Ш. абикенова, Н. Темиргалиев об оптимальной абсолютно линейной дискретизации решений волнового уравнения с начальными условиями из классов со



страница1/4
Дата28.10.2016
Размер0,53 Mb.
  1   2   3   4


МАТЕМАТИКА



Ш.АБИКЕНОВА, Н.ТЕМИРГАЛИЕВ

ОБ ОПТИМАЛЬНОЙ АБСОЛЮТНО ЛИНЕЙНОЙ - ДИСКРЕТИЗАЦИИ РЕШЕНИЙ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ИЗ КЛАССОВ СОБОЛЕВА

(Институт теоретической математики и научных вычислений ЕНУ им. Л.Н.Гумилева, г. Астана)
В данной работе найдены точные порядковые оценки погрешности приближения решений волнового уравнения посредством вычислительных агрегатов, построенных по числовой информации, полученной от всех линейных функционалов, суммарное количество которых задано, примененных к двум начальным условиям из классов Соболева.

В данной работе изучается задача Коши для волнового уравнения



, (1)

, . (2)

Напомним определение функциональных классов, которые в данной работе берутся в качестве и . Для , целого неотрицательного числа и класс Cоболева есть множество всех 1-периодических по каждой переменной функций , которые в случае вместе со своими частными производными до порядка включительно принадлежат и для которых выполнено неравенство



,

а в случае полагаем .

Под классом будем понимать множество всех функций таких, что для каждого как функция аргумента является измеримой периодической с периодом 1 по каждой из своих s переменных и удовлетворяет неравенству

.
Данная статья заключается в получении оценок сверху и оценок снизу (желательно совпадающих с точностью до констант) для величины


(3)

и в указании вычислительного агрегата, реализующего оценку сверху.

Здесь, решение задачи (1)-(2).

Всюду ниже, как правило, через (с индексами и без) будем обозначать количество информации, или, более обще, элементов множества.

Также, без каких-либо оговорок принимается, что на классы, операторы и функции наложены такие условия, что все определения имеют смысл.

Далее, есть вычислительный агрегат, построенный по числовой информации



объема , полученной об и посредством функционалов и соответственно, и переработанной по алгоритму до функции, зависящей от той же переменной, что и .

И, наконец, - заданный набор вычислительных агрегатов из множества всевозможных пар , т.е. , а .

Существенным в этой постановке является то обстоятельство, что при заданном общем объеме информации требуется распределить объемы числовой информации, получаемой от таким образом, чтобы суммарная погрешность была возможно малой - неулучшаемой или близкой к неулучшаемой.

Продолжая обозначение (3) в записи под А будем понимать уравнение, а В будет означать начальные или граничные условия.

Различные конкретизации в (3) пространств Y, классов F, операторов , вычислительных агрегатов приводит к разным постановкам задач, многие из которых были предметом исследований в тех или иных разделах математики (см., напр., [1]-[10] и имеющуюся в них библиографию).

Пусть - заданное множество наборов из функционалов. Тогда при , то есть в случае приближения вычислительными агрегатами с из и произвольным , величину , зависящую только от , согласно [1], назовем информативной мощностью семейства функционалов . Соответственно через обозначим множество из функционалов, являющихся значениями функции в точках, через множество из функционалов – коэффициентов Фурье-Лебега и пусть есть множество из линейных функционалов, определенных на линейной оболочке класса .

Восстановление (в том числе дискретизацию) по всем вычислительным агрегатам, построенным по всем возможным линейным функционалам, т.е. случай , будем называть абсолютно линейным, поскольку включает в себя все линейные средства приближений, изучаемые в теории приближений и численном анализе (вычислительной математике) (см. [1]-[4]).

Через c(, ,…) будем обозначать некоторые положительные величины, разные, вообще говоря, в разных формулах и зависящие лишь от указанных в скобках параметров.

Если – неотрицательная числовая последовательность и - произвольная числовая последовательность, то запись означает, что найдется постоянная , для которой при каждом целом положительном выполнено неравенство . Если же и - две неотрицательные числовые последовательности, то запись означает, что одновременно выполняются соотношения и .

Одним из авторов [5] в модельной ситуации, когда изучаемые дифференциальные уравнения есть классические уравнения математической физики, классами являются обычные периодические классы Соболева, а восстановление ведется по значениям соответствующих начальных и краевых условий или правых частей уравнения в конечном числе точек, получены оптимальные порядки восстановления, причем показано, что оптимальный оператор восстановления является конечной сверткой значений на равномерной сетке со стандартной функцией. Именно,

1) Если есть решение уравнения Пуассона, то



,

где при ,, при , при .

2) Если есть решение задачи Коши для волнового уравнения, то

,



,

где , при , при .

3) Если есть решение уравнения теплопроводности, то

.

E.A. Баиловым и Н.Темиргалиевым [6] для решения уравнения Пуассона получены следующие двусторонние оценки погрешности восстановления (определения ниже приведенных классов Коробова , равно как и других классов, даны в соответствующих работах ).

1) При,

,

2) При ,



.

К.Е.Шерниязовым [7] получены следующие оценки погрешности восстановления решений задачи Коши для уравнения теплопроводности по значениям функции распределения начальной температуры в конечном числе точек.

1) при и ( индекс оптимальных коэффициентов)

,

2) при и





3) при и



Ш.У. Ажгалиевым [8] для уравнения теплопроводности получены следующие двусторонние оценки

1) при , , ,



2) при , s=1,2,…



,

.

Е.Шангиреевым [9] для волнового уравнения получены следующие двусторонние оценки при :



где есть любой из классов Соболева , Никольского-Бесова .

Ибатуллиным И. и Темиргалиевым Н. [10] для уравнения Клейна-Гордона получены при и следующие двусторонние оценки


.


Теперь перейдем к основным результатам настоящей статьи.

Через обозначим решение задачи (1)-(2) в случае



, (4)

через - в случае



(5)

и через обозначим решение задачи (1)-(2) в случае



. (6)

Нами доказаны следующие теоремы.



Теорема 1. Пусть даны целые положительные числа и , число такие, что

.

Тогда в случае задачи (1) и (4) имеют место соотношения



Теорема 2. Пусть даны целые положительные числа и , число такие, что

.

Тогда в случае задачи (1) и (5) имеют место соотношения

.

Теорема 3. Пусть даны целые положительные числа , и положительные числа и такие, что

и .

  1. Тогда в случае задачи (1) и (4) имеют место соотношения



где

,

.

2) Тогда в случае задачи (1) и (5) имеют место соотношения

,

где

,

.

Здесь и всюду ниже […] – целая часть числа.

Теорема 4 (информативная мощность всех возможных линейных функционалов). Пусть даны целые положительные числа , и положительные числа и такие, что

и .

Тогда в случае задачи (1) и (6) имеют место соотношения



.

Отметим, что в случае задачи (1)-(2) из доказанных теорем следуют те же выводы, что и в [10].

Именно, пусть . Если , то , и всякое повышение гладкости не отразится на порядке погрешности при дискретизации решений задачи (1)-(6), то же относится к случаю ,. При этом, самый широкий класс упорядоченных пар функций , , для которых еще выдерживается указанный оптимальный порядок получится при .

Далее, конкретизируя линейные функционалы и функции , в качестве вычислительных агрегатов в теореме 4 можно получать все возможные N - членные частичные суммы рядов Фурье по всем возможным ортонормированным системам, в их числе и по вейвлет-системам, все возможные N - членные частичные суммы разложений по всем возможным базисам и также разностные схемы, то есть, фактически, весь спектр агрегатов, изучаемых в теории приближений и вычислительной математике. Смысл теоремы 4 состоит в том, что в условиях данной теоремы весь перечисленный арсенал не может дать оценку лучше, чем , причем эта оценка реализуется на операторах из теоремы 3.

В заключение, введем обозначения и приведем некоторые утверждения в виде лемм, которые используются при доказательстве результатов данной работы.

Для 1-периодической по каждой из -переменных суммируемой функции через будем обозначать ее тригонометрические коэффициенты Фурье-Лебега, в дальнейшем именуемые просто коэффициенты Фурье,



.

Для сокращения записей всюду ниже будем использовать обозначение



,

и, как следствие, .



Отметим, что и .

Лемма 1. Пусть даны целое положительное число, положительные числа и такие, что

и .

Тогда для каждой пары задача (1)-(6) имеет классическое решение , представимое в виде абсолютно сходящегося ряда

.

Лемма 2. Если действительные функции и определены на конечном множестве  и для всякого выполнено неравенство

,

то

.

Лемма 3(см. [10]). Пусть даны положительные числа , , и . Тогда верны соотношения



Лемма 4. (см. [8]). Пусть дано целое положительное число . Тогда для каждого целого положительного выполнено: для любого конечного множества , количество элементов которого не меньше и для произвольных линейных функционалов , определенных, по крайней мере, на множестве всех тригонометрических многочленов со спектром в , найдется тригонометрический многочлен со спектром в , удовлетворяющий условиям

, , .

Лемма 5. Пусть дано целое положительное число . Тогда для каждого целого положительного выполнено: для множества , где определено условием , произвольной последовательности чисел и для произвольных линейных функционалов , определенных, по крайней мере, на множестве всех тригонометрических многочленов со спектром в , найдется тригонометрический многочлен , удовлетворяющий условиям



такой, что для имеют место соотношения

.

Лемма 6. Пусть даны целые положительные числа , , и пусть является тригонометрическим многочленом порядка по каждой из своих s переменных. Тогда верно соотношение

.

Лемма 7. Если функция , тогда существует такое число с, что верно неравенство



обратно, если



то найдется число с, что .

Лемма 8 (см., напр., [11]). Пусть даны целые положительные числа , , и пусть является тригонометрическим многочленом порядка по каждой из своих s переменных. Тогда верно соотношение

.

Лемма 9. Пусть даны целое положительное число , . Тогда для функции верно неравенство

.

Полученные результаты были апробированы на Выездном семинаре профессоров МГУ В.Н.Чубарикова, А.И. Шафаревича, Б.С.Гашкова, Д.В.Георгиевского, проведенного 13-16 декабря 2009 года в рамках мероприятия «Дни механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова в ЕНУ им. Л.Н.Гумилева».


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Темиргалиев Н. Теоретико-числовые методы и теоретико-вероятностный подход к задачам Анализа. Теория вложений и приближений, абсолютная сходимость и преобразования рядов Фурье //Вестн. ЕАУ, 1997, № 3. - С.90-144.

  2. Темиргалиев Н. Математика: Избранное. Наука /под ред. Б. С. Кашина. - Астана: ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2009.- 613 с.

  3. Темиргалиев Н. Компьютерный (вычислительный) поперечник. Алгебраическая теория чисел и гармонический анализ в задачах восстановления (метод Квази-Монте Карло). Теория вложений и приближений. Ряды Фурье. // Вест.ЕНУ им. Л.Н.Гумилева, 2010. Спец. выпуск, посвященный научным достижениям математиков ЕНУ им. Л.Н.Гумилева, 194 с.

  4. Ажгалиев Ш.У., Темиргалиев Н. Информативная мощность всех линейных функционалов при восстановлении функций из классов // Матем. сборник, 2007, T. 198, № 11.- С.3-20.

  5. Темиргалиев Н. Об оптимальном восстановлении решений классических уравнений математической физики // I-съезд математиков Казахстана: Тезисы докл.-Шымкент,1996.- С.151-153.

  6. Баилов Е.А., Темиргалиев Н. О дискретизации решений уравнения Пуассона // ЖВМ и МФ, 2006. т.46, №9. - С. 1594-1604.

  7. Шерниязов К.Е. Восстановление функций и решений уравнения теплопроводности с распределениями начальных температур из классов E, SW и SH // Вестн. КазГУ. - Сер. мат., мех., инф.- 1998.- №11.-С.98-108.

  8. Ажгалиев Ш.У. О дискретизации решений уравнений теплопроводности // Матем. заметки, 2007.- т. 82, выпуск 2.- С. 177-182.

  9. Шангиреев Е.И. О восстановлении решений волнового уравнения // Дисс. … канд. физ.-мат. наук, Караганда, 2002.

  10. Ибатулин И.Ж., Темиргалиев Н. Об информативной мощности всех возможных линейных функционалов при дискретизации решений уравнения Клейна-Гордона в метрике // Дифференциальные уравнения. 2008. Т.44. №4.- С. 491-506.

  11. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения //М.:Наука,1977. -455 с.

Бұл жұмыста жалпы саны берілген барлық сызықты функционалдардан Соболев кластарында жататын бастапқы екі шарттар негізінде алынған сандық ақпарат бойынша құрылған есептеуіш агрегат арқылы толқындық теңдеудің жуық шешімінің дәл реттік бағалаулары табылған.

In this paper sharp estimates of the error of approximation of solutions of the wave equation by means of applications of computational aggregate using are numerical information obtained by applying all linear functionals, the total number of which as fixed, to two initial conditions which are functions on Sobolev classes.

Ш.АБИКЕНОВА, А.УТЕСОВ, Н.ТЕМИРГАЛИЕВ

О ДИСКРЕТИЗАЦИИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

(Институт теоретической математики и научных вычислений ЕНУ им. Л.Н.Гумилева, г. Астана)

В данной работе исследуется задача дискретизации решения задачи Коши для волнового уравнения с начальными условиями из обобщенных классов Соболева. Найден точный порядок погрешности дискретизации решений волнового уравнения по линейной информации, при этом полученные оценки сверху и снизу представлены средними функциями систем функций типа модуля гладкости, определяющими свойства функций из рассматриваемых классов.

В данной работе изучается задача Коши для волнового уравнения

, (1)

, . (2)

Сначала приведем общую постановку задачи восстановления, различные конкретизации в которой пространств X и Y, классов F, операторов T, вычислительных агрегатов , приводят к разным постановкам задач (см., напр., [1-8] и имеющуюся в них библиографию).

Пусть даны нормированные пространства и Y числовых функций, определенных на множествах и соответственно, множества функций и - отображение в Y. Пусть также даны целое положительное число N и целые положительные числа , , набор функционалов , , , где и . И, наконец, пусть дана функция : такая, что при всех фиксированных как функция от y принадлежит пространству Y, где C, как обычно, есть поле комплексных чисел.

Тогда для каждого соответствующую функцию будем приближать в метрике Y функцией (вычислительным агрегатом) , построенной по числовой информации объема N, полученной об посредством функционалов и переработанной по алгоритму до функции, зависящей от той же переменной, что и Tf.

Пусть есть множество всевозможных пар и пусть .

Задача заключается в получении оценок сверху и оценок снизу (желательно совпадающих с точностью до констант) для величины



(3)

и в указании вычислительного агрегата, реализующего оценку сверху.

При этом, обычно сначала устанавливаются оценки снизу погрешности дискретизации по информации, полученной от всех вычислительных агрегатов из заданного множества , которые затем подтверждаются оценками сверху для конкретных вычислительных агрегатов (построение которых, разумеется, можно продолжить с точки зрения улучшения вычислительных характеристик).

В (3) символами обозначены А - уравнение, В - начальное или граничное условие, - класс. Пусть - заданное множество наборов из функционалов. Тогда при , то есть в случае приближения вычислительными агрегатами с из и произвольным , величину , зависящую только от , согласно [1], назовем информативной мощностью семейства функционалов . Соответственно через , точки из множества задания функций класса обозначим множество из N функционалов, являющихся значениями функции в точках, через множество из N функционалов – тригонометрических коэффициентов Фурье-Лебега и пусть есть множество из N линейных функционалов, определенных на линейной оболочке класса F, где - множество всех векторов из с целочисленными компонентами

Здесь рассматривается следующая конкретизация общей задачи восстановления: , , оператор определен как - решение задачи (1)-(2), при этом используется термин «дискретизация».

Прежде чем определить классы функций , рассматриваемые в данной работе, напомним определение средней функции.

