Методическое пособие по математике для внеаудиторной самостоятельной работы студентов



страница1/3
Дата22.10.2016
Размер0,68 Mb.
ТипМетодическое пособие
  1   2   3
Государственное профессиональное образовательное автономное учреждение среднего профессионального образования Ярославской области

Рыбинский профессионально-педагогический колледж


УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ

ВНЕАУДИТОРНОЙ

САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ
РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

Составила: Каменовская Елена Степановна.

2015

АЛГЕБРА
И
НАЧАЛА АНАЛИЗА



Тема. Развитие понятия о числе.
Тематика внеаудиторной самостоятельной работы (5 ч)
1) Выполнение решения тренажера по теме «Теорема Виета»

2) Подготовка сообщений по теме «Развитие понятия о числе»


Рекомендуемые темы сообщений

  1. История возникновения чисел

  2. История многочлена

  3. Бином Ньютона

  4. Великие математики (Эратосфен, Диофант, аль-Каши, М.Штифель, Леонардо Пизанский (Фибоначчи))

  5. Позиционная система счисления.

  6. Старинные задачи на «тройное правило», «пропорциональное деление», «метод весов», «фальшивое правило».

Как подготовить сообщение (доклад)

При подготовке сообщения (доклада) целесообразно воспользоваться следующими рекомендациями:



  1. .Уясните для себя суть темы, которая вам предложена.

  2. Подберите необходимую литературу (старайтесь пользоваться несколькими источниками для более полного получения информации).

  3. Тщательно изучите материал учебника по данной теме, чтобы легче ориентироваться в необходимой вам литературе и не сделать элементарных ошибок.

  4. Изучите подобранный материал (по возможности работайте карандашом), выделяя самое главное по ходу чтения.

  5. Составьте план сообщения.

  6. Напишите текст доклада.



Помните!
Выбирайте только интересную и понятную информацию. Не используйте неясные для вас термины и специальные выражения.

Не делайте сообщение очень громоздким.

При оформлении доклада используйте только необходимые, относящиеся к теме рисунки и схемы.

В конце сообщения составьте список литературы, которой вы пользовались при подготовке.

Прочитайте написанный текст заранее и постарайтесь его пересказать, выбирая самое основное.

Перед тем, как делать сообщение, выпишите необходимую информацию (термины, даты, основные понятия) на доску.

Никогда не читайте доклад! Чтобы не сбиться, пользуйтесь планом и выписанной на доске информацией.

Говорите громко, отчётливо и не торопитесь. В особо важных местах делайте паузу или меняйте интонацию – это облегчит её восприятие для слушателей.



Тренажеры.

Действия с дробями
1.1 Вычислите значения выражений

1) + ; 2) ( ; 3) (.


1) + ; 2)
1) (2) ; 3)
1.2. Представьте в виде обыкновенной дроби.

1) 0,125; 2) 0,46; 3) 7,11.

1) 1,328; 2) 0,314; 3) 2,02020202.

1) 1,239; 2) 2,7272; 3) 0,0007.


1.3. Представьте в виде десятичной дроби.

1) .


.


  1. .


Разложение натурального числа по степеням простых чисел

1.4. Представьте в виде произведения степеней различных простых чисел.

1) 512; 2) 97; 3) 4563.

1) 14641; 2) 8041; 3) 1729.

1) 1000188; 2) 13832; 3) 111111.

1.5 Найдите наименьший общий знаменатель дробей.

1)

1) 2)

1.6. Укажите, какая максимальная степень а, на которую делится степень b.

1) а = 9, b = 32805.

2) а = 7, b = 50421.

3) а = 6, b = 15552.

1.7. Укажите, какое простое число входит в разложение числа d по степеням простых чисел в максимальной степени.

1) d = 864; 2) d = 222264; 3) d = 5766.

1.8. Выпишите все простые делители числа m.

1) m = 440; 2) m = 5421; 3) m = 343434.

1) m = 9317; 2) m = 2016; 3) m = 5600.

1) m = 15912; 2) m = 20160; 3) m = 40560.

Комплексные числа.

1.8. Вычислите значения выражений.

1) 3 + 17i + ; 2) (3 + 17i) (); 3) (3 + 11i) 4) (i + 1)².
+ ; 2) () (); 3) ( ); 4) ( .
1) ; 2) ( ; 3) ; 4)

Справочный материал.

R – множество всех вещественных (действительных) чисел

Zмножество всех целых чисел

Nмножество всех натуральных чисел

Алгебраические выражения

a² - b² = (a – b) (a + b)

a³ - b³ = (a – b)(a² +ab +b²)

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²

(a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² + b³

(a ± b)⁴ = a⁴ ± 4a³b + 6a²b² ± 4ab³ + b⁴

1 - xⁿ = ( 1 – х) (1 + х + х² + … + )
ах² + bx + c = a((x + )² - )

= (1 – )

ca8431a8

Теорема Виета для ах² + bх + с = 0

x1 + x2 = - ; x1 · x2 =

если а = 1, то x1 + x2 = -b; x1 · x2 = c



da3ab446
Свойства числовых неравенств

1) Если a < b, то при любом c: a + с < b + с.


2) Если a < b и c > 0, то aс < bс.
3) Если a < b и c < 0, то aс > bс.
4) Если a < b, a и b одного знака, то 1/a > 1/b.
5) Если a < b и c < d, то a + с < b + d, a - d < b - c.
6) Если a < b, c < d, a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, то ac < bd.
7) Если a < b, a > 0, b > 0, то

8) Если |a| ‹ |b|, то a² ‹ b²




Информационные ресурсы

  1. С.Л.Блюмин Развитие понятия о числе. Некоторые современные представления,2005.

  2. И.Г.Башмакова Диофант и Диофантовы уравнения.

  3. История математики, т. 1—3, М., 1970—72

  4. Энциклопедия элементарной математики, кн. 1 — Арифметика, М.—Л., 1951

  5. Гейзер Г.И. История математики в школе. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1981. - 239 с.

  6. М.И. Башмаков Алгебра и начала анализа. 10кл. Базовый уровень.: учеб. для общеобразовательных учреждений. – М.: Дрофа, 2008.

  7. Энциклопедический словарь юного математика/Сост. Э- 68 А.П.Савин. – М.: Педагогика, 1989.

  8. Интернет


Тема. Корни, степени и логарифмы.
Тематика внеаудиторной самостоятельной работы (16 ч)

1) Выполнение решения тренажеров по темам «Вычисления со степенями и корнями»; «Показательные уравнения», « Логарифмические уравнения», «Преобразование логарифмических выражений».

2) Подготовка сообщений по теме «Корни, степени и логарифмы»

Рекомендуемые темы сообщений



  1. История радикала.

  2. Треугольник Паскаля

  3. История логарифма

  4. Великие математики (Дж.Непер, И.Бюрги, Г.Бриггс)

  5. Введение знаков степени Р.Декартом

Как подготовить сообщение (доклад)

При подготовке сообщения (доклада) целесообразно воспользоваться следующими рекомендациями:


  1. .Уясните для себя суть темы, которая вам предложена.

  2. Подберите необходимую литературу (старайтесь пользоваться несколькими источниками для более полного получения информации).

  3. Тщательно изучите материал учебника по данной теме, чтобы легче ориентироваться в необходимой вам литературе и не сделать элементарных ошибок.

  4. Изучите подобранный материал (по возможности работайте карандашом), выделяя самое главное по ходу чтения.

  5. Составьте план сообщения.

  6. Напишите текст доклада.



Помните!
Выбирайте только интересную и понятную информацию. Не используйте неясные для вас термины и специальные выражения.

Не делайте сообщение очень громоздким.

При оформлении доклада используйте только необходимые, относящиеся к теме рисунки и схемы.

В конце сообщения составьте список литературы, которой вы пользовались при подготовке.

Прочитайте написанный текст заранее и постарайтесь его пересказать, выбирая самое основное.

Перед тем, как делать сообщение, выпишите необходимую информацию (термины, даты, основные понятия) на доску.

Никогда не читайте доклад! Чтобы не сбиться, пользуйтесь планом и выписанной на доске информацией.

Говорите громко, отчётливо и не торопитесь. В особо важных местах делайте паузу или меняйте интонацию – это облегчит её восприятие для слушателей.


31a0ecf7


dc497e60

ad657df6

f3c78968
Справочный материал

Степень с целым показателем









Корень n-ой степени



- арифметический корень n-й степени из числа;





Cтепень с дробным рациональным знаменателем



Свойства степени с действительным показателем








Логарифмы


Основное логарифмическое тождество:


lg b - десятичный логарифм (логарифм по основанию 10)


ln b - натуральный логарифм (логарифм по основанию e):


Переход от одного основания к другому:




Свойства логарифмов











Информационные ресурсы

1.Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978

2. Швецов К. И., Бевз Г. П. Справочник по элементарной математике. Арифметика, алгебра. Киев: Наукова Думка, 1966. §40. Исторические сведения о логарифмах и логарифмической линейке.

3. Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов, 1923

4. История математики, том II, 1970

5. Шилов Г. Е. Простая гамма. Устройство музыкальной шкалы. М.: Физматгиз, 1963. 20 с. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 37.

6.М.И. Башмаков Алгебра и начала анализа. 10кл. Базовый уровень.: учеб. для общеобразовательных учреждений. – М.: Дрофа, 2008.

7.Энциклопедический словарь юного математика/Сост. Э- 68 А.П.Савин. – М.: Педагогика, 1989.

8. Интернет

Тема. Элементы комбинаторики.
Тематика внеаудиторной самостоятельной работы


  1. Исследовательская работа «Комбинаторика в геометрии» (работа в группах)

  2. Выполнение сообщений по теме «Элементы комбинаторики»

Рекомендуемые темы сообщений.

  1. Магические и латинские квадраты

  2. Приложения комбинаторики в биологии.

  3. Приложения комбинаторики в химии.

  4. Комбинаторика на шахматной доске.

Как подготовить сообщение (доклад)

При подготовке сообщения (доклада) целесообразно воспользоваться следующими рекомендациями:


  1. .Уясните для себя суть темы, которая вам предложена.

  2. Подберите необходимую литературу (старайтесь пользоваться несколькими источниками для более полного получения информации).

  3. Тщательно изучите материал учебника по данной теме, чтобы легче ориентироваться в необходимой вам литературе и не сделать элементарных ошибок.

  4. Изучите подобранный материал (по возможности работайте карандашом), выделяя самое главное по ходу чтения.

  5. Составьте план сообщения.

  6. Напишите текст доклада.



Помните!
Выбирайте только интересную и понятную информацию. Не используйте неясные для вас термины и специальные выражения.

Не делайте сообщение очень громоздким.

При оформлении доклада используйте только необходимые, относящиеся к теме рисунки и схемы.

В конце сообщения составьте список литературы, которой вы пользовались при подготовке.

Прочитайте написанный текст заранее и постарайтесь его пересказать, выбирая самое основное.

Перед тем, как делать сообщение, выпишите необходимую информацию (термины, даты, основные понятия) на доску.

Никогда не читайте доклад! Чтобы не сбиться, пользуйтесь планом и выписанной на доске информацией.

Говорите громко, отчётливо и не торопитесь. В особо важных местах делайте паузу или меняйте интонацию – это облегчит её восприятие для слушателей.


Исследовательская работа по теме «Комбинаторика в геометрии»

Цель работы: научиться использовать комбинаторные рассуждения в геометрии.
На одной из двух параллельных прямых выбрано 8 точек, а на другой – 6 точек.

  1. Сколько можно построить отрезков, соединяющих две точки, лежащие на разных прямых?

  2. Пусть отрезок АВ соединяет третью точку на первой прямой с четвертой точкой на второй. Сколько отрезков, соединяющих две точки, лежащие на разных прямых, пересечет отрезок АВ внутри полосы?

  3. Подсчитайте число отрезков с концами в выбранных точках на второй прямой с помощью такого рассуждения: если левый конец отрезка – первая точка, то таких отрезков – 5, если вторая, то – 4, если третья, то… и т.д.

  4. Сколько можно построить треугольников с вершинами на первой прямой и основаниями на второй?

  5. Подсчитайте число отрезков с концами в выбранных точках на первой прямой.

  6. Сколько можно построить треугольников, у которых одна из вершин расположена на одной прямой, а две другие – на другой?

  7. Сколько можно построить четырехугольников с вершинами в данных точках?

  8. Подсчитайте общее число точек пересечения внутри полосы всех отрезков с концами на двух прямых. (Подсказка: каждый четырехугольник определяет одну такую точку)

  9. Сколько можно построить замкнутых ломаных, имеющих 6 звеньев, вершины которых, чередуясь, расположены на данных прямых? (Ломаные могут быть самопересекающимися)

  10. Пусть на одной прямой m точек, на другой – n. Дайте ответы на задания 1-9 в общем виде для произвольных m и n.


Справочный материал

Основная формула комбинаторики



N=n1· n2· n3· ... · nk.

Число перестановок

Pn = n!, где n! = 1·2·3· … ·n

Число размещений



Число сочетаний





Информационные ресурсы

  1. Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. — М.: Наука, 1975

  2. Ерош И. Л. Дискретная математика. Комбинаторика — СПб.: СПбГУАП, 2001

  3. Белешко Д. Комбинаторика. 2004

  4. М.И. Башмаков Алгебра и начала анализа. 10кл. Базовый уровень.: учеб. для общеобразовательных учреждений. – М.: Дрофа, 2008.

  5. Энциклопедический словарь юного математика/Сост. Э- 68 А.П.Савин. – М.: Педагогика, 1989.

  6. Интернет.


Тема. Элементы теории вероятностей. Элементы математической статистики.

Тематика внеаудиторной самостоятельной работы.

  1. Исследовательская работа «Бросание кости».

  2. Выполнение сообщений по теме «Геометрическая модель для задачи Бюффона», «Парадокс Бертрана» (работа в группах)

Как подготовить сообщение (доклад)

При подготовке сообщения (доклада) целесообразно воспользоваться следующими рекомендациями:


  1. .Уясните для себя суть темы, которая вам предложена.

  2. Подберите необходимую литературу (старайтесь пользоваться несколькими источниками для более полного получения информации).

  3. Тщательно изучите материал учебника по данной теме, чтобы легче ориентироваться в необходимой вам литературе и не сделать элементарных ошибок.

  4. Изучите подобранный материал (по возможности работайте карандашом), выделяя самое главное по ходу чтения.

  5. Составьте план сообщения.

  6. Напишите текст доклада.



Помните!
Выбирайте только интересную и понятную информацию. Не используйте неясные для вас термины и специальные выражения.

Не делайте сообщение очень громоздким.

При оформлении доклада используйте только необходимые, относящиеся к теме рисунки и схемы.

В конце сообщения составьте список литературы, которой вы пользовались при подготовке.

Прочитайте написанный текст заранее и постарайтесь его пересказать, выбирая самое основное.

Перед тем, как делать сообщение, выпишите необходимую информацию (термины, даты, основные понятия) на доску.

Никогда не читайте доклад! Чтобы не сбиться, пользуйтесь планом и выписанной на доске информацией.

Говорите громко, отчётливо и не торопитесь. В особо важных местах делайте паузу или меняйте интонацию – это облегчит её восприятие для слушателей.


Исследовательская работа «Бросание кости».

Цель работы: научиться подсчитывать число результатов при последовательных испытаниях.

При бросании кости выпадает одна из шести возможностей – числа от 1 до 6. Результат последовательного бросания кости мы будем представлять как последовательность этих чисел (или как слово в алфавите из шести цифр).



  1. Сколько существует вариантов последовательного бросания кости 2 раза? 3 раза? n раз?

