На тему: Об интегральных формулах Вилля-Шварца



страница3/16
Дата21.08.2017
Размер1 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16
§2. О задачах Шварца-Пуассона.
а) Интеграл Шварца для круга
Как известно, по данным значениям вещественной (мнимой) части функции находится с точностью до чисто мнимого слагаемого. Аналитический аппарат, дающий выражение функции , регулярной в области, через значения на контуре, в том случае, когда область есть круг радиуса , известен – это есть так называемый интеграл Шварца [6, 8, 9]:



, (, ) (18)

Полагая здесь , мы найдем для чисто вещественное значение , для которого мнимая часть обращается в нуль в начале координат.



Чтобы получить общее решение, мы должны добавить к правой части произвольное мнимое число :

, . (19)

Отделим в (18) вещественную и мнимую части, так как вещественная



часть даст нам интеграл Пуассона для и мнимая же часть доставляет выражение через .



Для единичного круга , имеет вид:

, (20)

где , - представляет значение вещественной части искомой функции в точке .



б) Интегральная формула Пуассона.
Задача Дирихле об определении значений гармонической функции внутри круга, если известны ее значения на границе, решается, как известно, интегралом Пуассона:

, (21)

где - полярные координаты точки, где ищется значение решения; - радиус окружности и - функция полярного угла , дающая граничные значения [9].



Можно проверить разложением в ряд Тейлора, что



,

(, )



Поэтому представима рядом:



(22)

где и - коэффициенты Фурье :



; ;

В центре окружности при мы получаем:



(23)

Равенство (23) – теорема Гаусса о том, что значение гармонической функции в центре окружности есть среднее арифметическое ее значений на самой окружности.





Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница