На тему: Об интегральных формулах Вилля-Шварца



страница11/16
Дата21.08.2017
Размер1 Mb.
1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   16
(65)

и граничному условию



, , (66)

где .

Решение задачи (65) и (66) в заданных произвольных областей имеет следующий вид:

(67)

или после соответствующих преобразований получим (§4 п."б"):



;

, (68)

где и постоянные, определяемые нормировкой функции , - угол наклона касательной в точке , соответствующей при отображении .

Пусть теперь - каноническая область (круг, концентрическое круговое кольцо, внешность двух кругов, …), а - соответствующая область, ограниченная контуром .



Построим функцию , дающую конформное отображение на . Причем будем для простоты считать, что , .

В силу конформности отображения всюду в функция равна



; на (69)

,

Следовательно, функцию можно представить следующими интегральными формулами типа Шварца:



, , ();

, , (; (70)

, ,

где - ядро Шварца для круга;



- функция Вейерштрасса;

- ядро Александра-Сорокина для неконцентрического кругового кольца;

- ядро для внешности двух окружностей;

- ядро для симметричных и равных (неравных) окружностей.

Интегральное представление (68) назовем интегральной формулой для решения задачи типа Дирихле для рассмотренных областей .



Для нахождения гармонической (или ) в произвольной односвязной области функций, достаточно знать или обычные классические интегральные формулы Пуассона для круга :

или


.

2. Для нахождения решения задачи Дирихле в произвольной двусвязной ограниченной (конечной) области через - решение кругового кольца надо пользоваться контурной компактной формулой Вилля, т.е. и - интегральные формулы Пуассона для кругового кольца ():

,
(71)


.

Таким образом, аналогичными примерами можно найти и для остальных рассмотренных областей решения задачи Дирихле () через и .





Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   16


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница