Основная образовательная программа подготовки бакалавра по направлению подготовки бакалавриата 010200 «Математика и компьютерные науки» профиль общий



страница1/5
Дата29.10.2016
Размер1,51 Mb.
  1   2   3   4   5
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ДИСЦИПЛИНЕ
Б3.Б.1 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Основная образовательная программа подготовки бакалавра
по направлению
подготовки бакалавриата 010200 «Математика и компьютерные науки»


профиль общий
1. Программа учебной дисциплины

Действительные числа и их свойства. Функции и их свойства. Операции над функциями, композиция функций, обратная функция. Предел последовательности. Предел функции. Непрерывность функции в точке и на множестве. Непрерывность основных элементарных функций.

Дифференцируемость функции, производная, дифференциал. Правила дифференцирования. Основные теоремы дифференциального исчисления и их приложения к исследованию функций.

Неопределённый интеграл и основные методы интегрирования. Определённый интеграл. Основные теоремы теории интеграла Римана. Несобственные интегралы. Длина дуги кривой. Мера Жордана. Связь между интегрируемостью функции по Риману и измеримостью по Жордану ее криволинейной трапеции.

Элементы теории меры и интеграла Лебега. Интеграл Стилтьеса.

Некоторые понятия общей топологии. Метрические пространства.

Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность. Частные производные и дифференцируемость функции нескольких переменных. Исследование на экстремумы. Неявные функции.

Числовые ряды. Признаки сходимости. Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды. Формула и ряд Тейлора. Разложение в степенной ряд основных элементарных функций.

Двойной и тройной интегралы, их применение к вычислению геометрических величин. Криволинейные интегралы и их приложения. Поверхностные интегралы. Элементы теории поля.

Интегралы, зависящие от параметра.

Ряды Фурье. Преобразование и интеграл Фурье.

Комплексные числа. Функции комплексной переменной. Дифференцирование и интегрирование ФКП. Ряды с комплексными членами.


2. Автор программы: Мартынов О.М., к.ф.-м.н., доцент

3. Рецензенты: Локоть В.В., к.ф.-м.н., доцент, Беляев В.Я., к.ф.-м.н., доцент

4. Цели освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины «математический анализ» являются формирование систематизированных знаний в области математического анализа, о его месте и роли в системе математических наук с учетом содержательной специфики предмета «Алгебра и начала анализа» в общеобразовательной школе.


5. Место дисциплины в структуре ООП ВПО
Дисциплина «Математический анализ» относится к базовой (общепрофессиональной) части профессионального цикла (Б3.Б.1).

Для освоения дисциплины «Математический анализ» студенты используют знания, умения и виды деятельности, сформированные в процессе изучения предмета «Математика» на предыдущем уровне образования.

Освоение данной дисциплины является необходимой основой для последующего изучения дисциплин «Дифференциальные уравнения», «Методы оптимизации», «Математическое моделирование», «Теория вероятностей», дисциплин по выбору студентов.
6. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины Выпускник должен обладать следующими компетенциями:


  1. Способностью применять в научно-исследовательской и профессиональной деятельности базовые знания в области фундаментальной и прикладной математики и естественных наук (ОК-6);

  2. способностью и постоянной готовностью совершенствовать и углублять свои знания, быстро адаптироваться к любым ситуациям (ОК-8);

  3. фундаментальной подготовкой в области фундаментальной математики и компьютерных наук, готовностью к использованию полученных знаний в профессиональной деятельности (ОК-11);

  4. способностью к анализу и синтезу информации, полученной из любых источников (ОК-14);

  5. умением формулировать результат (ПК-3);

  6. умением строго доказывать утверждение (ПК- 4);

  7. умением грамотно пользоваться языком предметной области (ПК-7);

  8. умением ориентироваться в постановках задач (ПК-8);

  9. знанием корректных постановок классических задач (ПК-9);

  10. пониманием корректности постановок задач (ПК-10);

  11. выделением главных смысловых аспектов в доказательствах (ПК-16);

  12. владением проблемно-задачной формой представления математических и естественно-научных знаний (ПК-21);

  13. умением увидеть прикладной аспект в решении научной задачи, грамотно представить и интерпретировать результат (ПК-22);

  14. возможностью преподавания физико-математических дисциплин и информатики в общеобразовательных учреждениях и образовательных учреждениях среднего профессионального образования (ПК-29).

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

1) Знать:

- основные понятия математического анализа;

- основные свойства и теоремы, методы математического анализа;

2) Уметь:

- вычислять пределы, находить производные и вычислять интегралы;

- используя определения, проводить исследования, связанные с основными понятиями;

- применять методы математического анализа к доказательству теорем и решению задач;

3) Владеть

- современными знаниями о математическом анализе и его приложениях;

- основными понятиями школьного курса «Алгебра и начала анализа» и вузовского курса «Математический анализ».


7. Объем дисциплины и виды учебной работы (для всех направлений подготовки, на которых обеспечивается данная дисциплина).

Общая трудоемкость дисциплины составляет 15 зачетных единиц


(из расчета 1 ЗЕТ= 36 часов);

540 часов.

№ п/пШифр и наименование направления с указанием профиля (названием магистерской программы), формы обученияКурсСеместрВиды учебной работы в часахВид итогового контроля (форма отчетности)Трудоемкость в часах/ЗЕТВсего аудит.Часов в интеракт. форме (из ауд.)ЛКПР/ СМЛБЧасы на СРС

(для дисц. с экзаменом включая часы на экзамен)1010200 «Математика и компьютерные науки», общий профиль, очная11135/66223036– 60Экзамен2010200 «Математика и компьютерные науки», общий профиль, очная12135/66203036–60Зачет3010200 «Математика и компьютерные науки», общий профиль, очная23135/52202626–60Зачет4010200 «Математика и компьютерные науки», общий профиль, очная24135/66203036–56Экзамен



8. Содержание дисциплины
Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного времени:
№ п/пНаименование
раздела, темыКоличество часовВсего ауд.ч./в интеракт.ф.ЛКПР/

СМЛБЧасов на СРС1Введение в анализ66/111518–302Дифференциальное исчисление функции одной переменной66/111518

–303Неопределенный интеграл14/468–104Интеграл Римана20/81010–145Элементы теории меры и интеграла Лебега. Интеграл Стилтьеса.2/020-126Некоторые понятия общей топологии. Метрические пространства. Дифференциальное исчисление ФНП16/4610–127Числовые и функциональные ряды14/468–128Кратные интегралы24/101212–209Криволинейные интегралы и элементы теории поля20/81010–2010Интегралы, зависящие от параметра.8/244-2011Ряды Фурье. Преобразование и интеграл Фурье.10/446-2012Комплексные числа. Функции комплексной переменной. Дифференцирование и интегрирование ФКП. Ряды с комплексными членами.56/162630-36


9.
Содержание разделов дисциплины (указать краткое содержание раздела (темы) с обязательным указанием номера раздела (темы).
1. Введение в анализ

Множество. Операции над множествами. Отображения множеств и их виды.

Вещественные числа. Простейшее назначение вещественных чисел. Доказательство того, что диагональ единичного квадрата не может быть измерена рациональным числом. Свойства вещественных чисел.

Целая и дробная части числа. Абсолютная величина числа. Представление вещественных чисел в виде бесконечной десятичной дроби.

Определения ограниченного сверху (снизу) множества, ограниченного множества. Верхняя (нижняя) грань множества. Точная верхняя (нижняя) множества. Свойства точных верхней и нижней граней множества.

Свойство полноты множества вещественных чисел (формулировка и доказательство).

Леммы об отделимости множеств, о системе вложенных отрезков и последовательности стягивающихся отрезков.

Неравенство Бернулли. Числовые последовательности (Определение последовательности, примеры, операции над числовыми последовательностями, ограниченные сверху (снизу), ограниченные последовательности, определения бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей, примеры).

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей (теоремы 1-5 и следствия из них), доказательства того, что и - бесконечно малые последовательности при .

Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей.

Предельный переход в неравенствах. Примеры: , .

Определение монотонных последовательностей. Теорема Вейерштрасса (теоремы 1 и 2).

Число (Теоремы 3 и 4 с доказательством). Последовательность . Оценка для , где . Оценка для , где .

Иррациональность числа (теорема 5). Постоянная Эйлера (теорема 6). Алгебраические и трансцендентные числа.

Определение подпоследовательности и частичного предела. Теорема Больцано – Вейерштрасса. Верхний и нижний пределы. Существование верхнего и нижнего пределов для ограниченной последовательности.

Критерий Коши для сходимости последовательности. Пример.

Мощность множества. Определение счетного множества. Счетность множества рациональных чисел.

Мощность множества. Теорема о совокупности всех подмножеств любого множества. Замечание о множестве подмножеств конечного множества. Определение несчетного множества и множества мощности континуум. Утверждение о мощности множества точек отрезка . Канторов диагональный процесс. Определение бесконечного множества. Мощность множества вещественных чисел.

Понятие предела числовой функции (определения отображения, функции, проколотой - окрестности, предела по Коши и по Гейне).

База множеств. Предел функции по базе. Примеры баз. Доказательство, что совокупности множеств удовлетворяют определению базы. Определение ограниченной и финально ограниченной функции.

Свойства пределов функции по базе.

Переход к пределу в неравенствах (для функций).

Критерий Коши существования предела функции по базе.

Эквивалентность определений сходимости по Коши и по Гейне.

Теоремы о пределе сложной функции (определение сложной функции, теоремы 1-4, примеры).

Порядок бесконечно малой функции.

Свойства функций, непрерывных в точке.

Непрерывность функций .

Замечательные пределы.

Непрерывность функции на множестве (определения функции, непрерывной на множестве, на отрезке, неубывающей, невозрастающей, строго возрастающей, строго убывающей, монотонной функции, определение точек разрыва, теорема 1 (о точках разрыва монотонной функции на отрезке)).

Непрерывность функции на множестве (теорема 2 (критерий непрерывности монотонной функции), теорема 3 (об обратной функции)).

Общие свойства функций, непрерывных на отрезке (теорема об обращении функции в нуль, теорема о промежуточном значении непрерывной функции).

Общие свойства функций, непрерывных на отрезке (теорема об ограниченности непрерывной функции, теорема о достижении непрерывной функцией точных верхней и нижней граней).

Понятие равномерной непрерывности. Теорема Гейне – Кантора.

Свойства замкнутых и открытых множеств (определения замкнутого и открытого множества, утверждения 1 и 2).

Компакт. Функции, непрерывные на компакте (определения компакта и покрытия, лемма Бореля, обобщение теоремы Гейне – Кантора, примеры, формулировка свойства функции не быть равномерно непрерывной на множестве, определение непрерывности функции в точке относительно данного множества).


2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Приращение функции. Дифференциал и производная функции. Геометрический и механический смысл производной. Связь понятий дифференцируемости и непрерывности функции. Односторонние производные.

Дифференцирование сложной функции.

Теорема о производной обратной функции, теорема об инвариантности формы первого дифференциала.

Правила дифференцирования. Производные элементарных функций.

Производные высших порядков. Формула Лейбница.

Дифференциалы высших порядков. Доказательство неинвариантности формы второго дифференциала.

Производная функции, заданной параметрически. Примеры функций, заданных параметрически. Производная функции, заданной неявно.

Возрастание и убывание функции в точке. Локальные экстремумы. Лемма Дарбу.

Теоремы Ролля, Коши и Лагранжа. Следствия.

Точки несобственного локального экстремума, теорема Ферма, теорема 4 (еще одна теорема об обращении в нуль производной), теорема 5 (о невозможности для производной иметь точки разрыва первого рода), следствие (теорема Дарбу), бесконечные производные.

Следствия из теоремы Лагранжа.

Раскрытие неопределенностей. Первое правило Лопиталя и следствия из него.

Раскрытие неопределенностей. Второе правило Лопиталя и следствия из него.

Локальная формула Тейлора.

Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (в форме Шлемильха – Роша)(случай ).

Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (в форме Шлемильха – Роша)(случай ). Частные случаи формулы Тейлора.

Применение формулы Тейлора к некоторым функциям.

Исследование функций с помощью производных. Экстремальные точки. Достаточные условия достижения функцией локального экстремума в заданной точке.

Исследование функций с помощью производных. Выпуклость. Условия выпуклости функции.

Точки перегиба. Условия перегиба. Общая схема построения графика функции.Пример.
3. Неопределенный интеграл

Точная первообразная. Интегрируемые функции.

Свойства неопределенного интеграла. Основные методы интегрирования (замена переменной интегрирования, интегрирование по частям). Таблица интегралов (с доказательствами).

Интегрирование дробно-рациональных функций (выделение правильной рациональной дроби, разложение правильной рациональной дроби на простейшие, метод неопределенных коэффициентов, интегрирование правильных рациональных дробей). Метод Остроградского. Примеры.

Интегрирование дробно-рациональных функций (интегрирование простейших рациональных дробей вида I – IV, реккурентная формула).

Интегрирование тригонометрических выражений и выражений вида .

Интегрирование иррациональных выражений.
4. Интеграл Римана

Определение интеграла Римана (неразмеченное разбиение, его свойства, диаметр разбиения, размеченное разбиение, интегральная сумма, определение интеграла Римана, определение функции интегрируемой по Риману, единственность интеграла Римана, интеграл Римана как предел по некоторой базе, ограниченность интегрируемой по Риману функции).

Критерий интегрируемости функций по Риману (определения сумм Дарбу, верхнего и нижнего интегралов, леммы 1-6, критерий и его доказательство, примеры про функции Дирихле и Римана).

Эквивалентность трех условий интегрируемости функции по Риману.

Специальный критерий интегрируемости функции по Риману. Следствие из него.

Критерий Г. Вейля.

Метод интегральных сумм. Лемма. Примеры: , ; 3) Найти предел ;

4) Вычислить интеграл

Свойства интеграла Римана как предела по базе (Основные определения, Лемма 1, Теоремы 1 и 2, замечания 1 и 2).

Свойства интеграла Римана как предела по базе (Леммы 2-4, Теорема 3, следствие из нее).

Классы функций интегрируемых по Риману (Теоремы 1-3).

Свойства определенного интеграла (Утверждения 1-6).

Свойства определенного интеграла (Утверждения 7-9, Теорема об интегрируемости сложной функции).

Аддитивность интеграла Римана (теорема, следствие из нее).

Интеграл Римана как функция от его верхнего (нижнего) предела интегрирования. Производная интеграла. (Теоремы 1 и 2).

Теорема Ньютона – Лейбница. Формула суммирования Эйлера (Теоремы 1,2 и 3).

Упрощенная формула Стирлинга. Формула суммирования Абеля.

Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле. (Теоремы 1 и 2).

Примеры на формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле (примеры 1-9, замечания 1-3).

Первая теорема о среднем значении интеграла (теорема 1, следствия 1-3).

Вторая теорема о среднем значении интеграла (теорема 2).

Вторая теорема о среднем значении интеграла (теорема 3, следствие, пример, теорема 4).

Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме (теорема, разложения основных элементарных функций по формуле Тейлора).

Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману (определение множества, имеющего лебегову меру нуль, утверждения 1 и 2, критерий Лебега (только формулировка), применения (теоремы 2 и 3 с доказательствами)).

Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману (формулировка и доказательство, лемма 1).

Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману (другая его формулировка, лемма 2 и теорема).

Определение несобственных интегралов первого и второго рода. Примеры: 1) ; 2) .

Критерий Коши и достаточные условия сходимости несобственных интегралов. (Теоремы 1 и 2).

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Признаки Абеля и Дирихле.

Несобственные интегралы второго рода (основные определения и свойства). Пример: .

Замена переменной и интегрирование по частям в несобственном интеграле.

Кривые в многомерном пространстве.

Теорема о длине дуги кривой. Следствие. Пример: вычисление длины дуги циклоиды.

Площадь плоской фигуры и объем тела. Определение меры Жордана.

Критерий измеримости множества по Жордану.

Свойства меры Жордана.

Измеримость спрямляемой кривой. (Лемма, теорема, следствие).

Связь между интегрируемостью функции по Риману и измеримостью по Жордану ее криволинейной трапеции.

Геометрические приложения определенного интеграла (Площадь криволинейной трапеции. Площадь криволинейного сектора.). Примеры.

Геометрические приложения определенного интеграла (Длина дуги кривой). Примеры.

Геометрические приложения определенного интеграла (Площадь поверхности вращения). Примеры.

Геометрические приложения определенного интеграла (Объем тела). Примеры.

Физические приложения определенного интеграла (Центр тяжести кривой. 1-ая теорема Гульдена.) Примеры.

Физические приложения определенного интеграла (Центр тяжести криволинейной трапеции. 2-ая теорема Гульдена. Работа переменной силы.) Примеры.


5. Элементы теории меры и интеграла Лебега. Интеграл Стилтьеса

Определение и свойства меры Лебега. Интеграл Лебега. Интеграл Стильтьеса.


6. Некоторые понятия общей топологии. Метрические пространства.

Основные определения. Хаусдорфовость метрического пространства в естественной топологии. Внутренние, внешние и граничные точки множества в метрическом пространстве. Лемма о последовательности стягивающихся шаров. Принцип сжимающих отображений. Непрерывные отображения метрических пространств. Понятие компакта. Компакты в и полнота пространства . Свойства непрерывных функций на компакте. Связные множества и непрерывность.


6. Дифференциальное исчисление ФНП

Определение функции двух и более переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Предел функции двух переменных. Определение непрерывности функции двух переменных. Основные свойства непрерывных функций двух переменных. Частные производные. Понятие дифференцируемости функции. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции. Производные сложных функций. Дифференциал функции. Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Касательная и нормаль к поверхности. Производные функции, заданной неявно. Частные производные высших порядков. Условие независимости значений смешанных производных от порядка дифференцирования. Дифференциалы высших порядков. Производная по направлению. Градиент. Формула Тейлора для функции многих переменных. Экстремумы функции двух переменных. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия экстремума функции двух переменных. Условный экстремум. Нахождение наибольшего и наименьшего значений в замкнутой ограниченной области. Метод наименьших квадратов.


7. Числовые и функциональные ряды
Числовые ряды (основные определения, утверждение 1 (об остаточном члене ряда)). Примеры: 1) ;

2) ; 3) ; 4) .

Числовые ряды (утверждение 2 (отбрасывание любого конечного числа членов ряда), утверждения 3, 4, утверждение 5 (необходимый признак сходимости ряда)). Примеры:

1) ; 2) .

Числовые ряды (Теорема 1 (критерий Коши), теорема 2 (критерий Коши для расходимости ряда)). Примеры: 1) ; 2) ; 3) .

Ряды с неотрицательными членами (определения, теорема 1 (ограниченность последовательности частичных сумм), признаки сравнения (теоремы 2, 3, следствие из теоремы 2)). Признак Даламбера (теоремы 4, 5). Признак Коши (теоремы 6, 7). Признак Раабе (теоремы 1, 2(с доказательствами)). Пример: . Признаки Куммера, Бертрана, Гаусса (без доказательства). Интегральный признак Коши – Маклорена (с доказательством). Пример: . Абсолютная и условная сходимость рядов. Ряды Лейбница. Признак Лейбница. Оценка остатка ряда Лейбница. Формула дискретного преобразования Абеля. Признаки Абеля и Дирихле. Пример: . Перестановки членов ряда. Арифметические операции над сходящимися рядами. Двойные и повторные ряды.

Функциональные последовательности и ряды (основные определения). Разложения различных функций по формуле Тейлора как примеры функциональных рядов. Ряд Тейлора. Равномерная сходимость (Определения, теорема 1 (о непрерывности суммы ряда в точке)). Равномерно ограниченные на множестве последовательности. Утверждения 1-4.

Критерий равномерной сходимости функциональной последовательности (критерий Коши и его отрицание). Примеры: 1) ; 2) .

Признаки равномерной сходимости (критерий равномерной сходимости для бесконечно малой функциональной последовательности, определение мажоранты, признак Вейерштрасса, признаки Абеля и Дирихле). Теорема Дини и следствие из нее.

Почленное дифференцирование и интегрирование ряда (теоремы 1,2 (с доказательством), теорема 3 (без доказательства)). Степенные ряды (основные определения, теоремы 1, 2, 5 (с доказательствами), теоремы 3, 4, 6 (без доказательства)). Бесконечные произведения.


8. Кратные интегралы

Определение и условия существования двойного интеграла. Геометрический смысл двойного интеграла. Свойства двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному (случай прямоугольной области). Сведение двойного интеграла к повторному (случай криволинейной области). Замена переменных в двойном интеграле. Геометрические приложения двойных интегралов ( вычисление площади фигуры, объема тела и площади поверхности). Физические приложения двойного интеграла (вычисление массы материальной пластинки, вычисление координат центра масс и моментов инерции пластинки). Определение и вычисление тройных интегралов. Замена переменных в тройном интеграле. Приложения тройных интегралов.


9. Криволинейные интегралы и элементы теории поля.

Определение криволинейного интеграла первого рода. Вычисление криволинейных интегралов первого рода. Определение криволинейных интегралов второго рода, сведение их к определенным интегралам. Вычисление криволинейных интегралов 2-го рода. Связь между криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Интегрирование полных дифференциалов. Некоторые приложения криволинейных интегралов 1-го и 2-ого рода. Поверхностные интегралы. Согласование ориентации поверхности и ее границы. Формула Стокса. Формула Гаусса-Остроградского. Элементы векторного анализа. Потенциальное и соленоидальное векторные поля.


10. Интегралы, зависящие от параметра

Собственные параметрические интегралы и их непрерывность. Дифференцирование и интегрирование собственных параметрических интегралов. Равномерная сходимость несобственных параметрических интегралов. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость по параметру несобственных интегралов. Несобственные интегралы второго рода. Применение теории параметрических интегралов. Интегралы Эйлера первого и второго рода. Формула Стирлинга.


11. Ряды Фурье. Преобразование и интеграл Фурье

Тригонометрический ряд и его основные свойства. Единственность разложения в ряд Фурье. Определение и сходимость ряда Фурье. Ряды Фурье для четных и нечетных функций. Ряд Фурье с периодом 2l. Комплексная форма ряда Фурье. Интегральная формула Фурье. Интеграл Фурье. Комплексная форма интегральной формулы Фурье. Преобразование Фурье и его обращение. Спектральная функция. Свойства преобразования Фурье. Свертка и преобразование Фурье. Дельта-функция.


12. Комплексные числа. Функции комплексной переменной. Дифференцирование и интегрирование ФКП. Ряды с комплексными членами.

Определение комплексных чисел. Геометрическое изображение комплексных чисел на плоскости. Операции над комплексными числами. Свойство модуля и аргумента комплексного числа. Извлечение корня n-й степени из комплексного числа. Предел последовательности комплексных чисел. Числовые ряды. Бесконечность и стереографическая проекция. Множества точек на комплексной плоскости. Функция комплексного переменного. Предел и непрерывность ФКП. Производная и дифференциал.

Необходимые и достаточные условия дифференцируемости (условия Коши – Римана). Аналитичность функции в точке и области. Действительная и мнимая части аналитической функции. Конформные отображения. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Целая линейная функция. Функция . Общая линейная функция (дробно-линейная функция). Степенная функция и радикал. Логарифмическая функция. Тригонометрические функции. Гиперболические функции. Общие показательная и степенная функции. Понятие Римановой поверхности. Понятие интеграла по комплексному переменному. Формулы для вычисления. Оновные свойства интеграла по комплексному переменному. Интегрирование равномерно сходящегося ряда. Теорема Коши (с предположением о непрерывности производной функции). Основная лемма. Теорема Коши (предполагающая существование лишь конечной производной). Распространение теоремы Коши на случай сложных контуров. Понятие неопределенного интеграла в комплексной области. Интегральная формула Коши (случай односвязной области). Интегральная формула Коши (случай многосвязной области). Интеграл типа Коши. Существование производных всех порядков для функции аналитической в области. Теорема Морера. Равномерно сходящиеся ряды аналитических функций. Первая теорема Вейерштрасса. Ряд Тейлора. Разложение аналитической функции в степенной ряд. Понятие голоморфной функции и его эквивалентность с понятием аналитической функции. Теорема единственности аналитических функций. Нули аналитической функции. Неравества Коши для коэффициентов степенного ряда. Теорема Лиувилля. Вторая теорема Вейерштрасса. Разложение аналитической функции в ряд Лорана. Едиственность разложения Лорана. Классификация изолированных особых точек. Теорема Сохоцкого. Поведение аналитической функции на бесконечности. Вычет функции относительно изолированной особой точки. Основная теорема о вычетах. Вычисление вычета относительно полюса. Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки. Приложение теории вычетов к вычислению определенных интегралов.