Для данного действительного числа всякую непрерывную неубывающую на [0,1] функцию такую, что



и

при некотором и всех , называют функцией типа модуля гладкости -го порядка.

В качестве функций типа модуля гладкости -го порядка можно указать функции вида (, ), (, , ) и т.п.

Пусть - система функций типа модуля гладкости порядков соответственно. В дальнейшем, не ограничивая общности (в случае необходимости, переходя к ), будем считать, что все функции строго возрастают на и .

Обратную к инъективной функции функцию будем обозначать через .

Рассмотрим функции , обратные к , и положим



.

Очевидно, что является строго возрастающей функцией на [0,1], причем . Функцию, обратную к , следуя В.И.Коляде [9] будем называть средней функцией системы .

Отметим, что в случае средняя функция этой системы, очевидно, есть функция , обратная к функции .

Класс есть, по определению, множество всех суммируемых 1-периодических по каждой переменной функций , тригонометрические коэффициенты Фурье-Лебега которых удовлетворяют условию



, .

В частности, при классы сводятся к обычным анизотропным классам Соболева .

Под классом будем понимать множество всех функций таких, что для каждого как функция аргумента является измеримой периодической с периодом 1 по каждой из своих s переменных и удовлетворяет неравенству

.

Норму пространства , как обычно, будем обозначать через или , то есть



,

а под будем всюду понимать .

Через c(, ,…) будем обозначать некоторые положительные величины, разные, вообще говоря, в разных формулах и зависящие лишь от указанных в скобках параметров.

Если – последовательность положительных чисел и - произвольная числовая последовательность, то запись означает, что найдется постоянная c(, ,…), для которой при каждом целом положительном N выполнено неравенство . Если же и - две последовательности положительных чисел, то запись означает, что одновременно выполняются соотношения и .

Приведем некоторые результаты, полученные в аналогичном исследуемому случаю направлении.

Ш.У. Ажгалиевым [4] для уравнения теплопроводности при использовании числовой информации в виде всевозможных линейных функционалов получены следующие двусторонние оценки:

1) при , , ,

2) при ,



,

.

А.Б.Утесовым [5] для уравнения теплопроводности, когда в качестве числовой информации используются значения в точках функции из обобщенных классов многомерной гладкости, определяющей начальное условие, получены следующие двусторонние оценки:



,

.

Е.Шангиреевым [6] для волнового уравнения получены следующие двусторонние оценки при :



где есть любой из классов Соболева , Никольского-Бесова .

Ш.Абикеновой [7] для волнового уравнения получены следующие двусторонние оценки:

1) при и ,



2) при и систем строго возрастающих функций типа модуля гладкости - го и -го порядков соответственно, удовлетворяющих условиям

и

, ,

при некотором и для всех

.

Ибатуллиным И. и Темиргалиевым Н. [8] для уравнения Клейна-Гордона получены при и следующие двусторонние оценки (N=2,3,…)



.

Теперь перейдем к формулировкам основных результатов.

Все рассматриваемые функции будем считать определенными на всем пространстве , 1-периодическими по каждой из своих s переменных и суммируемыми на кубе .

Для 1-периодической по каждой из -переменных суммируемой функции через будем обозначать ее тригонометрические коэффициенты Фурье-Лебега, в дальнейшем именуемые просто коэффициенты Фурье,



.

Теперь перейдем к основным результатам настоящей статьи.

Через обозначим решение задачи (1)-(2) в случае

, (4)

через - в случае



(5)

и через обозначим решение задачи (1)-(2) в случае



. (6)

Каталог: repository
repository -> 2. 1 Общие вопросы управления отходами (Раздел III. C (II)) 8
repository -> Физическая география
repository -> I. начальное общее и основное общее образование
repository -> Книга сделает тебя неуязвимым для болезней и неудач
repository -> О направлении пакета документов
repository -> Об оценке норм преобразования хартли
repository -> А. Г. Асмолов Об организации взаимодействия образовательных учреждений и обеспечении преемственности дошкольного и начального


Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3   4


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2019
обратиться к администрации

войти | регистрация
    Главная страница


загрузить материал