На тему: Об интегральных формулах Вилля-Шварца



страница5/16
Дата21.08.2017
Размер1 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16

Пусть в плоскости комплексного переменного дано круговое кольцо , ограниченное окружностями


, ,

где заданное положительное число <1.

Требуется найти регулярную и однозначную внутри области функцию , если известны значения ее вещественной части на границах кольца.

Для случая круга аналогичная задача решается известной формулой Шварца Г. (1869г) (п.1)



, (, ),

где с – действительная переменная.

Здесь предполагается, что радиус круга равен 1, а положение точки на окружности определяется аргументом этой точки, так что представляет значение вещественной части искомой функции в точке .

Нашей задачей является переход от круга к кольцу и построение формулы, аналогичной формуле (1).



Обозначим через и значения вещественной части искомой функции в точках с аргументом на внешней, соответственно внутренней, границе .

Основной нашей целью является выяснение того, как скажется на формуле переход от односвязной области к двусвязной.

Величина

,

где интеграл справа берется по окружности радиуса () с центром в точке , очевидно, не зависит от . Тем же свойством обладает и вещественная часть написанного интеграла.

Отсюда, приближая вначале к 1, а замечая, что в интеграле можно

сделать требуемые предельные переходы, получим:



. (30)

Это условие, таким образом, необходимо для разрешимости поставленной нами проблемы, и мы должны предположить, что она выполняется.

Искомая функция может быть разложена в ряд Лорана

. (31)

Мы найдем разложения обеих функций , в ряды Фурье. Из этих разложений получаются коэффициенты в виде некоторых интегралов и подставляя в (31) получим известную формулу Анри Вилля для кругового кольца в форме Н.И.Ахиезера [7].



, (32)

где с – произвольная вещественная константа, - произвольное положительное число, а чисто мнимое число находится с помощью равенства



, (33)

, и, наконец - функция Вейерштрасса.

Формула (32), принадлежащая Вилли, представляет собой аналог формулы Шварца для кругового кольца; она приведена в иной форме, например в монографии Н.Ахиезера [7].


а) Преобразование интегральной формулы А.Вилля (32).
Формула Анри Вилля в форме Н.И.Ахиезера [7].
, (34)

где из (33) следует, что , где - положительное действительное число, можно придать более компактную форму, если несколько преобразуем (32), учитывая (33) и замечая, что можно выразить через с учетом граничных свойств:



,

, ; (35)

, .

Таким образом, интегральная формула (32) с учетом (34) и (35) примет следующий окончательный вид:



, (36)

где с – постоянная.



Формулу (36) можно назвать канонической, компактной и контурной интегральной формулой Анри Вилля для кругового кольца.
б) Функции Вейерштрасса.
В виду важности трех функций Вейерштрасса , и для практического применения и простоты реализации на ЭВМ мы рассмотрим следующие варианты представления данных функций [19] - [22]:

1. (37)

или


(38)

2. ,



: , (39)

,

для действительных нулей полинома возможны следующие частные случаи:





: ,

,

.

3. ,



Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница