Преобразование Лапласа



Скачать 267,83 Kb.
страница1/3
Дата30.10.2016
Размер267,83 Kb.
  1   2   3
§1. Преобразование Лапласа.

Пусть функция действительного переменного t, непрерывная на , за исключением, быть может, конечного числа изолированных точек. Для обеспечения существования некоторых интегралов на бесконечном интервале потребуем для функции выполнения дополнительных ограничений, связанных с её ростом, а именно будем предполагать, что существуют положительные числа M и S0 такие, что



(1)

для любого .

На основании выше сказанного, введем понятие функции-оригинала в операционном исчислении.

Определение. Если функция обладает следующими свойствами:


  1. при ;

  2. при , где и S0 – показатель роста – действительное число; (2)

  3. Если на любом конечном отрезке положительной полуоси 0t функция f(t) удовлетворяет условиям Дирихле (ограничена и либо непрерывна, либо имеет конечное число точек разрыва первого рода), то её называют оригиналом или начальной функцией.

Рассмотрим функцию , где – некоторое комплексное число, причем . При сформулированных условиях
сходится и является аналитической функцией комплексного переменного в полуплоскости , где – показатель роста функции оригинала :


Интеграл в формуле (3) называется интегралом Лапласа, а определяемая им функция называется преобразованием Лапласа от функции , или изображением оригинала .

Тот факт, что функция является изображением оригинала , обозначают следующими символами:

или или или .

Заметим, что если точка разрыва первого рода, то за значение оригинала в этой точке принимается



. (4)

При соблюдении этого условия между оригиналами и изображениями устанавливается взаимно однозначное соответствие (т.е. всякому оригиналу соответствует единственное изображение и обратно).



§2. Простейшие свойства преобразования Лапласа.

  1. Свойство линейности изображений.

Изображение суммы функций, умноженных на постоянные, равно сумме изображений этих функций, умноженных на те же постоянные, т.е. если

и , то

, где постоянные. (1)

  1. Теорема подобия.

Для любого постоянного



  1. Дифференцирование оригинала.

Если являются функциями-оригиналами, то



(3)



.

Величины , понимаются как



  1. Дифференцирование изображения.


В частности, . (5)

  1. Интегрирование оригинала.

Если функция непрерывна на и , то


  1. Интегрирование изображение.





  1. Теорема смещения.

Если является изображением , то является изображением функции , т.е. , (8)

где .



  1. Теорема запаздывания.

Если , то , . (9)

Заметим, что при .



§3.Построение изображений основных элементарных функций.

  1. Найти изображение единичной функции Хевисайда.

.



  1. Найти изображения и .

Решение.





  1. Найти изображения и .






  1. Найти изображения , , , , .

Решение. Представим в виде и применим теорему


Так как , то по свойству линейности



Применяя теорему смещения к изображению , получим







  1. Найти изображения , , , .

Для нахождения изображения степенной функции воспользуемся

Тогда по правилу дифференцирования изображения







Изображение получим путем дифференцирования изображения



Для нахождения изображения применим теорему смещения к оригиналу .



Таблица 1.



Таблица изображений основных элементарных функций.













1





7





2





8





3





9





4





10





5





11





6





12





§4. Примеры на нахождение изображений по заданным оригиналам.

При вычислении изображений используются как свойства, указанные в §2, так и таблица изображений основных элементарных функций(§3).



Пример 1. Найти изображение функции .

Решение. Так как , то применив формулу 3 из таблицы 1,


Пример 2. Найти изображение функции .

Решение. Так как




Пример 3. Найти изображение функции .

Решение. Так как

Применим формулу 10 из таблицы 1:





Пример 4. Найти изображение функции

Решение. Так как
то, применив формулу 4 из таблицы 1 при n=1, получим



Пример 5. Найти изображение интегрального синуса


Решение. Используя теорему об интегрировании изображения найдем


Тогда по теореме об интегрировании оригинала получим





Пример 6. Используя теорему запаздывания найти изображение оригинала , если

- единичный импульс, действующий в течении промежутка времени от до .



Решение. Запишем , используя функцию Хевисайда, в виде

.

Так как при и при , то значение совпадают со значениями заданного оригинала. Изображение будет состоять из двух слагаемых, а именно





Пример 7. Найти изображение функции

,

Решение. Запишем функцию используя функцию Хевисайда:

.

Для каждого слагаемого найдем изображение.



Проведем группировку слагаемых и запишем в виде





Пример 8. По графику оригинала найти изображение .

f:\р1.bmp

Рис.1.


Решение. Запишем функцию используя рисунок 1.

,

С помощью функции Хевисайда можно записать в виде



.

Найдем изображение каждого слагаемого:





Пример 9. Найти изображение



Решение. По теореме интегрирования изображения найдем изображение

Тогда



Пример 10. Найти изображение



Решение. Найдем изображение функции

Тогда по теореме интегрирования оригинала найдем изображение





Пример 11. Найти изображение периодической функции , заданной графически с периодом (рис.2).

d:\образы системы\прошлая винда\program files (x86)27.11.2013\splan 6.0\новая папка\пример 11.bmp

Рис.2.


Решение. Изображение периодической функции находится по формуле

На интервале [0,4] функция задается следующим образом







Тогда




Задачи для самостоятельного решения.

Найти изображения функций.










































По данному графику оригинала найти изображение .

15. 16.


f:\р2.bmp

Рис.3.


Рис.4.f:\р3.bmp

§5.Отыскание оригинала по изображению.

При решении обратной задачи, а именно по заданному изображению найти начальную функцию , используют таблицу изображений основных элементарных функций и теоремы разложения (первая и вторая).



Первая теорема разложения.

Если изображение может быть представлено в виде сходящегося


то функция оригинал находится по формуле


причем ряд (2) сходится при всех значениях .



Вторая теорема разложения позволяет найти оригинал для изображения, являющегося дробно-рациональной функцией от . Эта теорема определяет необходимое и достаточное условие рациональности функции .

Теорема. Для того, чтобы изображение было рациональной функцией, необходимо и достаточно, чтобы оригинал представлял линейную комбинацию функций вида , где , – комплексное число.

Рассмотрим методику нахождения начальной функции, изображение которой является правильной рациональной (алгебраической) дробью от , а именно


где и – многочлены по степени , причем .

Как известно, всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простых дробей четырех видов:





т.к. его дискриминант отрицательный.

Для дробей I и II видов начальные функции непосредственно находятся из таблицы 1, а именно



Дробь III вида требует предварительных преобразований, связанных с выделением полного квадрата в знаменателе, после чего также используется таблица 1 для нахождения оригинала.

Преобразование дробей IV вида сопряжено с большими вычислениями.

Процесс разложения правильной рациональной дроби на простые (элементарные) проводится по известной схеме интегрирования алгебраических дробей.

Рассмотрим следующие примеры на отыскание оригинала по изображению.

Пример 1. Пользуясь таблицей изображений и теоремой запаздывания, найти оригиналы для изображений:





Решение. 1) Рассмотрим изображение


По таблице 1 этому изображению соответствует оригинал . Тогда по теореме запаздывания изображению соответствует оригинал , ,

или .

2) Представим в виде , где

Очевидно, что , а . Тогда



, или .

3) Для каждого из трех слагаемых найдем оригинал, пользуясь

таблицей 1.


Запишем сумму оригиналов используя функцию Хевисайда , а



.

Функция Хевисайда определяет тот момент, начиная с которого появляется соответствующее слагаемое в записи оригинала. Полученный оригинал можно записать так:



.

Пример 2. Пользуясь первой теоремой разложения, найти оригиналы для заданных функций:



Решение. 1) Разложение в окрестности точки в ряд по






Тогда по первой теореме разложения оригиналом для является функция





  1. Разложение в окрестности точки в ряд по степеням




Тогда по первой теореме разложения оригинал имеет вид:



Пример 3. Найти оригиналы для заданных функций , пользуясь второй теоремой разложения.








знаменатель которой раскладывается на множители

. Следовательно, дробь раскладывается на сумму простых дробей I вида, а именно

где A и B – неопределенные коэффициенты. Их можно вычислить путем приведения дробей правой части к общему знаменателю

Отсюда следует тождественное равенство числителей, а именно



.

Подставив , получим , а подставив , получим .

Следовательно,



Выделим в знаменателе полный квадрат, а именно



и представим дробь в виде суммы двух дробей, оригиналы которых известны:

По таблице 1 имеем










Приводя правую часть равенства к общему знаменателю, получим



.

Подставив , получим , а подставив , получим .

Чтобы найти B, достаточно подставить любое значение и

Подставив в это равенство и , получим . Следовательно,



4) Разложим на множители



Тогда


Действуя по аналогии с 1) и 3), имеем равенство



.

Подставив последовательно , и , получим , ,



.

Пример 4. Найти оригинал изображения


Решение. Хотя изображение представляет рациональную дробь, но разложение ее на простые дроби достаточно трудоемко. В данном случае для получения оригинала используем первую теорему разложения, а именно



этот ряд сходится, если .





Задачи для самостоятельного решения

Найти оригиналы для заданных изображений





































Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница