План урока Определение параллельного проектирования. Параллельная проекция прямой на плоскость



Скачать 201,92 Kb.
Дата20.12.2017
Размер201,92 Kb.
Урок 5. Параллельное проектирование
План урока


  • Определение параллельного проектирования.

  • Параллельная проекция прямой на плоскость.

  • Параллельная проекция отрезка на плоскость.

  • Параллельная проекция параллельных прямых.

  • Проверь себя. Параллельное проектирование.

  • Домашнее задание.

Цели урока


При решении задач по стереометрии приходится изображать пространственную фигуру на плоском чертеже. На самом деле при этом изображается параллельная проекция фигуры на плоскость. В этом уроке дается определение параллельной проекции на плоскость и доказываются основные свойства параллельного проектирования.
Определение параллельного проектирования
Пусть даны плоскость α и не параллельная ей прямая l.
Определение 1. Проекцией точки M на плоскость α параллельно прямой l называется точка M1 пересечения с плоскостью α прямой a, проходящей через точку M и параллельной прямой l (рис. 1).
Прямую l обычно называют направлением параллельного проектирования.
Определение 2. Проекцией фигуры F на плоскость α параллельно прямой l называется плоская фигура F1, состоящая из проекций всех точек фигуры F.
Когда из текста ясно, параллельно какой прямой рассматривается проекция, то для краткости говорят о параллельной проекции фигуры.

При изображении параллельных проекций пирамид, параллелепипедов, призм и других многогранников особо изображают параллельные проекции ребер. «Невидимые» ребра иногда изображают пунктирной линией.


Вопрос. Какой вид может иметь параллельная проекция тетраэдра?

(Подсказка. Вершины многоугольника проекции могут быть только проекциями вершин тетраэдра.)


Параллельная проекция прямой на плоскость.
Если прямая параллельна направлению проектирования, то по определению проекция любой ее точки есть пересечение данной прямой с плоскостью проектирования, то есть проекцией такой прямой будет одна единственная точка. Для прямых не параллельных направлению проектирования справедливо следующее свойство, которое считается одним из основных свойств параллельного проектирования,
Свойство 1. При параллельном проектировании на плоскость прямая, не параллельная направлению проектирования, проектируется в прямую.
Доказательство. Пусть l — направление параллельного проектирования. Возьмем прямую a, не параллельную l. Проведем через каждую точку прямой a прямую, параллельную l. В результате получим плоскость β (ссылка на теорему из урока 2), параллельную прямой l. Так как прямые, параллельные l, пересекают плоскость α, то плоскости α и β пересекаются. Обозначим прямую пересечения плоскостей α и β через b (рис. 2). Покажем, что параллельной проекцией прямой a будет прямая b.

Действительно, если возьмем на прямой a произвольную точку M и проведем через M прямую m параллельно l, то прямая m проходит в плоскости β. А так как прямая m пересекает плоскость α, то m пересекает прямую b в точке M1 (рис. 3). Следовательно, каждая точка прямой a проектируется в некоторую точку прямой b.

С другой стороны, возьмем на прямой b произвольную точку N1 и проведем через нее прямую n параллельно l. Так как lβ, то прямая n лежит в плоскости β и не параллельна прямой a. Поэтому прямая n пересекает прямую a в точке N (рис. 4). Значит, точка N проектируется в точку N1. Следовательно, в каждую точку прямой b проектируется некоторая точка прямой a.

Таким образом, проектируя точки прямой a мы получаем точки прямой b, причем, все точки прямой b.


Вопрос. В каком случае параллельные проекции двух различных прямых

совпадают?

(Ответ: если прямые лежат в одной плоскости и эта плоскость параллельна направлению проектирования)
Параллельная проекция отрезка на плоскость.
Рассмотрим еще одно свойство параллельного проектирования. Пусть точки A, B, C расположены на одной прямой, не параллельной направлению проектирования. Из предыдущего пункта следует, что эти точки проектируются соответственно в точки A1, B1, C1, расположенные на одной прямой. Докажем, что при этом выполняется равенство A1B1 : B1C1 = AB : BC.

Доказательство. Рассмотрим плоскость, содержащую точки A, A1, B, B1, C, C1 (рис. 5). По определению параллельного проектирования прямые AA1, BB1, CC1 параллельны. Поэтому, по теореме Фалеса, получаем равенство отношений соответствующих отрезков A1B1 : B1C1 = AB : BC.

Установленное свойство можно кратко сформулировать так:


Свойство 2. При параллельном проектировании сохраняется отношение отрезков одной прямой.
Вопрос. В какую точку проектируется середина данного отрезка?
Из доказанного свойства сразу получается следствие.
Свойство 3. Пусть точки A и B проектируются в точки A1 и B1. Тогда каждая точка отрезка AB проектируется в точку отрезка A1B1.
Доказательство. Возьмем произвольную точку X отрезка AB. Тогда AX XB AB. Обозначим проекцию точки X через X1. По свойству 2 имеем A1X1 : AX = X1B1 : XB = A1B1 : AB. Обозначив каждое из этих отношений через k, получим A1X1 = kAX, X1B1 = kXB, A1B1 = kAB. Поэтому A1X1 + X1B1 = kAX+kXB = k∙(AX + XB) = kAB = A1B1.
Параллельная проекция параллельных прямых
Рассмотрим следующее свойство параллельного проектирования.
Свойство 4. Параллельные проекции двух параллельных прямых a и b параллельны, если прямые a и b не параллельны направлению проектирования.

Доказательство. Пусть прямые a и b проектируются на плоскость α параллельно прямой l. Через произвольную точку M прямой a проведем прямую ml и через произвольную точку N прямой b проведем прямую nl. Рассмотрим плоскость β, проходящую через прямые a и m, и плоскость γ, проходящую через прямые b и m. Тогда по признаку 2 из урока 2 (ссылка на урок 2) плоскости β и γ параллельны (рис. 6). Проекциями прямых a и b на плоскость α являются соответственно прямая p пересечения α и β и прямая q пересечения α и γ. Так как βγ, то pq, что и требовалось доказать.
Вопрос. Какой вид может иметь параллельная проекция квадрата на плоскость?

(Подсказка. По свойству 4 проекции противоположных сторон квадрата параллельны. Параллелограмм, когда плоскость квадрата параллельна направлению проектирования, или отрезок, в противном случае)


Заметим, что обратное утверждение неверно. Если проекции двух a и b прямых параллельны, то отсюда не следует, что они сами параллельны. Достаточно, чтобы были параллельны плоскости, проходящие через прямые a и b параллельно направлению проектирования.
Свойство 2 можно обобщить на параллельные прямые.
Свойство 5. Пусть при параллельном проектировании параллельные отрезки AB и CD проектируются в отрезки A1B1 и C1D1. Тогда A1B1 : C1D1 = AB : CD.

Доказательство. Если все точки лежат на одной прямой, то утверждение справедливо по свойству 2. Пусть A, B и C не лежат на одной прямой, тогда в плоскости ABCD построим параллелограмм ABCM. Обозначим через M1 проекцию точки M. По свойству 2 C1M1 : C1D1 = CM : CD. Осталось показать, что C1M1 = A1B1. Возможны два случая.

I. Плоскость ABCD не параллельна направлению проектирования. Тогда по свойству 4 A1B1║C1M1 и A1C1║B1M1 и по свойству параллелограмма C1M1 = A1B1.



II. Плоскость ABCD параллельна направлению проектирования. Обозначим через O точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCM, а через O1 ее проекцию. По свойству 2 O1 — середина отрезков A1C1 и B1M1, а, следовательно, C1M1 = A1B1.
Это важно
При параллельном проектировании не сохраняются углы между пересекающимися прямыми и отношение между отрезками, не лежащими на параллельных прямых. Иначе говоря, если точки A, B, C не лежат на одной прямой то в большинстве случаев для их проекций A1, B1, C1, имеем и .
Проверь себя. Параллельное проектирование
Задание 1.

Выбрать из предложенных вариантов ответов правильные. Правильных ответов может быть несколько. В этом случае надо выбрать все правильные.


Параллельной проекцией луча может быть:

  1. точка.

  2. отрезок.

  3. луч.

  4. прямая.

Ответы: 1; 3.
Параллельной проекцией двух параллельных прямых может быть:

  1. две точки.

  2. прямая и не лежащая на ней точка.

  3. параллельные прямые.

  4. пересекающиеся прямые.

Ответы: 1; 3.
Параллельной проекцией двух пересекающихся прямых может быть:

  1. две параллельные прямые.

  2. две пересекающиеся прямые.

  3. две скрещивающиеся прямые.

  4. одна прямая.

Ответ: 2; 4.
Параллельной проекцией двух скрещивающихся прямых может быть:

  1. две точки.

  2. прямая и не лежащая на ней точка.

  3. параллельные прямые.

  4. пересекающиеся прямые.

Ответы: 2; 3; 4.
Параллельной проекцией параллелограмма может быть:

  1. треугольник.

  2. четырехугольник.

  3. пятиугольник.

  4. шестиугольник.

Ответы: 2; 4.
Задание 2.

Выбрать правильные ответы.


В треугольнике ABC даны: M — точка пересечения медиан, L — точка пересечения биссектрис, H — точка пересечения высот и O — центр вписанной окружности. Точки A1, B1, C1, M1, L1, H1 и O1 являются проекциями точек A, B, C, M, L, H и O на плоскость α. Справедливо следующее утверждение.

  1. M1 — точка пересечения медиан треугольника A1B1C1.

  2. L1 — точка пересечения биссектрис A1B1C1.

  3. H1 — точка пересечения высот A1B1C1.

  4. O1 — центр вписанной окружности A1B1C1.

Ответ: 1.
Четырехугольник A1B1C1D1 является проекцией трапеции ABCD с основаниями AB и CD на плоскость α. В каком отношении диагональ A1C1 делит диагональ B1D1, если AB = 2 и CD = 1.

  1. 1:1.

  2. 2:1.

  3. 3:1.

  4. 3:2.

Ответ: 2.
Куб ABCDA1B1C1D1 проектируется на плоскость, проходящую через точки ACB1 параллельно диагонали BD1. M — середина стороны C1D1. Справедливо следующее утверждение.

  1. Проекции прямых AB и CD пересекаются.

  2. Проекции прямых BD1 и AC1 пересекаются.

  3. Проекции прямых A1M и AC пересекаются.

  4. Проекции прямых DA1 и B1M пересекаются.

Ответ: 3.
Домашняя работа


  1. Пусть отрезок AB при параллельном проектировании на плоскость α проектируется в отрезок A1B1.
    а) Докажите, что если прямая AB параллельна плоскости, то |AB| = |A1B1|.
    б) Докажите, что если прямая AB не параллельна плоскости α, то прямые AB и A1B1 пересекаются в точке C.
    в) Приведите примеры, когда |A1B1| < |AB|, и когда |A1B1| > |AB|.

  2. Рассмотрим треугольник ABC. Известно, что при параллельном проектировании треугольник ABC переходит в равный ему треугольник A1B1C1. Приведите пример, когда плоскости этих треугольников быть не параллельными.

  3. Пусть при параллельном проектировании треугольник ABC переходит в треугольник A1B1C1 так, что |AB| = |A1B1|, |AC| = |A1C1|. Приведите пример, когда треугольники ABC и A1B1C1 не равны.

  4. Треугольник ABC параллельно проектируется на плоскость α в треугольник A1B1C1. В каком случае ABCA1B1C1 — призма?

  5. В каких случаях при параллельном проектировании проекции скрещивающихся прямых будут параллельны?

  6. Дан произвольный треугольник. Как при помощи параллельного проектирования получить из него равносторонний треугольник?

Рисунки (названия файлов)


Рисунок 1 — 4-5-1-1.cdr

Рисунок 2 — 4-5-2-2.cdr

Рисунок 3 — 4-5-2-3.cdr

Рисунок 4 — 4-5-2-4.cdr



Рисунок 5 — 4-5-3-5.cdr

Рисунок 6 — 4-5-5-6.cdr

Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница