Учебная программа Дисциплины р1 «Теория функций комплексного переменного»



Скачать 189,16 Kb.
Дата21.08.2017
Размер189,16 Kb.
ТипУчебная программа
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»

Радиофизический факультет

Кафедра математики


УТВЕРЖДАЮ

Декан радиофизического факультета
____________________Якимов А.В.

«18» мая 2011 г.

Учебная программа
Дисциплины С3.Р1 «Теория функций комплексного переменного»
по специальности 090302 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем»

Нижний Новгород

2011 г.

1. Цели и задачи дисциплины



Содержание дисциплины «Теория функций комплексного переменного» направлено на ознакомление студентов с теорией аналитических функций, с разложениями функций комплексного переменного в ряды Тейлора и Лорана, с вычислением интегралов, включая и несобственные, на основе теории вычетов.
2. Место дисциплины в структуре программы специалиста

Дисциплина «Теория функций комплексного переменного» относится к дисциплинам вариативной части профессионального цикла основной образовательной программы по специальности 090302 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем», преподается в 3 семестре.

Знания, приобретённые в процессе изучения дисциплины «Теория функций комплексного переменного» используются как математическая основа для преподавания и изучения естественнонаучных и профессиональных дисциплин.
3. Требования к уровню освоения содержания дисциплины

Изучение дисциплины «Теория функций комплексного переменного» обеспечивает овладение следующими общекультурными компетенциями:



  • способностью к логически правильному мышлению, обобщению, анализу, критическому осмыслению информации, систематизации, прогнозированию, постановке исследовательских задач и выбору путей их решения на основании принципов научного познания (ОК-9);

  • способностью самостоятельно применять методы и средства познания, обучения и самоконтроля для приобретения новых знаний и умений, в том числе в новых областях, непосредственно не связанных со сферой деятельности, развития социальных и профессиональных компетенций, изменения вида своей профессиональной деятельности (ОК-10).

Изучение дисциплины «Теория функций комплексного переменного» обеспечивает овладение следующими профессиональными компетенциями:

  • способностью выявлять естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, и применять соответствующий физико-математический аппарат для их формализации, анализа и выработки решения (ПК-1);

  • способностью применять математический аппарат, в том числе с использованием вычислительной техники, для решения профессиональных задач (ПК-2);

  • способностью применять методологию научных исследований в профессиональной деятельности, в том числе в работе над междисциплинарными и инновационными проектами (ПК-5).

В результате изучения студенты должны:

знать:

  • элементы теории аналитических функций, конформных отображений и вычетов;

уметь:

  • применять методы теории функций комплексного переменного к решению прикладных задач;

иметь представление:

  • о комплексных числах и функциях комплексного переменного.

4.Объем дисциплины и виды учебной работы

Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетные единицы, 144 часа.


Виды учебной работы

Всего часов

Семестры

Общая трудоемкость дисциплины

144

3

Аудиторные занятия

68

68

Лекции

34

34

Практические занятия (ПЗ)

34

34

Семинары (С)





Лабораторные работы (ЛР)





Другие виды аудиторных занятий





Самостоятельная работа

40

40

Курсовой проект (работа)





Расчетно-графическая работа





Реферат





Другие виды самостоятельной работы





Вид итогового контроля (зачет, экзамен)

экзамен (36)

экзамен (36)

5. Содержание дисциплины

5.1. Разделы дисциплины и виды занятий


№ п/п

Раздел дисциплины

Лекции

ПЗ (или С)

ЛР

1

Функции комплексного переменного, предел и производная

8

12




2

Элементы теории конформных отображений

4

8




3

Интегрирование функции комплексного переменного

7






4

Ряды аналитических функций

10

14




5

Теория вычетов и ее приложения

5

-



5.2. Содержание разделов дисциплины.


1. Функции комплексного переменного, предел и производная.

Понятие функции комплексного переменного, непрерывность. Дифференцирование функции комплексного переменного, условия Коши-Римана в декартовых и полярных координатах. Свойства аналитических функций. Геометрический смысл модуля и аргумента производной функции комплексного переменного.


2. Элементы теории конформных отображений.

Определение и общие свойства конформного отображения. Отображения, осуществляемые некоторыми элементарными функциями. Основные принципы конформного отображения. Основная задача теории конформных отображений. Теорема Римана. Круговое свойство отображения, осуществляемого дробно-линейной функцией.


3. Интегрирование функции комплексного переменного.

Определение и основные свойства интеграла от функции комплексного переменного. Теорема Коши для односвязной и многосвязной областей. Первообразная аналитической функции, неопределенный интеграл. Формула Коши, интеграл Коши. Аналитическая зависимость интеграла от параметра. Существование производных всех порядков у аналитической функции. Теоремы Морера и Лиувилля, основная теорема высшей алгебры.


4. Ряды аналитических функций.

Равномерная сходимость рядов функций комплексного переменного. Свойства равномерно сходящихся рядов. Теоремы Вейерштрасса. Степенные ряды. Ряд Тейлора. Единственность определения аналитической функции. Аналитическое продолжение. Понятие полной аналитической функции. Ряд Лорана. Классификация изолированных особых точек однозначных функций.


5. Теория вычетов и ее приложения.

Определение вычета функции относительно конечной изолированной особой точки и бесконечно удаленной точки. Формулы вычисления вычетов в простом полюсе и в полюсе порядка m. Основная теорема о вычетах, теорема о сумме вычетов в расширенной комплексной плоскости. Вычисление тригонометрических интегралов с помощью вычетов. Вычисление главных значений по Коши несобственных интегралов с помощью вычетов. Лемма Жордана. Вычисление главных значений несобственных интегралов, содержащих тригонометрические функции, с помощью вычетов. Логарифмический вычет. Теорема о подсчета числа нулей функции комплексного переменного.


6. Лабораторный практикум

Не предусмотрен.


7. Учебно-методическое обеспечение дисциплины

7.1. Рекомендуемая литература.

а) основная литература:

1. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. – М.: Физматлит, 2004.

2. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1987.

3. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. – М.: Физматлит, 2002.


б) дополнительная литература:

1. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. – М.: Мир, 2006.

2. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1989.

3. Евграфов М.А. Аналитические функции. – М.: Лань, 2008.



4. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1984.
8. Вопросы для контроля

  1. Определение функции комплексного переменного, ее геометрический смысл. Многозначность и однолистность отображения.

  2. Определение предела функции комплексного переменного по Коши и по Гейне. Непрерывность и ее геометрический смысл.

  3. Примеры отображений, осуществляемых простейшими непрерывными функциями (линейная, квадратичная, отображение инверсии).

  4. Определение производной функции комплексного переменного. Необходимое условие дифференцируемости функции комплексного переменного (условия Коши-Римана). Формула нахождения производной.

  5. Достаточные условия дифференцируемости функции комплексного переменного. Понятие аналитической функции.

  6. Условия Коши-Римана в полярных координатах. Формула вычисления производной. Пример: степенная функция.

  7. Условия Коши-Римана для модуля и аргумента функции. Формула вычисления производной. Пример: показательная функция.

  8. Простейшие свойства аналитических функций.

  9. Свойства действительной и мнимой частей аналитической функции.

  10. Геометрический смысл модуля и аргумента производной функции комплексного переменного. Свойства сохранения углов и постоянства растяжения.

  11. Определение конформного отображения. Основная задача теории конформных отображений. Функции, осуществляющие конформные отображения.

  12. Конформные отображения, осуществляемые линейной и степенной функциями. Поверхность Римана.

  13. Конформное отображение, осуществляемое показательной функцией. Пример: отображение бесконечной вертикальной полосы на верхнюю полуплоскость.

  14. Основные принципы конформного отображения.

  15. Теорема Римана. Невозможность конформного отображения многосвязной области на односвязную. Условия единственности отображения.

  16. Основные свойства конформного отображения, осуществляемого дробно-линейной функцией.

  17. Отображение верхней полуплоскости на единичный круг с помощью дробно-линейной функции.

  18. Определение интеграла от функции комплексного переменного, его вычисление.

  19. Свойства интеграла от функции комплексного переменного.

  20. Теорема Коши для односвязной области.

  21. Обобщение теоремы Коши на случай многосвязной области.

  22. Теорема о первообразной аналитической функции в односвязной области.

  23. Введение неопределенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.

  24. Вывод формулы Коши. Следствия: формула среднего значения.

  25. Принцип максимума модуля аналитической функции.

  26. Аналитическая зависимость интеграла от параметра.

  27. Существование производных всех порядков у аналитической функции.

  28. Теоремы Морера и Лиувилля. Основная теорема алгебры.

  29. Равномерная сходимость рядов функций комплексного переменного. Достаточный признак Вейерштрасса. Критерий Коши.

  30. Первая теорема Вейерштрасса для рядов аналитических функций.

  31. Свойства равномерно сходящихся рядов. Вторая теорема Вейерштрасса для рядов аналитических функций.

  32. Теорема Абеля об области абсолютной и равномерной сходимости степенного ряда.

  33. Следствия теоремы Абеля. Круг и радиус сходимости степенного ряда.

  34. Формула Коши-Адамара для радиуса сходимости степенного ряда.

  35. Теорема Тейлора.

  36. Нули аналитической функции. Целая функция. Единственность определения аналитической функции.

  37. Определение аналитического продолжения. Аналитическое продолжение в комплексную плоскость элементарных функций действительного переменного и соотношений между ними.

  38. Аналитическое продолжение с помощью степенных рядов. Понятие полной аналитической функции.

  39. Определение ряда Лорана. Область его сходимости. Теорема о разложении аналитической функции в ряд Лорана.

  40. Правильные и особые точки. Классификация изолированных особых точек. Ограниченность функции в окрестности устранимой особой точки.

  41. Поведение функции в окрестности полюса.

  42. Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса.

  43. Разложение в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки, классификация изолированной особой точки z=∞.

  44. Определение вычета. Вычисление вычетов.

  45. Основная теорема теории вычетов. Теорема о сумме вычетов в расширенной комплексной плоскости.

  46. Вычисление интегралов, содержащих тригонометрические функции, с помощью вычетов.

  47. Вычисление главных значений несобственных интегралов вида с помощью вычетов.

  48. Лемма Жордана. Вычисление главных значений несобственных интегралов вида с помощью вычетов.

  49. Логарифмический вычет. Вычисление вычетов логарифмической производной функции.

  50. Теорема о числе нулей и полюсов, ее геометрический смысл.

9. Критерии оценок




Превосходно

Превосходная подготовка с очень незначительными погрешностями

Отлично

Подготовка, уровень которой существенно выше среднего с некоторыми ошибками

Очень хорошо

В целом хорошая подготовка с рядом заметных ошибок


Хорошо

Хорошая подготовка, но со значительными ошибками


Удовлетворительно

Подготовка, удовлетворяющая минимальным требованиям

Неудовлетворительно

Необходима дополнительная подготовка для успешного прохождения испытания

Плохо

Подготовка совершенно недостаточная

10. Примерная тематика курсовых работ и критерии их оценки

Не предусмотрена.

Программа составлена в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом по специальности 090302 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем».

Автор программы ______________ Дубков А.А.

Программа рассмотрена на заседании кафедры 18 марта 2011 г. протокол № 10-11-04

Заведующий кафедрой _________________ Дубков А.А.

Программа одобрена методической комиссией факультета 11 апреля 2011 года

протокол № 05/10

Председатель методической комиссии_________________ Мануилов В.Н.






Каталог: rus -> progr -> 090302 IBTS-3
090302 IBTS-3 -> Учебная программа Дисциплины б5 «Электроника и схемотехника»
090302 IBTS-3 -> Учебная программа Дисциплины р4 «Алгоритмы и анализ сложности»
progr -> Учебная программа Дисциплины 05 «Обратные задачи физической диагностики» по направлению 011800 «Радиофизика» Нижний Новгород
progr -> Учебная программа Дисциплины б10 «Методы оптимизации и исследования операций»
090302 IBTS-3 -> Учебная программа Дисциплины б7 «Методы программирования»
progr -> Учебная программа Дисциплины р2 «Теория функций комплексного переменного» по направлению 011800 «Радиофизика» Нижний Новгород 2011 г


Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2019
обратиться к администрации

войти | регистрация
    Главная страница


загрузить материал