Преобразования фурье в классических базисах



страница1/259
Дата14.06.2018
Размер12,7 Mb.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   259
ГЛАВА 4
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ В КЛАССИЧЕСКИХ БАЗИСАХ
4.1. Системы дельта-функций, единичных функций

и функций Котельникова

Спектры, связанные с различными базисными системами функций, обладают рядом общих свойств, обусловленных свойствами используемого функционального пространства. К таким свойствам относятся, например, линейчатость спектра, его сходимость к нулю, связь спектра с распределением энергии или мощности сигнала. Кроме них спектру могут быть присущи индивидуальные свойства, отражающие специфические особенности конкретных базисных систем. К их числу можно отнести наличие нулевых составляющих в спектре, формульное описание спектров конкретных сигналов, возможность построения быстрых вычислительных процедур для анализа спектра и т.п. Такие локальные свойства могут иметь весьма важное значение для обработки сигналов, поскольку благодаря им удается находить новые методы решения традиционных задач обработки, а так же ставить и решать новые задачи обработки сигналов. Кроме того, локальные свойства спектров могут влиять на реализационные характеристики спектральных алгоритмов обработки, связанные с их точностью и вычислительной сложностью.

Учитывая то, что систем базисных функций может быть бесчисленное количество, становится ясным, что выбор базиса при спектральном представлении сигналов является серьезной математической и прикладной задачей. Общей единой методики синтеза базисных систем не существует. Ряд из них явились результатом решения математических и физических задач, не связанных со спектральной обработкой. Примером могут служить системы тригонометрических и полиномиальных функций, являющихся решением соответствующих дифференциальных уравнений [59]. Однако существуют и другие способы построения базисов. Учитывая сказанное, имеет смысл рассмотреть наиболее распространенные системы базисных функций. В этой главе остановимся на системах, применение которых давно стало классикой спектральной обработки.



Начнем с систем, которые можно построить на основе дельта-функций. Две дельта-функции δ(t-τ1) и δ(t-τ2), сдвинутые на различное расстояние по оси времени, являются ортогональными. Система таких функций {δ(t-τ)}, сдвинутых относительно друг друга на бесконечно малые интервалы времени, будет полной ортонормированной базисной системой, пригодной для разложения сигналов произвольной формы на любом интервале их определения. При этом, в силу непрерывности переменных t и τ, преобразования Фурье по таким функциям будут носить интегральный характер и, например, для конечного интервала [tmin, tmax) принимают следующий вид:



(4.1)

Здесь X(τ) является спектральной плотностью сигнала в базисе дельта-функций.



Если учесть избирательное свойство дельта-функций и единичное значение их площади (см. §2.2), то из последнего выражения можно получить, что

(4.2)

т.е. в этом базисе спектральная плотность сигнала совпадает с самим сигналом. Отсюда следует, что представление сигнала во временной области является частным случаем более общего представления в спектральной области. Следовательно, результаты решения задач обработки спектральными методами в произвольном базисе будут носить обобщенный характер. Из них, используя конкретные базисные системы, можно получать различные частные решения, в том числе и во временной области.

Если учесть равенство (4.2) в обратном преобразовании Фурье (4.1), то получим, что

т.е. обратное интегральное преобразование Фурье в базисе сдвинутых дельта-функций совпадает с динамическим описанием сигнала на основе дельта-функций (см. §2.2). Это говорит о математическом единообразии отдельных форм аналитического описания сигналов.



Можно построить еще одну базисную систему, обладающую теми же свойствами, что и система, использующая дельта-функции. Введем непрерывную единичную функцию представляющую собой импульс бесконечно малой длительности с единичными амплитудой, площадью и мощностью

(4.3)

(4.4)

(4.5)

Система из бесконечного числа таких функций , сдвинутых на бесконечно малое время относительно друг друга, будет ортонормированной и полной. Интегральные преобразования Фурье по этим функциям будут аналогичны интегральным преобразованиям Фурье в базисе дельта-функций:



,

.

Используя введенное определение функции (4.3), а также нормированность ее площади к единице (4.4), из последнего выражения не трудно получить равенство (4.2), подтверждающее совпадение временного и спектрального способов описания сигналов и в этом базисе.


Каталог: ~Susev V -> fileman -> download -> Книга.%20Цифровая%20обработка%20сигналов:%20методы%20и%20алгоритмы
download -> В. В. Сюзев Основы спектрального анализа в базисе Хартли
download -> Скалярный метод синтеза быстрых
download -> В. В. Сюзев Основы спектрального анализа в базисе Хартли
download -> В. В. Сюзев, Д. Ю. Карамнов
download -> Цифровая обработка сигналов: методы и алгоритмы
download -> Методы представления и преобразвания сигналов в базисе обобщенных функций крестенсона
Книга.%20Цифровая%20обработка%20сигналов:%20методы%20и%20алгоритмы -> В. В. Сюзев цифровая обработка сигналов
Книга.%20Цифровая%20обработка%20сигналов:%20методы%20и%20алгоритмы -> Преобразования фурье в классических базисах


Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   259


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2019
обратиться к администрации

войти | регистрация
    Главная страница


загрузить материал