Тем, что в результате применения численного метода могут быть получены не точные, а приближенные значения искомой функции, даже если все предписанные методом вычисления проделаны абсолютно точно.
Какое утверждение верное:

А)

Б)

В)

Г)
Длина и ширина аудитории, измеренные с точностью до 1 см, равны м им. Оценить абсолютную погрешность в определении площади аудитории м2.

А) Абсолютная погрешность 0,1849

Б)Абсолютная погрешность 0,1762

В) Абсолютная погрешность 1,0012.
Найти относительную погрешность приближенного числа по ее абсолютной погрешности , предварительно округлив число до верных знаков.

А) Относительна погрешность 0,00051.

Б) Относительна погрешность 0,00047.

В) Относительна погрешность 0,00053.
Значащих цифр в числе

А) 4

Б) 5

В) 6

Г) 3
ДЕ-2. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
В чем преимущество метода Зейделя для решения системы линейных алгебраических уравнений перед методом простой итерации?

А) Дает больший выигрыш в точности, так как, во-первых, метод Зейделя существенно уменьшает число умножений и делений, во-вторых, позволяет накапливать сумму произведений без записи промежуточных результатов.

Б) Метод Зейделя является абсолютно сходящимся, т.е для него нет необходимости вводить достаточные условия сходимости в отличие от метода простой итерации.

В) Обычно данный метод дает лучшую сходимость, чем метод простой итерации. Кроме того, метод Зейделя может оказаться удобным при программировании, так как при вычислении нет необходимости хранить значения .

A) А


Б) Б

В) В
Для решения систем линейных алгебраических уравнений какого вида разработан метод прогонки?



А) Метод прогонки разработан для решения систем линейных алгебраических уравнений с разреженной (лишь малая доля элементов матрицы отлична от нуля) матрицей коэффициентов.

Б) Метод прогонки разработан для решения систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов.

В) Метод прогонки разработан для решения систем линейных алгебраических уравнений с апериодической матрицей коэффициентов.

A) А


Б) Б

В) В
Почему метод простой итерации решения систем линейных алгебраических уравнений называется самоисправляющимся?



А) Потому что для данного метода вводятся достаточные условия сходимости.

Б) Потому что отдельная ошибка, допущенная при вычислениях, не отражается на конечном результате, поскольку ошибочное приближение рассматривается как новый начальный вектор.

В) Потому что при использовании данного метода строится отдельная процедура, исправляющая любые ошибки, допущенные при расчетах.
Опишите метод Гаусса (LU-разложений) решения системы линейных алгебраических уравнений.

А) Идея: последовательное исключение неизвестных. Решение системы распадается на два этапа: 1) прямой ход, когда невырожденная матрица коэффициентов А раскладывается на произведение лево- и правотреугольных матриц; 2) обратный ход, когда полученные коэффициенты при неизвестных и правые части уравнений используются при нахождении неизвестных из систем треугольного вида.

Б) Заданная система линейных уравнений каким-либо образом приводится к эквивалентному виду. Исходя из произвольного начального вектора, строится итерационный процесс. При выполнении достаточных условий сходимости, получается последовательность векторов, неорганично приближающихся к точному решению.

В) Если матрица коэффициентов невырожденная (определитель этой матрицы не равен нулю), то исходная система имеет единственное решение. Значения неизвестных могут быть получены по формулам , и определители матриц и соответственно. Матрица образуется из матрицы путем замены ее -го столбца столбцом свободных членов.
Решение системы линейных алгебраических уравнении (СЛАУ) специального вида методом прогонки.

А) Метод прогонки разработан для решения СЛАУ с трехдиагональной матрицей коэффициентов. Исходная система уравнений приводится к виду . Числа , называемые прогоночными коэффициентами, последовательно находятся в прямом ходе. При осуществлении обратного хода определяется ,а затем вычисляются значения , последовательно применяя рекуррентные формулы .

Б) Метод прогонки разработан для решения СЛАУ с разреженной матрицей коэффициентов. Если определитель матрицы коэффициентов не равен нулю, то исходная система имеет единственное решение. Значения неизвестных могут быть получены по формулам , где и –определители матриц и соответственно. Матрица образуется из путем замены ее -го столбца столбцом свободных членов.

В) Метод прогонки разработан для решения СЛАУ с апериодической матрицей коэффициентов. Исходная система заменяется эквивалентной. Исходя из произвольного начального вектора, строится итерационная процедура. При выполнении достаточных условий сходимости, получается последовательность векторов, неограниченно приближающихся к точному решению.
Каковы недостатки решения системы уравнений по правилу Крамера?

А) Данное правило разработано и применимо лишь для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с трехдиагональной матрицей коэффициентов.

Б) Реализация данного метода в виде вычислительной процедуры требует выполнения значительного количества арифметических операций и соответственно больших затрат машинного времени. Кроме того, он очень чувствителен к ошибкам округления.

В) Данный метод дает менее точные результаты, чем другие методы решения СЛАУ. При этом требуется выполнение жестких достаточных условий сходимости.
В чем отличие метода Зейделя для решения системы линейных алгебраических уравнений от метода простой итерации?

А) Отличие в том, что на очередном шаге реализации метода Зейделя исключается не следующее по номеру неизвестное, а то неизвестное, коэффициент при котором является наибольшим по модулю. Таким образом, в качестве ведущего элемента здесь выбирается главный, т.е. наибольший по модулю элемент.

Б) Отличие в том, что на очередном -ом шаге реализации метода Зейделя исключается коэффициент при неизвестном , называемый главным элементом на -ом шаге исключения. Тем самым система линейных алгебраических уравнений приводится к треугольному виду.

В) Отличие в том, что при вычислении -го приближения неизвестного при используются уже вычисленные ранее -е приближения неизвестных .
Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом простой итерации.

А) Исходная СЛАУ записывается в виде, разрешенном относительно неизвестных; при этом неизвестные появляются и в правой части. Исходя из произвольного начального вектора, строится итерационная процедура. При выполнении достаточных условий сходимости, получается последовательность векторов, неограниченно приближающихся к точному решению. Точное решение системы получается лишь в результате бесконечного итерационного процесса и всякий вектор из полученной последовательности является приближенным решением.

Б) Если определитель матрицы коэффициентов не равен нулю, то исходная система имеет единственное решение. Значения неизвестных могут быть получены по формулам , где и –определители матриц и соответственно. Матрица образуется из путем замены ее -го столбца столбцом свободных членов.

В) Метод простой итерации разработан для решения СЛАУ с трехдиагональной матрицей коэффициентов. Исходная система уравнений приводится к виду . Числа , называемые прогоночными коэффициентами, последовательно находятся в прямом ходе. При осуществлении обратного хода определяется ,а затем вычисляются значения , последовательно применяя рекуррентные формулы .
Евклидова норма матрицы определяется:

А)

Б)

В)

Г)
Для СЛАУ, заданной формулой , обратный ход метода Гаусса (последовательного исключения неизвестных) определяется формулой:

А);

Б);

В);

Г).
ДЕ-3. Численные методы решения нелинейных скалярных уравнений
Для достижения точности применяют следующий критерий окончания метода дихотомии:

А)

Б)

В)
Решение нелинейного уравнения на промежутке методом простой итерации.

А) Исходное уравнение заменяется эквивалентным уравнением . Итерации образуются по правилу . причем задается начальное приближение . Если последовательность чисел имеет предел при , то этот предел является корнем уравнения .

Б) Для нахождения корня нелинейного уравнения требуется, чтобы на концах интервала функция принимала ненулевые значения противоположного знака. Итерационная процедура состоит в переходе от такого интервала к новому интервалу, совпадающему с одной из половин предыдущего и обладающему тем же свойством. Процесс заканчивается, когда длина вновь полученного интервала станет меньше заданной точности , и в качестве корня уравнения приближенно принимается середина этого интервала.

В) Для нахождения корня нелинейного уравнения требуется, чтобы функция имела на интервале непрерывные производные 1-го и 2-го порядков, сохраняющие на постоянный знак. Для начала вычислений необходимо задание одного начального приближения . Последующие приближения определяется по формуле .
Метод Ньютона (касательных) нахождения корней нелинейного уравнения на промежутке .

А) Требуется, чтобы функция имела на интервале непрерывные производные 1-го и 2-го порядков, сохраняющие на постоянный знак. Для начала вычислений необходимо задание одного начального приближения . Последующие приближения определяется по формуле .

Б) Требуется, чтобы на концах интервала функция принимала ненулевые значения разных знаков. Итерационная процедура состоит в переходе от такого интервала к новому интервалу, совпадающему с одной из половин предыдущего и обладающему тем же свойством. Процесс заканчивается, когда длина вновь полученного интервала станет меньше заданной точности , и в качестве корня уравнения приближенно принимается середина этого интервала.

В) Нелинейное уравнение на интервале заменяется эквивалентным . Итерации образуются по правилу , причем задается начальное приближение . Если последовательность чисел имеет предел при , то этот предел является корнем уравнения .
На рисунках представлены графики функций на интервале . Методом хорд находится решение уравнения на интервале . Выберите вариант, для которого решение будет найдено с избытком.





Рис.А

Рис.Б





Рис.В

Рис.Г

А) А, Б

Б) Б, Г

В) В, Г

Г) А, Г
Опишите метод деления отрезка пополам нахождения корней нелинейного уравнения на интервале .

А) Исходное уравнение на интервале заменяется эквивалентным уравнением на интервале . Итерации образуются по правилу , , причем задается начальное приближение . Если последовательность чисел имеет предел при , то этот предел является корнем уравнения .

Б) Для нахождения корня требуется, чтобы на концах интервала функция принимала ненулевые значения противоположного знака. Итерационная процедура состоит в переходе такого интервала к новому интервалу, совпадающему с одной из половин предыдущего и обладающему тем же свойством. Процесс заканчивается, когда длина вновь полученного интервала станет меньше заданной точности , и в качестве корня уравнения приближенно принимается середина этого интервала.

В) Требуется, чтобы функция имела на интервале непрерывные производные 1-го и 2-го порядков, сохраняющие на постоянный знак. Для начала вычислений необходимо задание одного начального приближения . Последующие приближения определяются по формуле .
Найти методом деления отрезка пополам корень уравнения на интервале [0,7; 0,8] с точностью .

А) корень уравнения 0,79

Б) корень уравнения 0,78

В) корень уравнения 0,74.
На рисунках представлены графики функций на интервале . Методом касательных находится решение уравнения на интервале . Выберите вариант, для которого решение будет найдено с недостатком.





Рис.А

Рис.Б





Рис.В

Рис.Г


А) А, Б

Б) Б, Г

В) В, Г

Г) А, Г

Дано нелинейное уравнение . Определить методом деления отрезка пополам корень данного уравнения на интервале [1,7; 2] с точностью

А) корень уравнения 1,87.

Б) корень уравнения 1,90.

В) корень уравнения 1,96.
Отделите корни уравнения графически и укажите их количество .

А) 1

Б) 3;

В) 2;

Г) 4.
Отделите корни уравнения графически и укажите их количество.

А) 1;

Б) 3;

В) 2;

Г) 4.
Методом Ньютона решается уравнение: . Расчетная формула имеет вид:

А)

Б)

В)

Г)
Метод простой итерации для решения уравнения сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем , где

А)

Б), где

В)

Г), где
Приближенное значение корня нелинейного уравнения - это такое значение, для которого выполнено условие:

А) Абсолютная погрешность не превышает

Б) Относительная погрешность не превышает

В) Абсолютная погрешность не превышает

Г) Относительная погрешность не превышает
Критерий окончания для метода простой итерации имеет вид:

А)

Б)

В)

Г)
Уравнение имеет вид: . Что можно сказать о корнях:

А) Первый корень – простой, второй – кратный

Б) Первый корень – кратный, второй – простой

В) Оба корня простые

Г) Оба корня кратные
ДЕ-4. Численное интерполирование и аппроксимация функций (20)
Определение сплайн-функции.

  1. Полином , принимающий в точках значения , называется сплайн-функцией, соответствующей данной функции и узлам .

  2. Сплайн-функцией -го порядка, соответствующей данной функции и узлам , называется функция , которая:

1) является полиномом -го порядка на каждом частичном отрезке

2) непрерывна вместе со своими производными до -го порядка в узлах



3) .

  1. Сплайн-функцией, соответствующей данной функции и узлам , называется полином вида

,

где , – шаг разностной сетки, – конечные разности -го порядка.


Сформулируйте постановку задачи интерполирования функции , заданной на сетке узлов .

  1. Подобрать такую аппроксимирующую чтобы .

  2. Подобрать более простую функцию такую, что .

  3. Подобрать полиномиальную функцию , такую что .


Какую функцию называют аппроксимирующей?

  1. Пусть для конечного множества значений аргумента известны табличные значения функций . Аппроксимирующей (приближающей) называют функцию , расчеты по которой либо совпадают, либо в определенном смысле приближаются к данным значениям функций.

  2. Пусть для конечного множества значений аргумента известны табличные значения функций . Аппроксимирующей (приближающей) называют функцию , производные от которой равны производным функции .

  3. Пусть для конечного множества значений аргумента известны табличные значения функций . Аппроксимирующей (приближающей) называют функцию значения которой отличаются от данных значений функций на постоянную величину.


Назовите достоинства и недостатки интерполяционных формул Лагранжа.

  1. Достоинство – метод наиболее прост в понимании и организации вычислительного процесса. Основной недостаток метода – при увеличении числа узлов и соответственно степени интерполяционный многочлен Лагранжа требуется строить заново.

  2. Достоинство – метод относится к числу итерационных методов и имеет наибольшую точность интерполяции. Основной недостаток метода – медленная скорость сходимости, что приводит к значительным затратам машинного времени.

  3. Достоинство – использование многочленов невысокого порядка и вследствие этого малым накоплением погрешностей в процессе вычислений. Основной недостаток метода – из числа методов интерполяции наиболее сложен в и организации вычислительного процесса.


В чем состоит суть метода наименьших квадратов?

  1. Весь отрезок интерполирования разбивают на частичные отрезки и на каждом из частичных отрезков приближенно заменяют интерполируемую функцию многочленом невысокой степени. Для того чтобы не возникало разрывов производной в местах сочленения, на каждом частичном отрезке степень полинома берется «с запасом», а возникающую свободу в выборе коэффициентов полиномов используется для сопряжения производных на границах участков.

  2. Строится функция , сумма квадратов отклонений которой от табличных значений данной функции минимальна, т.е. за меру качества аппроксимации функции функцией в узлах принимают сумму .

  3. Строится полином вида

, принимающий в точках , называемых узлами, значения интерполируемой функции .
Приведите выражение для оценки погрешности интерполяции для формул Лагранжа и Ньютона.

  1. , где , – некоторая точка заданного промежутка – постоянное расстояние между соседними узлами интерполяции .

  2. , где  есть некоторая точка наименьшего промежутка, содержащего все узлы интерполяции и точку , в которой находится значение сеточной функции .

  3.  – узлы интерполяции, – некоторое значение сеточной функции .


Зная квадраты чисел 5; 6; 7; 8, найти квадрат числа 6,25, пользуясь интерполяционной формулой Ньютона.

  1. 39,0624;

  2. 39,0625;

  3. 39,0626,

  4. 39,0623.


Достоинства и недостатки метода интерполирования сплайн-функциями.

  1. Достоинство – использование многочленов невысокого порядка и вследствие этого малым накоплением погрешностей в процессе вычислений. Основной недостаток метода – из числа методов интерполяции наиболее сложен в организации вычислительного процесса.

  2. Достоинство – метод относится к числу итерационных методов и имеет наибольшую точность интерполяции. Основной недостаток метода – медленная скорость сходимости, что приводит к значительным затратам машинного времени.

  3. Достоинство – метод наиболее прост в понимании и организации вычислительного процесса. Основной недостаток метода – при увеличении числа узлов и соответственно степени сплайн – функцию требуется строить заново.


Между данными таблицы можно установить линейную зависимость .



1

1,5

2

3



0,2

0,5

1,1

2,2


Среднеквадратическое уклонение по всей таблице равно:

  1. 0,18

  2. 0,17

  3. 0,16


Написать интерполяционный полином Лагранжа для функции , которая представлена четырьмя своими значениями: и

  1. .

  2. .




Как связана максимальная степень интерполяционного многочлена с количеством узлов интерполяции?

  1. не больше ();

  2. меньше на единицу;

  3. равна (=);

  4. больше (>).


Известные значения функции в 7-ми точках. Многочлен Ньютона какой степени можно построить по этой таблице, используя все значения функции?

  1. 9

  2. 7

  3. 8

  4. 6


Конечная разность 1-го порядка определяется следующим образом:

  1. 

  2. 

  3. 

  4. 


Для погрешности интерполяции многочленом Лагранжа первой степени справа оценка:



  1. 



  2. 


Функция задана своими значениями в узлах . По этим значениям построены интерполяционные многочлены Ньютона  и Лагранжа . Какое утверждение верно:

  1. только в узлах интерполяции 

  2. 

  3. 

  4. 


Какая форма записи интерполяционного многочлена первой степени соответствует многочлену Лагранжа?

  1. 

  2. 

  3. 

  4. 


Какой из приведенных ниже многочленов является интерполяционным для функции заданной таблицей



-1

1

2



4

2

0



  1. 

  2. 

  3. 


Интерполирование многочленом Ньютона 5-ой степени обеспечивает порядок по :

  1. 4

  2. 3

  3. 5

  4. 6


Граничные условия естественного кубического сплайна на отрезке имеют вид:

  1. 

  2. 

  3. 

  4. 



Функция задана своими значениями в узлах . По этим значениям построены интерполяционные многочлены Ньютона  и Лагранжа  с погрешностями интерполяции соответственно. Какое утверждение верно:

  1. 

  2. 

  3. 

  4. 


ДЕ-5. Методы численного интегрирования (20)
39. Оценить погрешность вычисления интеграла по формуле трапеций при равномерном шаге , если на .

А)

Б)

В)
40. Вычисление определенного интеграла по формуле Симпсона.

А) Отрезок интегрирования разбивают па частичные отрезки равной длины. На каждом отрезке подынтегральная функция заменяется на постоянную величину и интеграл по вычисляется как сумма интегралов по всем частичным отрезкам.

Б) В квадратурных формулах коэффициенты и абсциссы , подбираются так, чтобы формулы были точны для многочленов наивысшей возможной степени . При узлах точно интегрируются все многочлены степени . Коэффициенты и абсциссы находятся из системы нелинейных уравнений.

В) Отрезок интегрирования разбивается на равных интервалов. В пределах каждого интервала подынтегральная функция заменяется интерполяционным многочленом второй степени с узлами и . Интеграл повычисляется как сумма интегралов по всем частичным отрезкам.

А) А


Б) Б

В) В
41. Определить величину шага по оценке остаточного члена для вычисления интеграла по формуле трапеций с точностью до , если на ..

А)h= 1,49

Б)h =0,79

В)h= 0,96

Г)h=0,24
Формула трапеции имеет вид:
А)

Б)

В)
Выбор шага интегрирования для обеспечения заданной точности вычисления интеграла с помощью метода двойного пересчета.
А) Общая погрешность вычисления интеграла рассматривается как сумма погрешности усечения  и погрешности округления . Так как с уменьшением шага расчета погрешность убывает, а возрастает, то существует оптимальный шаг , определяемый таким образом, чтобы составляла примерно половину .

Б) Вычисляют интеграл  по выбранной квадратурной формуле дважды: сначала интеграл с некоторым шагом , затем интеграл с шагом , а затем сравнивают их. Если окажется, что , где – допустимая погрешность, то полагают . Если же , то расчет повторяют с шагом  и т.д.

В) Пусть требуется вычислить интеграл с точностью . Используя формулу соответствующего остаточного члена , выбирают шаг таким, чтобы выполнялось неравенство . Затем вычисляют  по выбранной квадратурной формуле с полученным шагом. При этом вычисления следует производить с таким числом знаков, чтобы погрешность округления не превышала .

А) А


Б) Б

В) В
Вычисление определенного интеграла по формуле трапеции.



А) Отрезок интегрирования разбивают на частичные отрезки равной длины. На каждом отрезке подынтегральная функциязаменяется на постоянную величину и интеграл по вычисляется как сумма интегралов по всем частичным отрезкам.

Б) В квадратурных формулах коэффициенты и абсциссы , подбираются так, чтобы формулы были точны для многочленов наивысшей возможной степени . При узлах точно интегрируются все многочлены степени . Коэффициенты и абсциссы находятся из системы нелинейных уравнений.

В) Отрезок интегрирования разбивается на равных интервалов. В пределах каждого интервала подынтегральная функция заменяется интерполяционным многочленом Лагранжа первой степени с узлами и , что соответствует замене кривой на секущую. Интеграл по вычисляется как сумма интегралов по всем частичным отрезкам.

А) А


Б) Б

В) В
Формула Симпсона имеет вид:



А)

Б)

В)


46. Оценить погрешность вычисления интеграла  по формуле Симпсона при равномерном шаге , если на .
А)

Б)

В)
47. Вычисление определенного интеграла по формулам прямоугольников.

А) Отрезок интегрирования разбивают на частичные отрезки равной длины. На каждом отрезке подынтегральная функция заменяется на постоянную величину (либо , либо ) и интеграл по вычисляется как сумма интегралов по всем частичным отрезкам.

Б) Отрезок интегрирования разбивается на равных интервалов. В пределах каждого интервала подынтегральная функция заменяется интерполяционным многочленом Лагранжа первой степени с узлами и , что соответствует замене кривой на секущую. Интеграл по вычисляется как сумма интегралов по всем частичным отрезкам.

В) В квадратурных формулах коэффициенты и абсциссы , подбираются так, чтобы формулы были точны для многочленов наивысшей возможной степени . При узлах точно интегрируются все многочлены степени . Коэффициенты и абсциссы находятся из системы нелинейных уравнений.

А) А


Б) Б

В) В
Вычислить по формуле трапеций интеграл при .

А)

Б)



В)
Вычисление определенного интеграла по формуле трапеции.

А) Отрезок интегрирования разбивают на частичные отрезки равной длины. На каждом отрезке подынтегральная функция заменяется на постоянную величину и интервал вычисляется как сумма интегралов по всем частичным отрезкам.

Б) Отрезок интегрирования разбивается на равных интервалов. В пределах каждого интервала подынтегральная функция заменяется интерполяционным многочленом Лагранжа первой степени с узлами и , что соответствует замене кривой на секущую. Интеграл по вычисляется как сумма интегралов по всем частичным отрезкам.

В) В квадратурных формулах коэффициенты и абсциссы , подбираются так, чтобы формулы были точны для многочленов наивысшей возможной степени . При узлах точно интегрируются все многочлены степени . Коэффициенты и абсциссы находятся из системы нелинейных уравнений.
А) А

Б) Б


В) В
Недостатки метода Гаусса (метода наивысшей алгебраической скорости) вычисления определенного интеграла.

А) В методе Гаусса в отличие от других квадратурных формул абсциссы подбираются исходя из соображений точности и, вообще говоря, являются иррациональными числами. В этой связи он наиболее сложен в организации вычислительного процесса. Кроме того, при интегрировании функции, заданных таблично, метод можно использовать только при соответствующем расположении концов интервалов разбиения.

Б) В методе Гаусса погрешности усечения с ростом числа интервалов разбиения увеличиваются пропорционально квадрату , где – шаг интегрирования. При этом необходимо выполнение достаточно жестких условий сходимости метода.

В) Для функции высокой гладкости при одинаковом числе узлов метод Гаусса дает менее точные результаты, чем другие методы численного интегрирования. При этом для получения одной и той же точности по формуле Гаусса необходимо выполнить значительно больше операций.

А) А


Б) Б

В) В
Подынтегральная функция интерполируется многочленом 1-ой степени, построенным по значениям функции в концах отрезка интегрирования. При интегрировании этого многочлена получается элементарная формула:



А) левых прямоугольников

Б) центральных прямоугольников

В) трапеций

Г) Симпсона
Элементарная квадратурная формула трапеций для интеграла имеет вид:

А)

Б)

В)

Г)
Подынтегральная функция интерполируется многочленом 2-ой степени, построенным по значениям функции в концах отрезка интегрирования. При интегрировании этого многочлена получается элементарная формула:

А) Симпсона

Б) левых прямоугольников

В) центральных прямоугольников

Г) трапеций
Вычислите по формуле трапеций с точностью до 0,01, приняв .

А) 0,51

Б) 0,81

В) 0,69

Г) 0,99
Формула Гаусса имеет вид:

А)

Б)

В)
Оценка погрешности формулы трапеции для приближенного вычисления

А), где .

Б)где

В), где
Оценка погрешности формулы Симпсона для приближенного вычисления

А), где .

Б)где

В), где
На сколько частей надо разбить отрезок интегрирования для приближенного вычисления интеграла по формуле Симпсона с точностью до , если известно, что абсолютное значение четвертой производной подынтегральной функции ограничено числом 14.

А) 10


Б) 21

В) 15


Г) 20.
ДЕ-6. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.

Задача Коши (15)
Применяя метод Эйлера, численно решить дифференциальное уравнение с начальным условием на отрезке с шагом .

А)

Б)

В)
Почему метод Рунге-Кутта называется самостартующим?

А) Метод Рунге-Кутта называется самостартующим, т.к. для вычисления нужно использовать лишь имеющеюся информацию о предыдущих точках . (- шаговый метод).

Б) Метод Рунге-Кутта называется самостартующим, т.к. для вычисления нужно знать лишь одно значение , и с помощью этого метода можно начинать решение дифференциального уравнения.

В) Метод Рунге-Кутта называется самостартующим, т.к. невязка или погрешность аппроксимации разностной схемы стремится к нулю при измельчении сетки.
Построение разностной схемы для численного решения обыкновенного дифференциального уравнения.

А) Область непрерывного изменения аргумента заменяется некоторым конечным множеством точек, лежащих в этой области. Это множество называется разностной сеткой. Для одномерной задачи примером пространственной разностной сетки являются совокупность точек разбиения отрезка на частей. Точки деления отрезка называют узлами сетки. Расстояние между узлами есть шаг сетки.

Б) Заданный отрезок заменяется системой частичных отрезков [] равной длины, называемой разностной сеткой. Расстояние между концами интервала есть единичная длина сетки. На каждом отрезке [] осуществляется численное решение дифференциального уравнения.

В) Пусть для некоторого множества точек исходной области известны табличные значения функции ,являющейся решением дифференциального уравнения. Данное множество значений функции , называемых узлами, есть разностная сетка. Расстояние между узлами называется шагом сетки.
Применяя метод Эйлера, найти решение обыкновенного дифференциального уравнения на интервале с начальным условием , выбрав шаг .

А) y(0,2)=1,2000; y(0,4)=1,4205; y(0,6)=1,9562; y(0,8)=2,3646; y(1,0)=3,0644.

Б) y(0,2)=0,9200; y(0,4)=0,9040; y(0,6)=0,8612; y(0,8)=0,7942; y(1,0)=0,7321.

В) y(0,2)=1,2000; y(0,4)=1,3733; y(0,6)=1,5294; y(0,8)=1,6786; y(1,0)=1,8237.


Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера.

А) Строится система равноотстоящих точек (i= 0, 1, 2,…) при достаточно малом шаге h. Приближенные значения y(xi), являющиеся решением дифференциального уравнения , вычисляются последовательно по формулам .

Б) Строится система равноотстоящих точек (i= 0, 1, 2,…). Вычисления значений y(xi), являющихся решением дифференциального уравнения , проводятся в два этапа. На первом этапе находится промежуточное значение с шагом , на втором этапе , где - параметры, определяемые из соображений точности.

В) В методе Эйлера решение y(x) дифференциального уравнения получается как предел последовательности функций yn(x), которые находятся по реккурентной формуле .
В какой форме можно получить решение обыкновенного дифференциального уравнения по методу Пикара?

А) график;

Б) таблица;

В) аналитическое выражение.

Значение функции y, определяемой дифференциальным уравнением , при начальном условии , найденное методом Эйлера с шагом при .

А) 1,81;

Б) 1,45;

В) 1,56;

Г) 1,38.
В какой форме можно получить решение обыкновенного дифференциального уравнения по методу Рунге-Кутта?

А) график;

Б) таблица значений;

В) аналитическое выражение;
Значение функции y, определяемой дифференциальным уравнением , при начальном условии y(0) = 0, найденное методом Эйлера с шагом при .

А) 0.005;

Б) 0.041;

В) 0.21;

Г) 0.85.
Локальная оценка погрешности метода Эйлера имеет вид:

А)

Б)

В)

Г)
Является ли метод , аппроксимирующий ОДУ :

А) Неявным одношаговым

Б) Явным двухшаговым

В) Неявным двухшаговым

Г) Явным одношаговым
Неявный метод Адамса второго порядка точности  можно получить, интегрируя интерполяционный многочлен

А) 2 порядка, построенный по точкам .

Б) 1 порядка, построенный по точкам

В) 1 порядка, построенный по точкам

Г) 2 порядка, построенный по точкам .
Глобальная оценка погрешности метода Эйлера имеет вид:

А)

Б)

В)

Г)
Значение функции y, определяемой дифференциальным уравнением при начальном условии , найденное методом Эйлера с шагом при равно

А) 9,81;

Б) 5,91;

В) 18,78;

Г) 20,45.
В какой форме можно получить решение обыкновенного дифференциального уравнения по методу Эйлера?

А) график;

Б) аналитическое выражение;

В) таблица значений.
ДЕ-7. Решение дифференциальных уравнений в частных производных(10)
В чем достоинство неявных методов решения дифференциальных уравнений?

  1. В том, что неявные методы абсолютно устойчивы и позволяют выбирать шаг по пространственной переменной независимо от шага по времени (или параметра, играющего роль времени).

  2. В том, что неявные методы являются более простыми в реализации в виде программного продукта.

  3. В том, что неявные методы не требуют на каждом шаге по маршевой переменной (по времени) решения системы алгебраических уравнений.


Какая задача для уравнений в частных производных называется корректно поставленной?

  1. Задача для уравнений в частных производных называется корректно поставленной, если существует решение задачи.

  2. Задача для уравнений в частных производных называется корректно поставленной, если начальные и граничные условия определены и непрерывны в заданной области.

  3. Задача для уравнений в частных производных называется корректно поставленной, если решение существует, единственно и устойчиво.



Приведите разностный аналог уравнения











В явной схеме для решения уравнения теплопроводности с заданными начальным и граничными условиями используется шаблон:

Приведите разностный аналог уравнения










В схеме Либмана для решения уравнения Лапласа по итерационной схеме



используется шаблон:

Дано уравнение теплопроводности . С каким шагом по времени необходимо решать данное уравнение каким-либо явным конечно-разностным методом, чтобы выполнялось условие устойчивости, если шаг по пространственной координате .










Из чего складывается погрешность решения разностным методом уравнения в частных производных?


  1. Погрешность решения разностным методом уравнения в частных производных есть неустранимая погрешность математической постановки.

  2. Погрешность решения разностным методом уравнения в частных производных складывается из абсолютной погрешности и погрешности замены функции интерполяционной формулой Лагранжа.

  3. Погрешность решения разностным методом уравнения в частных производных складывается из погрешности аппроксимации и погрешности округления.


Как связано выполнение условия устойчивости и отношение шагов по времени и квадрата шага по пространственной переменной в неявной схеме для решения уравнения теплопроводности с заданными начальным и граничными условиями.

  1. неявная схема устойчива только при

  2. неявная схема устойчива при любом

  3. неявная схема устойчива только при


Уравнения Лапласа имеет вид:








4.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания ЗУН


Примерный перечень вопросов к зачету

  1. Теорема об LU-разложении квадратной матрицы. Метод LU-разложений решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

  2. Теорема об LU-разложении квадратной матрицы. Нахождение определителя матрицы методом LU-разложений.

  3. Уточнение решения СЛАУ.

  4. Метод квадратного корня решения СЛАУ.

  5. Метод правой прогонки решения СЛАУ с трехдиагональной матрицей.

  6. Метод левой прогонки решения СЛАУ с трехдиагональной матрицей.

  7. Метод вращений решения СЛАУ.

  8. Итерационные методы решения СЛАУ(определения, канонический вид и т.д.).

  9. Метод простых итераций решения СЛАУ. Критерий сходимости. Достаточное условие сходимости.

  10. Метод Якоби решения СЛАУ.

  11. Метод Зейделя решения СЛАУ. Условия сходимости метода.

  12. Метод последовательной релаксации решения СЛАУ.

  13. Проблема собственных значений. Метод Данилевского.

  14. Проблема собственных значений. Степенной метод.

  15. Метод вращений нахождения собственных значений матрицы.

  16. Метод LU-разложений нахождения собственных значений матрицы.

  17. Скалярное нелинейное уравнение. Метод половинного деления.

  18. Скалярное нелинейное уравнение. Метод хорд.

  19. Скалярное нелинейное уравнение. Метод касательных.

  20. Скалярное нелинейное уравнение. Метод секущих.

  21. Скалярное нелинейное уравнение. Комбинированный метод хорд и касательных.

  22. Скалярное нелинейное уравнение. Метод простых итераций.

  23. Система скалярных нелинейных уравнений. Метод простых итераций.

  24. Система скалярных нелинейных уравнений. Метод наискорейшего спуска.

  25. Система скалярных нелинейных уравнений. Метод Ньютона.

  26. Метод наискорейшего спуска решения СЛАУ.

  27. Аппроксимация функций. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Оценка погрешности.

  28. Аппроксимация функций. Интерполяционный многочлен Ньютона (1 и 2 формулы).

  29. Аппроксимация функций методом наименьших квадратов.

  30. Сходимость интерполяционных процессов. Интерполирование сплайнами. Кубические сплайны.

  31. Постановка задачи численного интегрирования. Квадратурные формулы Ньютона – Котеса (общие положения).

  32. Формула трапеций. Общая формула трапеций. Остаточный член.

  33. Формула Симпсона. Общая формула Симпсона. Остаточный член.

  34. Формула Ньютона численного интегрирования. Общая формула Ньютона.

  35. Квадратурные формулы наивысшей степени точности. Метод Гаусса.

  36. Аппроксимация производных. Вывод формул численного дифференцирования.

  37. Численные методы решения задачи Коши. Метод Пикара.

  38. Численные методы решения задачи Коши. Метод Эйлера.

  39. Численные методы решения задачи Коши. Методы Рунге-Кутта.

  40. Численные методы решения задачи Коши. Методы Адамса-Башфорта.

  41. Численные методы решения задачи Коши. Методы Адамса-Моултона.

  42. Численные методы решения задачи Коши. Методы типа «предиктор-корректор».

  43. Общий вид линейных многошаговых методов. Условия согласованности.

  44. Методы решения краевых задач для ОДУ второго порядка. Метод «стрельбы».

  45. Методы решения краевых задач для ОДУ второго порядка. Метод редукции.

  46. Методы решения краевых задач для ОДУ второго порядка. Метод правой дифференциальной прогонки.

  47. Методы решения краевых задач для ОДУ второго порядка. Метод левой дифференциальной прогонки.

  48. Методы решения краевых задач для ОДУ второго порядка. Метод конечных разностей.

  49. Методы решения краевых задач для ОДУ второго порядка. Метод коллокаций.

  50. Методы решения краевых задач для ОДУ второго порядка. Метод Галеркина.

  51. Методы решения краевых задач для ОДУ второго порядка. Метод конечных элементов (проекционно-разностный).

  52. Методы решения краевых задач для ОДУ второго порядка. Метод Ритца.

  53. Методы решения краевых задач для ОДУ второго порядка. Вариационно-разностные методы.

  54. Основные понятия теории разностных схем. Аппроксимация, сходимость, устойчивость.

  55. Задача Дирихле для уравнения Лапласа. Метод Либмана.

  56. Метод правой прогонки для уравнения параболического типа.

  57. Метод левой прогонки для уравнения параболического типа.

  58. Метод сеток для уравнения гиперболического типа.


Задания для самопроверки


  1. Методом LU-разложения для матрицы найти обратную, проверить умножением.

  2. Методом хорд найти положительный корень уравнения с точностью до (все корни лежат на ).

  3. Методом Данилевского выписать характеристический многочлен для матрицы . Известно, что одно из собственных чисел целое. Найдите его.




  1. Составить многочлен Лагранжа для следующей таблицы значений:

X

1

2

3

4

Y

2

3

4

5




  1. Решить СЛАУ