10. Темы для самостоятельного изучения
№ п/пНаименование раздела

дисциплиныФорма самостоятельной

работыКол-во часовФорма контроля выполнения самостоятельной работы1Введение в анализ

Свойство полноты множества вещественных чисел (формулировка и доказательство). Мощность множества. Определение счетного множества. Счетность множества рациональных чисел.

Мощность множества. Теорема о совокупности всех подмножеств любого множества. Замечание о множестве подмножеств конечного множества. Определение несчетного множества и множества мощности континуум. Утверждение о мощности множества точек отрезка . Канторов диагональный процесс. Определение бесконечного множества. Мощность множества вещественных чисел.- вопросы для самостоятельного изучения,

- домашние работы

- контрольная работа

- вопросы к коллоквиуму30- проверка домашних работ,

- проверка контрольной работы,

- коллоквиум

- доп. вопросы на экзамене2Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Раскрытие неопределенностей. Второе правило Лопиталя и следствия из него.

Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (в форме Шлемильха – Роша)(случай ).

Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (в форме Шлемильха – Роша)(случай ). Частные случаи формулы Тейлора.

Применение формулы Тейлора к некоторым функциям.

- вопросы для самостоятельного изучения,

- домашние работы

- контрольная работа

- вопросы к коллоквиуму30- проверка домашних работ,

- проверка контрольной работы,

- коллоквиум

- доп. вопросы на экзамене3Неопределенный интеграл

Метод Остроградского. Интегрирование иррациональных выражений.- вопросы для самостоятельного изучения,

- домашние работы

- контрольная работа

- вопросы к коллоквиуму10- проверка домашних работ,

- проверка контрольной работы,

- коллоквиум

- доп. вопросы на экзамене4Интеграл Римана

Формула суммирования Эйлера. Упрощенная формула Стирлинга. Формула суммирования Абеля. Вторая теорема о среднем значении интеграла (теорема 2).Вторая теорема о среднем значении интеграла. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме (теорема, разложения основных элементарных функций по формуле Тейлора). Замена переменной и интегрирование по частям в несобственном интеграле. Кривые в многомерном пространстве.

Геометрические приложения определенного интеграла (Площадь криволинейной трапеции. Площадь криволинейного сектора, Длина дуги кривой, Площадь поверхности вращения, Объем тела). Примеры.

Физические приложения определенного интеграла (Центр тяжести кривой. 1-ая теорема Гульдена, Центр тяжести криволинейной трапеции. 2-ая теорема Гульдена. Работа переменной силы.) Примеры. - вопросы для самостоятельного изучения,

- домашние работы

- контрольная работа

- вопросы к коллоквиуму14- проверка домашних работ,

- проверка контрольной работы,

- коллоквиум

- доп. вопросы на экзамене5Некоторые понятия общей топологии. Метри-ческие пространства. Дифференциальное исчи-сление ФНП.

Непрерывные отображения метрических пространств. Понятие компакта. Компакты в и полнота пространства . Свойства непрерывных функций на компакте. Связные множества и непрерывность. Основные свойства непрерывных функций двух переменных. Условие независимости значений смешанных производных от порядка дифференцирования.

Формула Тейлора для функции многих переменных.

Метод наименьших квадратов.- вопросы для самостоятельного изучения,

- домашние работы

- контрольная работа

- вопросы к коллоквиуму12- проверка домашних работ,

- проверка контрольной работы,

- коллоквиум

- доп. вопросы на экзамене6Элементы теории меры и интеграла Лебега. Интеграл Стилтьеса.

Интеграл Лебега. Интеграл Стильтьеса.- вопросы для самостоятельного изучения,

- вопросы к коллоквиуму12- коллоквиум

- доп. вопросы на экзамене7.Числовые и функциональные ряды

Признак Рабе. Пример: .

Признаки Куммера, Бертрана, Гаусса.

Формула дискретного преобразования Абеля. Признаки Абеля и Дирихле. Пример: . Перестановки членов ряда.

Арифметические операции над сходящимися рядами. Двойные и повторные ряды.

Бесконечные произведения.

- вопросы для самостоятельного изучения,

- домашние работы

- контрольная работа

- вопросы к коллоквиуму12- проверка домашних работ,

- проверка контрольной работы,

- коллоквиум

- доп. вопросы на экзамене8.Кратные интегралы

Геометрические приложения двойных интегралов (вычи-сление площади фигуры, объ-ема тела и площади поверхно-сти). Физические приложения двойного интеграла (вычисле-ние массы материальной плас-тинки, вычисление координат центра масс и моментов ине-рции пластинки). Приложения тройных интегралов. - вопросы для самостоятельного изучения,

- домашние работы

- контрольная работа

- вопросы к коллоквиуму20- проверка домашних работ,

- проверка контрольной работы,

- коллоквиум

- доп. вопросы на экзамене9.Криволинейные интегралы и элементы теории поля

Интегрирование полных дифференциалов. Примеры.

Некоторые приложения криволинейных интегралов 1-го и 2-ого рода. Примеры.

- вопросы для самостоятельного изучения,

- домашние работы

- контрольная работа

- вопросы к коллоквиуму20- проверка домашних работ,

- проверка контрольной работы,

- коллоквиум

- доп. вопросы на экзамене10Интегралы, зависящие от параметра.

Равномерная сходимость несобственных парамет-рических интегралов. Несобственные интегралы второго рода. Применение теории параметрических интегралов. Формула Стирлинга.- вопросы для самостоятельного изучения,

- домашние работы

- контрольная работа

- вопросы к коллоквиуму20- проверка домашних работ,

- проверка контрольной работы,

- коллоквиум

- доп. вопросы на экзамене11Ряды Фурье. Преобразо-вание и интеграл Фурье.

Интегральная формула Фурье. Интеграл Фурье.

Комплексная форма интегральной формулы Фурье. Преобразование Фурье и его обращение. Спектральная функция.

Свойства преобразования Фурье. Свертка и преобразование Фурье.

Дельта-функция.- вопросы для самостоятельного изучения,

- домашние работы

- контрольная работа

- вопросы к коллоквиуму20- проверка домашних работ,

- проверка контрольной работы,

- коллоквиум

- доп. вопросы на экзамене12Комплексные числа. Функции комплексной переменной. Дифференци-рование и интегрирова-ние ФКП. Ряды с компле-ксными членами.

Целая линейная функция. Функция . Общая линейная функция (дробно-линейная функция). Степенная функция и радикал. Логарифмическая функция. Тригонометрии-ческие функции. Гипер-болические функции. Общие показательная и степенная функции. Понятие Римановой поверхности. Основная лемма. Теорема Коши (предполагающая существование лишь конечной производной). Распространение теоремы Коши на случай сложных контуров. Интегральная формула Коши (случай многосвязной области). Теорема единственности аналитических функций. Неравества Коши для коэф-фициентов степенного ряда. Теорема Лиувилля. Вторая теорема Вейерш-трасса. Теорема Сохоцко-го. Приложение теории вычетов к вычислению определенных интегралов. - вопросы для самостоятельного изучения,

- домашние работы

- контрольная работа

- вопросы к коллоквиуму36- проверка домашних работ,

- проверка контрольной работы,

- коллоквиум

- доп. вопросы на экзамене




  • 11. Образовательные технологии

  • На занятиях предполагается использование элементов следующих образовательных технологий:

  • Личностно-ориентированная технология обучения

  • Технология уровневой дифференциации

  • Проблемное обучение

  • Исследовательские методы в обучении

  • Тестовые технологии

  • Зачетная система

  • Групповая технология

  • Технология модульного обучения

  • Информационно-коммуникационные технологии

  • Здоровьесберегающие технологии



Интерактивные формы занятий:
№ раздела (темы)Формы1.дискуссия, «мозговой штурм», работа в группах2.дискуссия, «мозговой штурм», работа в группах3.дискуссия, «мозговой штурм», работа в группах4.дискуссия, «мозговой штурм», работа в группах6.дискуссия, «мозговой штурм», работа в группах7.дискуссия, «мозговой штурм», работа в группах8.дискуссия, «мозговой штурм», работа в группах9.дискуссия, «мозговой штурм», работа в группах10.дискуссия, «мозговой штурм», работа в группах11.дискуссия, «мозговой штурм», работа в группах12.дискуссия, «мозговой штурм», работа в группах
12. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины

Практическое занятие № 1



Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3   4   5


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница