Методические указания для подготовки к входному компьютерному тестированию по высшей математике



Скачать 195,26 Kb.
Дата28.10.2016
Размер195,26 Kb.


УТВЕРЖДАЮ

Заведующий кафедрой

_____________________ФИО

_____________________

подпись

«____»________20___г.,



протокол №___

Методические указания для подготовки к входному компьютерному тестированию


по высшей математике

дисциплина

__2___курс___________3___________семестр ФЗО

4___курс___________7___________семестр ФНО

(номер курса (1, 2, 3…), номер семестра (1, 2, 3…)

факультет заочного образования, факультет непрерывного образования

(название факультета (ФЗО, ФНО))


Барановичи 2011



ВВЕДЕНИЕ
Данные методические указания содержат тематический план курса «Высшая математика», вопросы для подготовки к компьютерному тестированию, некоторые способы решения типичных тестовых и экзаменационных задач, задачи для подготовки к тестированию, список учебной литературы.

Тематический план курса




РАЗДЕЛ VII. Числовые и функциональные ряды

Тема 7.1. Числовые ряды.

Тема 7.2 Общие свойства степенных рядов.

Тема 7.3 Общие функциональные ряды.



Тема 7.4 Ряды Тейлора.

Тема 7.5 Применение степенных рядов.

РАЗДЕЛ VIII Ряд и интеграл Фурье

Тема 8.1 Тригонометрические ряды Фурье.

Тема 8.2 Интеграл Фурье.

РАЗДЕЛ IX Интегральное исчисление функций многих переменных

Тема 9.1 Двойной интеграл.

Тема 9.2 Двойной интеграл в криволинейных координатах.

Тема 9.3 Приложения двойного интеграла.

Тема 9.4 Криволинейный интеграл первого рода.

Тема 9.5 Криволинейный интеграл второго рода.



Тема 9.6 Формула Грина.

Тема 9.7 Тройной интеграл.

Тема 9.8 Тройной интеграл в криволинейных координатах.

Тема 9.9 Приложения тройного интеграла.


Тема 9.10 Поверхностный интеграл первого рода.

Тема 9.11 Поверхностный интеграл второго рода.



Тема 9.12 Формулы Остроградского – Гаусса и Стокса.

РАЗДЕЛ X Векторный анализ и элементы теории поля

Тема 10.1 Скалярное и векторное поля.

Тема 10.2 Потенциальное поле.

Тема 10.3 Поток и дивергенция векторного поля.

Тема 10.4 Циркуляция и ротор векторного поля.

Тема 10.5 Дифференциальные операции первого и второго порядков.


РАЗДЕЛ XI Элементы теории функций комплексной переменной

Тема 11.1 Функции комплексной переменной.

Тема 11.2 Дифференцирование функции комплексной переменной.



Тема 11.3 Интегрирование функции комплексной переменной.

Тема 11.4 Функциональные ряды в комплексной области.

Тема 11.5 Ряды Лорана.



Тема 11.6 Вычеты аналитических функций и их применение.


РАЗДЕЛ VII. Числовые и функциональные ряды
Вопросы для подготовки к тестированию:

1. Сумма числового ряда. Необходимое условие сходимости.

2. Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами (сравнения, Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши).

3. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.

4. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов.

5. Функциональные ряды. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных рядов.

6. Свойства равномерно сходящихся рядов (непрерывность суммы, почленное интегрирование и дифференцирование).

7. Степенные ряды. Теорема Абеля. Вычисление радиуса сходимости степенного ряда.

8. Основные свойства степенных рядов.

9. Ряды Тейлора и Маклорена. Условия разложимости функции в ряд Тейлора.

10. Разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций.

11. Вычисление значение функций и интегралов с помощью степенных рядов.


Некоторые способы решения типичных тестовых и экзаменационных задач

П р и м е р  1. Найти выражение для –й частичной суммы числового ряда



и найти сумму этого ряда.

Р е ш е н и е. Шаг 1. Находим выражение для –й частичной суммы данного числового ряда. По определению

.

Общий член ряда – правильная рациональная функция от . Разложим общий член ряда на простые дроби:



.

Тогда для –й частичной суммы имеем:



.

Давая индексу последовательно значения 1, 2, 3 и , , , получим:





.

Отсюда имеем следующее выражение для –й частичной суммы:



.

Шаг 2. Согласно определению сумма ряда – предел последовательности его частичных сумм: . Тогда в силу шага 1 получаем:





.

О т в е т. .


П р и м е р  2. Найти сумму числового ряда

.

Р е ш е н и е. Шаг 1. Сводим данный числовой ряд к разности двух геометрических рядов. Последовательно имеем:





.

Шаг 2. Воспользуемся следующей известной формулой суммы геометрического ряда:



.

Тогда с учётом шага 1 сумма данного ряда



.

О т в е т. .


П р и м е р  3. Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального уравнения , (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Р е ш е н и е. Искомое разложение ищем в виде ряда Тейлора с центром разложения (в виде ряда Маклорена):



,

в котором по условию .

Перепишем дифференциальное уравнение с указанием аргумента: . Тогда значение первой производной .

Согласно определению . Тогда вторая производная



.

Её числовое значение



.

Подставляем данное значение и найденные значения и в записанный выше ряд Тейлора с центром разложения и получаем следующий ответ.

О т в е т. .

Задачи для подготовки к тестированию:


  1. Исследовать на сходимость.

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .; е)
Ответ: а) сходится; б) сходится; в) сходится; г) расходится; д) сходится; е) сходится

  1. Найти область сходимости степенного ряда

а) ; б) ; в)

Ответ: а) ; б) ; в) .



  1. Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального уравнения , , (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

Ответ:

РАЗДЕЛ VIII Ряд и интеграл Фурье

Вопросы для подготовки к тестированию

1. Тригонометрическая система функций. Тригонометрический ряд Фурье.

2. Условия сходимости ряда Фурье.

3. Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций.

3. Ряд Фурье для функций с периодом .

4. Ряд Фурье в комплексной форме.

5. Представление функции интегралом Фурье.

6. Косинус- и синус- преобразования Фурье.


Некоторые способы решения типичных тестовых и экзаменационных задач

П р и м е р  4. По формуле , в которой дискретный параметр пробегает натуральные значения =1, 2, 3, …, методом интегрирования по частям вычислить синус-коэффициенты Фурье функции



Р е ш е н и е. Разбиваем отрезок интегрирования на два: и . Тогда для синус-коэффициентов Фурье данной функции имеем:



.

Воспользуемся формулой интегрирования по частям:



.

Тогда последовательно получаем:









.

С учётом значений тригонометрических функций , , и , для синус-коэффициентов Фурье данной функции имеем:



.

Отсюда для соответственно чётного и нечётного получаем следующий ответ.

О т в е т.

Задачи для подготовки к тестированию:


  1. Разложить в ряд Фурье функцию периода , заданную на отрезке формулой

Ответ: .

  1. Разложить в ряд Фурье функцию периода , заданную на интервале

Ответ: .

  1. Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на интервале

Ответ: .

РАЗДЕЛ IX Интегральное исчисление функций многих переменных
Вопросы для подготовки к тестированию:

  1. Определение двойного интеграла и его свойства.

2. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат. Повторные интегралы.

3. Тройной интеграл и его свойства.

4. Вычисление тройных интегралов в декартовой системе координат.

5. Криволинейные координаты на плоскости и в пространстве.

6. Элементы площади и объема в криволинейных координатах.

7. Замена переменных в двойных и тройных интегралах.

8. Двойной и тройной интегралы в некоторых системах координат (полярные, цилиндрические и сферические координаты).

9. Применения кратных интегралов.

10. Криволинейные интегралы первого рода и их вычисление.

11. Криволинейные интегралы второго рода и их вычисление.

12. Связь криволинейных интегралов первого и второго родов.

13. Формула Грина.

14. Определение площади кривой поверхности.

15. Поверхностные интегралы первого рода и их вычисление.

16. Сторона поверхности. Односторонние и двусторонние поверхности.

17. Поверхностные интегралы второго рода и их вычисление.

18. Формула Остроградского - Гаусса.

19 Формула Стокса.


Некоторые способы решения типичных тестовых и экзаменационных задач

П р и м е р  5. Вычислить двойной интеграл: по области D, ограниченной линиями:

Р е ш е н и е. Если область D ограничена слева и справа вертикальными прямыми x=a, x=b, а снизу и сверху – кривыми , причем функции - непрерывны и на промежутке [a,b] , то

.

Тогда двойной интеграл . Сначала вычислим интеграл по переменной y (x – параметр):



.

Окончательно имеем



.
О т в е т. 3
П р и м е р  6. Перейдя к полярным координатам, вычислить интеграл: по области D, заданной ограничениями .

Р е ш е н и е. Положим



и применим формулу (7). Так как , то



.

Областью интегрирования исходного интеграла является четверть круга радиуса R=1 с центром в начале координат (рис. 6). Следовательно, в области D1 переменная изменяется от 0 до 1 и . Таким образом, имеем:





.

О т в е т.


П р и м е р  7. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

,

где поверхность S – часть плоскости



x+2y+z-2=0,

отсеченная координатными плоскостями.

Р е ш е н и е. Из данного общего уравнения плоскости получаем уравнение плоскости «в отрезках»:

.

Строим поверхность S – треугольник .






z


C(0; 0; 2)

O(0; 0; 0) y


A(2; 0; 0)
x




B(0; 1; 0)

Сводим вычисление поверхностного интеграла первого рода (по площади) по поверхности пространственного треугольника к вычислению двойного интеграла в координатной плоскости Оху.

Находим явное уравнение поверхности S:

.

Тогда элемент площади



и искомый интеграл



.

Вычисление последнего двойного интеграла по треугольнику (проекции пространственного треугольника на плоскость Оху) сводим к вычислению повторного (двукратного) интеграла.

В плоскости Оху (z=0) общее уравнение стороны АВ имеет вид: x+2y-2=0. Отсюда имеем для неё явное уравнение х=-2у+2. Тогда искомый интеграл

.

Вычисляем внутренний интеграл:



=

==

=.

Вычисляем внешний интеграл:



.

О т в е т. .


Задачи для подготовки к тестированию:

  1. Вычислить двойной интеграл , где область D ограничена линиями: 

Ответ: 1/3.

  1. Вычислить двойной интеграл , где область D ограничена линиями: 

Ответ: 1/3.

  1. Вычислить двойной интеграл , когда область интегрирования D ограничена линиями y=2, y=x, y=1/x

Ответ: 11/12.

  1. Вычислить двойной интеграл, где область D ограничена линиями: и осью Ох

Ответ: . .

  1. Вычислить двойной интеграл, где область D ограничена линиями: .

Ответ: . .

РАЗДЕЛ X Векторный анализ и элементы теории поля

Вопросы для подготовки к тестированию:

1. Скалярные и векторные поля. Векторные линии.

2. Потенциальная функция векторного поля.

3. Поток векторного поля.

4. Дивергенция векторного поля.

5. Циркуляция векторного поля.

6. Ротор векторного поля.

7. Формулы Остроградского - Гаусса и Стокса в векторной форме, их физический смысл.

8. Дифференциальные операции первого и второго порядков.
Некоторые способы решения типичных тестовых и экзаменационных задач

П р и м е р  8. Найти дивергенцию дифференцируемого векторного поля



.

По формуле Остроградского – Гаусса вычислить поток этого векторного поля через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью

2x+3y+z-6=0

и координатными плоскостями.


Р е ш е н и е. Шаг 1. По определению дивергенция



.
Шаг 2. Из общего уравнения плоскости 2x+3y+z-6=0 получаем уравнение плоскости «в отрезках»:

.

Строим пирамиду ОАВС.





z


C(0; 0; 6)


O(0; 0; 0) y


A(3; 0; 0)
x




B(0; 2; 0)

Шаг 3. По теореме Остроградского – Гаусса поток векторного поля через поверхность пирамиды ОАВС в направлении вектора внешней нормали равен тройному интегралу от дивергенции по объёму этой пирамиды ОАВС:



.

Геометрический смысл последнего тройного интеграла – объём пирамиды ОАВС. Тогда поток



.

Объём пирамиды ОАВС равен одной шестой объёма прямоугольного параллелепипеда со сторонами ОА, ОВ и ОС:



.

Итак, поток



.
О т в е т. ; .

П р и м е р  9. Найти ротор дифференцируемого векторного поля



.

По формуле Стокса вычислить циркуляцию этого векторного поля по контуру треугольника, полученного в результате пересечения плоскости

3x+2y+2z-6=0

с координатными плоскостями, при положительном направлении обхода относительно нормального вектора данной плоскости.


Р е ш е н и е. Шаг 1. По определению ротор

.

Символический определитель третьего порядка раскладываем по элементам верхней строки:



.

Вычисляем символические определители второго порядка:





.

Последовательно имеем:



.
Шаг 2. Из общего уравнения плоскости 3x+2y+2z-6=0 получаем уравнение плоскости «в отрезках»:

.

Строим замкнутый контур АВСА.





z







C(0; 0; 3)


O(0; 0; 0) y






A(2; 0; 0)
x




B(0; 3; 0)


Шаг 3. По теореме Стокса циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура АВСА равна потоку ротора через поверхность треугольника , натянутого на этот контур АВСА, в направлении вектора :



,

где точка «» обозначает скалярное умножение. Скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноимённых координат. Поэтому циркуляция



.

Сводим вычисление предыдущих поверхностных интегралов второго рода (по координатам) к вычислению двойных интегралов (в одноимённых координатных плоскостях). Так как углы и - острые, то изменения знака при переходе от поверхностных интегралов к двойным интегралам не происходит и циркуляция



.

Геометрический смысл последних двойных интегралов – площади прямоугольных треугольников и . Тогда циркуляция



.

Площадь прямоугольного треугольника равна одной второй произведения длин его катетов:



.

Итак, циркуляция



.
О т в е т. ; .

РАЗДЕЛ XI Элементы теории функций комплексной переменной

Вопросы для подготовки к тестированию:
1. Комплексные числа. Геометрическое изображение. Свойства.

2. Понятие функции комплексной переменной. Предел и непрерывность.

3. Основные элементарные функции комплексной переменной.

4. Дифференцирование функций комплексной переменной. Условия Коши - Римана.

5. Интегрирование функций комплексной переменной.

6. Теорема Коши. Интегральная формула Коши.

7. Степенные ряды в комплексной области.

8. Ряды Тейлора и Лорана. Классификация особых точек.

9. Понятие вычета. Основная теорема о вычетах.

10. Понятие конформного отображения. Критерий конформности.

11. Общие теоремы теории конформных отображений. Функция Н.Е. Жуковского.
Некоторые способы решения типичных тестовых и экзаменационных задач
П р и м е р  10. Является ли функция действительной частью аналитической функции. Если да, то найти аналитическую функцию при условии, что .
Р е ш е н и е. Шаг 1. Выясняем, удовлетворяет ли данная функция дифференциальному уравнению Лапласа.

Последовательно находим частные производные первого и второго порядков функции по и по :



;

.

Тогда


во всей плоскости .

Итак, функция удовлетворяет дифференциальному уравнению Лапласа во всей плоскости , т. е. является гармонической во всей плоскости .

Следовательно, функция является действительной частью аналитической во всей комплексной плоскости функции (является действительной частью целой функции ).


Шаг 2. Находим гармоническую функцию , сопряжённую к гармонической функции .

Из условий Коши – Римана



и шага 1 получаем следующую систему дифференциальных уравнений для нахождения функции :



.

Интегрируем верхнее уравнение последней системы по :



,

где - произвольная функция от . Полученное выражение для функции дифференцируем по :



.

Отсюда с учётом нижнего уравнения последней системы получаем уравнение



,

из которого находим, что



.

Последнее уравнение интегрируем по :



,

где - произвольная постоянная.

Итак, искомая гармоническая во всей плоскости функция

.

Шаг 3. Искомая аналитическая во всей комплексной плоскости функция найдена с точностью до постоянной:



.

Отсюда, с одной стороны, имеем:



.

С другой стороны, по условию



.

При сравнении последних двух правых частей получаем значение .


О т в е т. .
Если учесть, что

=

=,

то ответ можно записать в следующем виде:

.

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Основная литература
1. Ангилейко И.М., Козлова Р.В. Задачи по теории функций комплексной переменной / И.М. Ангилейко, Р.В. Козлова. – Минск: Вышэйшая школа, 1976. – 128 с.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – М.: Наука, 1985.

3. Гусак А.А. Высшая математика. Т. 2 / А.А. Гусак. – Минск: ТетраСистемс, 2004. – 448 с.

4. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа / Л.Д. Кудрявцев. – М.: Наука, 1989.

5. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. – М.: Наука, 1965. – 716 с.

6. Сборник задач и упражнений по специальным главам высшей математики / Под общ. ред. Г.И. Кручковича. – М.: Высшая школа, 1970. – 512 с.

7. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Ч. 3 / Под общ. ред. А.П. Рябушко. – Минск: Вышэйшая школа, 1991. –288 с.

8. Теория функций комплексной переменной и операционное исчисление / А.А. Гусак, Е.А. Бричкова, Г.М. Гусак. – Минск: ТетраСистемс, 2002. – 208 с.

9. Шипачёв В.С. Высшая математика / Под ред. акад. А.Н. Тихонова. – М.: Высшая школа, 1985. – 471 с.
Дополнительная литература


  1. Ефимов А.В. Математический анализ (специальные разделы). Ч. 1. Общие функциональные ряды и их приложение / А.В. Ефимов. – М.: Высшая школа, 1980. – 273 с.

2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров) / Г. Корн, Т. Корн. – М.: Наука, 1978. – 832 с.

3. Сборник задач по математическому анализу: Интегралы. Ряды / Под ред. Л.Д. Кудрявцева. – М.: Наука, 1986. – 528 с.

4. Сборник задач по математическому анализу: Функции нескольких переменных / Под ред. Л.Д. Кудрявцева. – Санкт-Петербург, 1994. – 496 с.

5. Справочник по высшей математике / А.А. Гусак, Г.М. Гусак, Е.А. Бричкова. – Минск: ТетраСистемс, 2006. – 640 с.

6. Шмелёв П.А. Теория рядов в задачах и упражнениях / П.А. Шмелёв. – М.: Высшая школа, 1983. – 176 с.

7. Бруй I.М., Роўба Я.А. Інтэгралы. Ступенныя шэрагі. Шэрагі Ларана. Вылікі / I.М. Бруй, Я.А. Роўба. – Гродна: Гродзенскі дзяржаўны універсітэт імя Янкі Купалы, 1995. – 79 с.






Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница