Сложение матриц, имеющих один и тот же размер; умножение матриц



Скачать 79.87 Kb.
Дата29.03.2018
Размер79.87 Kb.
Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля, которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы.

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате, решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

Матрицы допускают следующие алгебраические операции:


  • сложение матриц, имеющих один и тот же размер;

  • умножение матриц подходящего размера (количество строк одной матрицы должно совпадать с количеством столбцов другой);

  • умножение матрицы на элемент основного кольца или поля (т. н. скаляр).

Относительно сложения матрицы образуют абелеву группу; если же рассматривать ещё и умножение на скаляр, то матрицы образуют векторное поле над соответствующим кольцом или полем. Для квадратных матриц матричное умножение является замкнутой операцией, поэтому квадратные матрицы одного размера образуют кольцо относительно матричного сложения и матричного умножения.

Матрица представляет собой матрицу некоторого линейного оператора: свойства матрицы соответствуют свойствам линейного оператора. В частности, собственные числа матрицы — это собственные числа оператора, отвечающие соответствующим собственным векторам.

В математике рассматривается множество различных типов и видов матриц. Таковы, например, единичная, симметричная, кососимметричная, верхнетреугольная (нижнетреугольная) и т. п. матрицы.

Особое значение в теории матриц занимают всевозможные нормальные формы. Наиболее важной (в теоретическом значении) и проработанной является теория жордановых нормальных форм. На практике, однако, используются такие нормальные формы, которые обладают, например, устойчивостью.



История

Впервые матрицы упоминались ещё в древнем Китае, называясь тогда «волшебным квадратом». Основным применением матриц – было решение линейных уравнений. Так же, волшебные квадраты были известны чуть позднее у арабских математиков, примерно тогда появился принцип сложения матриц. После развития теории определителей в конце 17-го века, Габриэль Крамер начал свою теорию в 18-ом столетии и опубликовал «правило Крамера» в 1751 году. Примерно в этом же промежутке времени появился «метод Гаусса». Теория матриц начала своё существование в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу, Жордану, Фробениусу. Термин «матрица» ввел Джеймс Сильвестр в 1850 г.



Виды матриц

  1. Бинарная матрица. Матрица, состоящая из нулей и единиц. Синонимы: булевская матрица, логическая матрица.

  2. Матрица альтернанса (англ.). Матрица, элементы которой представляют собой значения функций в определённых точках. ai,j = fj(αi).

  3. Нулевая матрица . Матрица, полностью состоящая из нулей. aij = 0.

  4. Антидиагональная матрица (англ.). Квадратная матрица, все элементы которой, лежащие вне побочной диагонали, равны нулю.

  5. Антиэрмитова матрица (англ.). Синоним косо-эрмитовой матрицы.

  6. Антисимметричная матрица. Синоним кососимметричной матрицы.

  7. Стрелочная матрица (англ.). Квадратная матрица, все элементы которой равны нулю, кроме элементов первого столбца, первой строки и главной диагонали.

  8. Ленточная матрица (англ.). Квадратная матрица, все ненулевые элементы которой примыкают к главной диагонали.

  9. Бидиагональная матрица (англ.). Матрица, все ненулевые элементы которой находятся на главной диагонали и на одной из под- или над-диагонали.

  10. Бисимметричная матрица (англ.). Квадратная матрица, симметричная как относительно главной диагонали, так и относительно побочной диагонали.

  11. Блочно-диагональная матрица. Блочная матрица, у которой имеются матрицы только на главной диагонали. Блочная матрица. Матрица, которая разбита на подматрицы, называемые блоками.

  12. Блочно-трёхдиагональная матрица (англ.). Блочная матрица, чьи блоки организованы так же, как у трёхдиагональной матрицы.

  13. Булевская матрица (англ.). Синоним для (0,1)-матрицы, бинарной матрицы и логической матрицы.

  14. Матрица Коши (англ.). Матрица, каждый элемент которой имеет вид aij=1/(xi+yj), где xi и yj — две инъективные последовательности .

  15. Центросимметричная матрица (англ.). Матрица, симметричная относительно своего центра, то есть: aij = an−i+1,n−j+1.

  16. Матрица согласованности (англ.). Квадратная матрица с нулевыми элементами на диагонали и элементами вида +1 и −1 вне диагонали, такая, что CTC — единичная матрица.

  17. Комплексная матрица Адамара (англ.). Матрица все строки и столбцы попарно ортогональны друг другу, а сами элементы унимодулярны.

  18. Сопозитивная матрица (англ.). Квадратная матрица с вещественными элементами такая, что квадратичная форма xTAx оказывается неотрицательной для каждого неотрицательного x. f(x) = xTAx

  19. Диагональная матрица/ Матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю.

  20. Элементарная матрица (англ.). Матрица, которая получается из единичной при помощи элементарных преобразований.

  21. Эквивалентная матрица (англ.). Матрица, которая получается из другой матрицы при помощи элементарных преобразований над строками или столбцами.

  22. Матрица Фробениуса. Матрица, которая получается из единичной при помощи сдвига и добавления нового столбца.

  23. Неотрицательная матрица (англ.). Матрица, все элементы которой неотрицательны.

  24. Матрица перестановки. Квадратная матрица, в которой в каждом столбце и в каждой строке стоит ровно одна единица, а остальные нули. Является матричным представлением перестановки.

  25. Персимметричная матрица (англ.). Матрица, симметричная относительно побочной диагонали: aij = an−j+1,n−i+1.

  26. Полиномиальная матрица. Матрица, все элементы которой суть полиномы.

  27. Положительная матрица (англ.). Матрица, все элементы которой положительны.

  28. Матрица кватернионов (англ.). Матрица, все элементы которой представляют собой кватернионы.

  29. Матрица знака (англ.). Матрица, все элементы которой это — 1, 0 и ( − 1).

  30. Матрица сигнатуры (англ.). Матрица, все элементы которой это — либо 1, либо ( − 1).

  31. Косо-эрмитовая матрица (англ.). Матрица, которая противоположна по знаку своей сопряжённой.

  32. Кососимметричная матрица. Матрица, которая противоположна по знаку своей транспонированной.

  33. Небесная матрица (англ.). Ленточная матрица, реорганизованная таким образом, чтобы уменьшить занимаемое пространство.

  34. Разреженная матрица.Матрица, практически полностью состоящая из нулей.

  35. Матрица Сильвестра. Квадратная матрица, чьи элементы — это коэффициенты двух полиномов.

  36. Симметричная матрица . Квадратная матрица, которая совпадает со своей транспонированной: A = AT (ai,j = aj,i).

  37. Тёплицева матрица (англ.). Матрица, у которой на диагоналях стоят одни и те же элементы.

  38. Треугольная матрица. Матрица, у которой все элементы выше главной диагонали нулевые (нижнетреугольная матрица), или матрица, у которой все элементы ниже главной диагонали нулевые (верхнетреугольная матрица).

  39. Трёхдиагональная матрица. Матрица, у которой все ненулевые элементы располагаются на трёх диагоналях: главной, первой сверху и первой снизу...

  40. Унитарная матрица. Квадратная матрица, которая совпадает с своей комплексно-сопряжённой, A−1 = A*.

  41. Матрица Вандермонда. Матрица, строки (или столбцы) которой представляют собой последовательные степени: 1, a, a², a³.

  42. Матрица Уэлша (англ.). Квадратная матрица размера равным степени двойки, состоящая из элементов +1 или −1.

  43. Z-матрица. Матрица, все недиагональные элементы меньше нуля.-

  44. Ганкелева матрица. Квадратная матрица, у которой на каждой побочной диагонали стоят равные элементы.

Постоянные матрицы

Матрицы, представленные ниже, характеризуются тем, что их элементы являются одними и теми же для всех возможных размеров матриц.



  1. Матрица перемен (англ.). Бинарная матрица, у которой на побочной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы нулевые.

  2. Матрица Гильберта (англ.). aij = (i + j − 1)−1.

  3. Единичная матрица.Квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы равны нулю.

  4. Матрица Лемье (англ.). aij = min(i, j) ÷ max(i, j).

  5. Матрица единиц (англ.). Матрица, все элементы которой суть единицы. aij = 1.

  6. Матрица Паскаля (англ.). Матрица, состоящая из элементов треугольника Паскаля.

  7. Матрица Паули. Блочная матрица, состоящая из блоков размера 2 × 2, каждый из которых представляет собой комплексную эрмитовую и унитарную матрицу.

  8. Матрица Редхерера (англ.). aij = 1, если i делится на j или если j = 1; в противном случае, aij = 0.

  9. Матрица сдвига (англ.) . Матрица, у которой на одной из побочных диагоналях стоят единицы, а остальные элементы нулевые.

  10. Нулевая матрица Матрица, у которой все элементы нулевые. aij = 0.





Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2019
обратиться к администрации

войти | регистрация
    Главная страница


загрузить материал