  2. Кость бросается 2 раза. Сколько раз встречаются следующие варианты:

а) шестерка не выпадает ни разу;

б) шестерка выпадает 2 раза;

в) шестерка выпадает хотя бы один раз;

г) за два раза в сумме выпадает 5 очков?

3. Кость бросается 3 раза. Сколько раз встречаются следующие варианты:

а) ни разу не выпадает единица;

б) ни разу не выпадает четная цифра;

в) шестерка выпадает ровно два раза;

г) хоть один раз выпадает нечетная цифра?

4. При каком наименьшем числе бросаний кости число вариантов, при котором хоть раз выпадает шестерка, превышает 3/4 от общего числа возможных вариантов?

5. При каком числе бросаний кости число вариантов, при котором хоть раз выпадает шестерка, превышает 9/10 от общего числа возможных вариантов?
Бросается пара костей одновременно. Кости окрашены в разные цвета, поэтому варианты выпадения, например, пары (1,2) считаются дважды ( единица выпала на красной кости и двойка на черной или наоборот).

6. Сколько существует вариантов последовательного бросания пары костей 2 раза? 3 раза? n раз?



  1. В каком числе вариантов при однократном броске пары костей происходит следующее:

а) цифры на обеих костях разные;

б) цифры на обеих костях разной четности;

в) сумма цифр на обеих костях более девяти?

8. Три раза бросается пара костей. В каком числе вариантов произойдет следующее:

а) ни разу не выпадут две шестерки;

б) хоть один раз выпадут две шестерки;

в) все время будут выпадать две одинаковые цифры;

г) две одинаковые цифры выпадут ровно один раз?

9. Пара костей бросается n раз. Запишите в виде дроби, какую долю по отношению к числу всех возможных вариантов, занимают следующие события:

а) ни разу не выпадут две шестерки;

б) хоть один раз выпадут две шестерки;

в) ни разу не выпадут две одинаковые цифры;

г) хоть один раз выпадут две одинаковые цифры.

10. Найдите наименьшее число бросаний, при котором доли, вычисленные в предыдущем примере для случаев б) и г), превзойдут 0,5.


Справочный материал.

Случайные события

Классическое определение вероятности P(A) = m/n, где m - число благоприятных исходов опыта; n - число всех его исходов.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Р (А + В) = Р(А) + Р(В)

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)

Теорема умножения вероятностей независимых событий

Р(АВ) = Р(А)Р(В)

Теорема умножения вероятностей зависимых событий

Р(АВ) = Р(А)Р(В/А) = Р(В)Р(А/В), где Р(В/А) - вероятность события B при условии, что произошло событие A.

Формула полной вероятности P(A) = P(A/), где В1, В2,…, Вn - полная группа гипотез, т. е. Вi· Bj = Ǿ? i ≠ j, = Ω, где Ω - достоверное событие.

Формула Бейеса



Повторение испытаний

Формула Бернулли


f014056f024056f034056f044056f054056f064056f074056

где P(вероятность появления события А ровно k раз при n независимых испытаниях; p – вероятность появления события А при каждом испытании.

Вероятность того, что событие А:


  1. не наступит ни разу Pn(0) = (p – 1)ⁿ;

  2. наступит хотя бы один раз P = 1 - (p – 1)ⁿ;

  3. наступит n раз Рn(n) = pⁿ;

  4. наступит не более k раз P = Pn(0) + Pn(1) +… + Pn(k) ;

  5. наступит не менее k раз P = Pn(k) + Pn(k +1) +… + Pn(n) ;

Локальная теорема Лапласа

где Pn(k) - вероятность появления события А ровно k раз при n независимых испытаниях; р – вероятность появления события А при каждом испытании;





Информационные ресурсы.

  1. «Теория вероятностей и математическая статистика» Гмурман В.Е. 9-е изд., стер.—М.: Высшая школа, 2003.



  2. Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2019
обратиться к администрации

войти | регистрация
    Главная страница


загрузить материал