Учебно-методический комплекс «Избранные вопросы математического анализа»



страница1/8
Дата29.03.2018
Размер1,12 Mb.
ТипУчебно-методический комплекс
  1   2   3   4   5   6   7   8
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Тобольская государственная социально-педагогическая академия им. Д.И.Менделеева»




Физико-математический факультет

Кафедра математики, ТиМОМ




Учебно-методический комплекс


«Избранные вопросы математического анализа»
050100_680-12-2362 «Педагогическое образование»

(код и наименование направления подготовки)

«Математическое образование»



(наименование магистерской программы)

Квалификация (степень) выпускника

Магистр

Форма обучения



заочная

Тобольск, 2013


Содержание

Рабочая программа дисциплины.…………………………………...………….........

3

Приложения ……………………………………………………………………………

12

Приложение 1. Лекционные материалы ………………………………………………

-

Приложение 2. Практические занятия …………………………………………………

12

2.1. Планы практических занятий ………………………………………………

12

2.2. Методические указания к практическим занятиям ……………………….

12

Приложение 3. Лабораторный практикум ……………………………………………

-

3.1.Задания к лабораторному практикуму ……………………………………..

-

3.2.Методические указания к лабораторному практикуму ……………………

-

Приложение 4. Самостоятельная работа студентов …………………………...……..

13

4.1. Задания для самостоятельной работы ……………………………………..

13

4.2. Методические указания к выполнению самостоятельной работы ………

13

Приложение 5. Контролирующие и оценочно-диагностические материалы по дисциплине

13

5.1. Технологическая карта дисциплины ………………………………………..

13

5.2. Тестовые задания для текущего контроля знаний по дисциплине ………..

14

5.3. Вопросы к зачету ………………………………………………………... ….

16

Приложение 6. Глоссарий ………………………………………………………………

17

Приложение 7. Дополнительные учебно-методические материалы …………………

20


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Тобольская государственная социально-педагогическая академия им. Д.И.Менделеева»




Физико-математический факультет

Кафедра математики, ТиМОМ




Рабочая программа дисциплины


«Избранные вопросы математического анализа»

050100_680-12-2362 «Педагогическое образование»



(код и наименование направления подготовки)

«Математическое образование»



(наименование магистерской программы)

Квалификация (степень) выпускника

Магистр

Форма обучения

заочная

Тобольск 2013


1. Цели и задачи освоения дисциплины
Цель дисциплины - формирование систематических знаний в области математического анализа, о его месте и роли в системе математических наук, приложениях в естественных науках.

Задачи дисциплины:

- выработать умения и навыки вычисления пределов, нахождения производных и интегралов, доказательства свойств и теорем, относящихся к основным понятиям математического анализа;

- научить применять методы математического анализа для решения задач, нахождения геометрических и физических величин;

- познакомить с современными направлениями развития математического анализа и его приложениями;

- дать научное обоснование школьного курса «Алгебра и начала анализа».

Дисциплина ориентирует на учебно-воспитательный и научно-методический виды профессиональной деятельности, ее изучение способствует решению следующих типовых задач профессионально деятельности:



в области учебно-воспитательной деятельности:

- осуществление процесса обучения в соответствии с образовательной программой;

- планирование и проведение учебных занятий с учетом специфики тем и разделов программы и в соответствии с учебным планом;

- использование современных научно обоснованных приемов, методов и средств обучения;

- использование технических средств обучения, информационных и компьютерных технологий;

- применение современных средств оценивания результатов обучения;



в области научно методической деятельности:

- выполнение научно-методической работы, участие в работе научно-методических объединений;

- анализ собственной деятельности с целью ее совершенствования и повышения своей квалификации.

Выпускник должен быть готов к выполнению основных видов профессиональной деятельности магистра математики, решению типовых профессиональных задач в учреждениях среднего общего (полного) образования, использовать знания по математике для эффективной организации содержания учебного материала по другим предметам.

Курс «Избранные вопросы математического анализа» имеет также общеобразовательное, общекультурное и прикладное значение, способствует формированию научного мировоззрения студентов.
2 Место дисциплины в структуре ООП ВПО
Дисциплина «Избранные вопросы математического анализа» относится к вариативной части профессионального цикла. Для освоения дисциплины используются знания, умения и виды деятельности, сформированные в процессе изучения предметов «Математика», «Информатика» на предыдущем уровне образования. Дисциплина «Избранные вопросы математического анализа», наряду с дисциплинами «Основные алгебраические структуры» и «Геометрия и топология», является фундаментом высшего математического образования. Знания и умения, формируемые в процессе изучения дисциплины «Избранные вопросы математического анализа» будут использоваться в дальнейшем при освоении дисциплин вариативной части профессионального цикла: «Актуальные проблемы геометрии», «Интегральные уравнения», «Геометрия многомерного пространства» и др.

3. Требования к результатам освоения дисциплины:
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование элементов следующих компетенций в соответствии с ФГОС ВПО и ООП ВПО по данному направлению подготовки (специальности):

а) общекультурных (ОК):

- владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения (ОК-1);

- способен использовать знания о современной естественнонаучной картине мира в образовательной и профессиональной деятельности, применять методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования (ОК-4);

- умеет логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь (ОК-6);



б) профессиональных (ПК):

- способен осуществлять профессиональное и личностное самообразование, проектировать дальнейший образовательный маршрут и профессиональную карьеру (ОПК-2);

– способен руководить исследовательской работой обучающихся (ПК-4);

– готов проектировать новое учебное содержание, технологии и конкретные методики обучения (ПК-16);


В результате изучения дисциплины студент должен
знать:

- основные понятия математического анализа;

- основные свойства и теоремы математического анализа;

- основные методы математического анализа;



уметь:

- вычислять пределы, находить производные и вычислять интегралы;

- используя определения, проводить исследования, связанные с основными понятиями;

- применять методы математического анализа к доказательству теорем и решению задач;



владеть:

- современными знаниями о математическом анализе и его приложениях;

- основными понятиями школьного курса «Алгебра и начала анализа».
4. Структура и содержание дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц (252 часа), дисциплина читается в 9,10 и 11 семестрах.
4.1. Структура дисциплины)

Таблица 1





Наименование раздела дисциплины

Семестр

Виды учебной работы

(в академических часах)

аудиторные занятия

СР

ЛК

ПЗ

ЛБ

1.

Функциональный анализ

9

16

16

-

30

2.

Теория линейных операторов

10

16

16

-

30

3.

Комплексный анализ

11

-

16

-

35


4.2. Содержание дисциплины
Таблица 2



Наименование раздела дисциплины

Содержание раздела

(дидактические единицы)

1.

Функциональный анализ

Возникновение функционального анализа как самостоятельного раздела математики; современное развитие функционального анализа и его связь с другими областями науки.

Метрические и топологические пространства: множества, алгебра множеств; счетные множества и множества мощности континуума; метрические пространства, открытые и замкнутые множества; компактные множества в метрических пространствах; критерий Хаусдорфа; полнота и пополнение; терема о стягивающих шарах; принцип сжимающих отображений; топологические пространства, примеры. Мера и интеграл Лебега: построение меры Лебега на прямой; общее понятие аддитивной меры; измеримые функции и их свойства; определение интеграла Лебега.

Банаховы пространства: определение линейного нормированного пространства; примеры норм; банаховы пространства; сопряженное пространство и его полнота; теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала; общий вид линейных функционалов в некоторых банаховых пространствах; Гильбертовы пространства: скалярное произведение; неравенство Линейные топологические пространства и обобщенные формулы: полинормированные пространства



2.

Теория линейных операторов

Определение линейного оператора. Взаимосвязь непрерывности и ограниченности операторов. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора. Собственные числа и собственные векторы линейных операторов в конечномерных пространствах, Симметричные операторы Фредгольма.

3.

Комплексный анализ

Комплексные числа, действия над ними. Алгебраические и тригонометрические формы записи комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа. Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность. Производная. Условие дифференцируемости (Коши-Римана). Понятие аналитической функции. Конформные отображения. Элементарные функции комплексного переменного (степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические) и задаваемые ими конформные отображения. Понятие римановой поверхности. Интегрирование функций комплексного переменного. Первообразная и интеграл. Интегральное определение логарифма. Интегральная формула Коши. Разложение аналитических функций в ряд Лорана. Классификация изолированных особых точек. Вычеты, их применение для вычисления интегралов.


4.3. Лабораторные работы

Не предусмотрены


5 Образовательные технологии

Деловая игра, лекция вдвоем, лекции с использованием компьютера, круглый стол, математический диктант.

Используется рейтинговая система оценки достижений студентов.
5.1 Интерактивные образовательные технологии, используемые в аудиторных занятиях

Таблица 3






занятия



раздела

Тема занятия

Виды образовательных технологий

Кол-во часов

1,2

1

Метрические и топологические пространства

Практическое занятие (Традиционные технологии)


4/4

3,4

1

Мера и интеграл Лебега, измеримые функции,

Практическое занятие (Традиционные технологии)


4/4

5,6




Банаховы пространства

Групповое обсуждение, дискуссия (Интерактивные технологии)

4/4

7,8

1

Линейные топологические пространства и обобщенные формулы

Групповое обсуждение, дискуссия (Интерактивные технологии)

4/4

1,2

2

Определение линейного оператора. Взаимосвязь непрерывности и ограниченности операторов.

Групповое обсуждение, дискуссия (Интерактивные технологии)


4/4

3,4




Собственные числа и собственные векторы линейного оператора.

Индивидуальные выступления по решению задач


4/4

5,6

2

Симметричные операторы Фредгольма.

Групповое обсуждение, дискуссия (Интерактивные технологии)



4/4

7,8

2

Взаимосвязь непрерывности и ограниченности операторов.

Групповое обсуждение (Интерактивные технологии)

4/4

1,2

3

Комплексные числа, действия над ними. Алгебраические и тригонометрические формы записи комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа.

Практическое занятие (Традиционные технологии)


/4

3,4

3

Конформные отображения. Элементарные функции комплексного переменного (степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические) и задаваемые ими отображения

Практическое занятие (Традиционные технологии)


/4

5,6

3

Первообразная и интеграл. Интегральное определение логарифма. Интегральная формула Коши.

Индивидуальные выступления по решению задач

/4

7,8

3

Разложение аналитических функций в ряд Лорана. Классификация изолированных особых точек. Вычеты, их применение для вычисления интегралов

Практическое занятие (Традиционные технологии)


/4


6. Самостоятельная работа студентов
Таблица 4



Наименование раздела дисциплины

Вид самостоятельной работы

Трудоемкость

(в академ. часах)

1.

Функциональный анализ

Рассмотреть принцип сжимающих отображений, привести примеры

30

2

Теория линейных операторов

Решение примеров на тему «Собственные числа и собственные векторы линейного оператора».

30

3

Комплексный анализ

Рассмотреть применение конформных отображений

35


7. Компетентностно-ориентированные оценочные средства
7.1. Оценочные средства диагностирующего контроля

1) Входящий контроль в форме контрольной работы;

2) Текущий контроль в форме мониторинга результатов практических занятий, а так же домашних работ;

3) Промежуточная аттестация в форме зачета.


7.2. Оценочные средства текущего контроля: модульно-рейтинговая технология оценивания работы студентов
7.2.1. Распределение рейтинговых баллов по модулям и видам работ

Таблица 5

9 семестр

Виды работ

Максимальное количество баллов

Модуль 1

Модуль 2

Итого

Аудиторные занятия










Лекции

8

8

16-

Практические занятия

8

8

16

Самостоятельная работа

16

16

32

Итого за работу в семестре

32

32

64

Обобщающий контроль

18

18

36

Итого

50

50

100

10 семестр



Виды работ

Максимальное количество баллов

Модуль 1

Модуль 2

Итого

Аудиторные занятия










Лекции

8

8

16

Практические занятия

8

8

32

Самостоятельная работа

16

16

32

Итого за работу в семестре

32

32

64

Обобщающий контроль

18

18

36

Итого

50

50

100

11 семестр



Виды работ

Максимальное количество баллов

Модуль 1

Модуль 2

Итого

Аудиторные занятия










Лекции

-

-

-

Практические занятия

16

16

32

Самостоятельная работа

16

16

32

Итого за работу в семестре

32

32

64

Обобщающий контроль

18

18

36

Итого

50

50

100

7.2.2. Оценивание аудиторной работы студентов

Таблица 6

9 семестр





Наименование раздела дисциплины

Формы оцениваемой работы

Максимальное количество баллов

Модуль (аттестация)

Работа на практических (семинарских, лабораторных) занятиях

1

Функциональный анализ

– выполнение учебных индивидуальных и групповых заданий в ходе практических занятий

– ответы на вопросы



8


1

2

Функциональный анализ

– выполнение учебных индивидуальных и групповых заданий в ходе практических занятий;

– выступление на занятии, ответы на вопросы



8

1

3

Функциональный анализ

– выполнение учебных индивидуальных и групповых заданий в ходе практических занятий;

– выполнение аудиторной контрольной работы в форме теста



8



2

10 семестр





Наименование раздела дисциплины

Формы оцениваемой работы

Максимальное количество баллов

Модуль (аттестация)

Работа на практических (семинарских, лабораторных) занятиях

1

Теория линейных операторов

– выполнение учебных индивидуальных и групповых заданий в ходе практических занятий

– ответы на вопросы



8


1

2

Теория линейных операторов

– выполнение учебных индивидуальных и групповых заданий в ходе практических занятий;

– выступление на занятии, ответы на вопросы



8

1

3

Теория линейных операторов

– выполнение учебных индивидуальных и групповых заданий в ходе практических занятий;

– выполнение аудиторной контрольной работы в форме теста



8



2

11 семестр





Наименование раздела дисциплины

Формы оцениваемой работы

Максимальное количество баллов

Модуль (аттестация)

Работа на практических (семинарских, лабораторных) занятиях

1

Комплексный анализ

– выполнение учебных индивидуальных и групповых заданий в ходе практических занятий

– ответы на вопросы



8


1

2

Комплексный анализ

– выполнение учебных индивидуальных и групповых заданий в ходе практических занятий;

– выступление на занятии, ответы на вопросы



8

1

3

Комплексный анализ

– выполнение учебных индивидуальных и групповых заданий в ходе практических занятий;

– выполнение аудиторной контрольной работы в форме теста



8



2

7.2.3. Оценивание самостоятельной работы студентов

Таблица 7

9 семестр





Наименование раздела (темы) дисциплины

Формы оцениваемой работы

Максимальное количество баллов

Модуль (аттестация)

1

Функциональный анализ

– выполнение домашних заданий: – подготовка выступлений,

– решение примеров



4
4

1

2

Функциональный анализ

– подготовка выступлений, презентаций;

- решение примеров



4

4


1

3

Функциональный анализ

– подготовка выступлений, презентаций;

– решение уравнений



4
4

2

10 семестр





Наименование раздела (темы) дисциплины

Формы оцениваемой работы

Максимальное количество баллов

Модуль (аттестация)

1

Теория линейных операторов

– выполнение домашних заданий: – подготовка выступлений,

– решение примеров



4
4

1

2

Теория линейных операторов

– подготовка выступлений, презентаций;

- решение примеров



4

4


1

3

Теория линейных операторов

– подготовка выступлений, презентаций;

– решение уравнений



4
4

2

11 семестр





Наименование раздела (темы) дисциплины

Формы оцениваемой работы

Максимальное количество баллов

Модуль (аттестация)

1




– выполнение домашних заданий: – подготовка выступлений,

– решение примеров



4
4

1

2

Комплексный анализ

– подготовка выступлений, презентаций;

- решение примеров



4

4


1

3

Комплексный анализ

– подготовка выступлений, презентаций;

– решение уравнений



4
4

2


7.3. Оценочные средства промежуточной аттестации

Вопросы к зачету:



  1. Метрические пространства. Примеры.

  2. Последовательность в метрическом пространстве и её предел.

  3. Полные и неполные метрические пространства.

  4. Нормированные и банаховы пространства.

  5. Евклидовы пространства. Примеры.

  6. Ортогональность. Процесс ортогонализации. Элемент наилучшего приближения.

  7. Гильбертово пространство. Примеры.

  8. Ряд Фурье элемента. Полные ортогональные системы. Равенство Парсеваля.

  9. Понятие топологической структуры. Примеры топологических пространств.

  10. Свойства открытых и замкнутых множеств топологического пространства.

  11. Непрерывность и гомеоморфизм.

  12. Компактность топологических пространств.

  13. Линейный оператор и его свойства.

  14. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

  15. Симметричный линейный оператор в конечномерном евклидовом пространстве.

  16. Линейный оператор в нормированном пространстве. Непрерывность и ограниченность оператора.

  17. Нормированное пространство непрерывных операторов.

  18. Симметричный линейный оператор в гильбертовом пространстве.

  19. Основные понятия теории функций комплексного переменного.

  20. Области и континуумы.

  21. Предел функции комплексного переменного.

  22. Непрерывность функции комплексного переменного.

  23. Показательная функция комплексного переменного.

  24. Дробно-линейная функция.

  25. Риманова поверхность. Бесконечно удаленная точка.

  26. Отображение посредством показательной функции.

  27. Конформные отображения посредством дробно-линейной функции.


Примерная тематика рефератов

1. Компактные множества в метрических пространствах.



  1. Терема о стягивающих шарах.

  2. Собственные числа и собственные векторы линейных операторов в конечномерных пространствах.

8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
8.1 Основная литература

  1. Ворович И.И. Функциональный анализ и его приложения в механике сплошной среды: учеб. пособ. / И.И. Ворович, Л.П. Лебедев.- 3-е изд.- М.: Вузовская книга, 2011.- 320с.

  2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 2009 г.

  3. Привалова И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного : учеб. для студ. вузов. - 15-е изд. - СПб. : Лань, 2009. - 432 с. : ил. - (Учебники для вузов. Специальная литература)

8.2 дополнительная литература:



  1. Акилов Г.П., Дятлов В.Н. Основы математического анализа. -. Новосибирск, Наука, 1980.

  2. Вайнберг М.М. Функциональный анализ. Специальный курс. – М.: Просвещение, 1980.

  3. Канторович Л.В. Функциональный анализ. - М.: БХВ-Петербург: Невский диалект, 2004.

  4. Порошкин А.Г. Функциональный анализ. - М.: Вузовская книга, 2004.

  5. Рудин У. Функциональный анализ. - 2-е изд. - М.: Лань, 2005.

  6. Садовничий В.А. Теория операторов: Учебник для вузов. – М.: Дрофа, 2001.

  7. Тихонов А.Н. и др. Дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1998.Треногин В.А. Функциональный анализ: Учебник. - М.: Физматлит, 2003.

в) периодические издания



  1. Квант.

г) Интернет-ресурсы

1. Учебный портал www.tgspa.ru

2. Рефераты, тесты, новости образования – www.5balloy.ru

3. Российская государственная библиотека – www.rsl.ru



9. Материально-техническое обеспечение дисциплины

  1. Технические средства обучения: компьютер, принтер, ксерокс (для подготовки материалов для учебного процесса).

  2. Аудитории с мультимедийным обеспечением.

  3. Программное обеспечение: 1) MS Excel 2) Power Point.

Приложение 1. Лекционные материалы

Тема 1

Метрические и топологические пространства

Вопросы для обсуждения



  1. Метрические пространства. Примеры.

  2. Геометрия метрического пространства.

  3. Линейные нормированные пространства. Полные метрические пространства. Компактность.

  4. Сходимость в метрических пространствах.

  5. Компактные метрические пространства.


Тема 2

Мера и интеграл Лебега, измеримые функции

Вопросы для обсуждения



  1. Интеграл Римана. Ступенчатые функции.

  2. Функции, - малые по Лебегу.

  3. - приближенная функция.

  4. Мера Лебега и ее свойства.

  5. Множества меры нуль.


Тема 3

Банаховы пространства

Вопросы для обсуждения



  1. Теорема Хана – Банаха в нормированном пространстве и некоторые ее следствия.

  2. Линейные функционалы в счетно-нормированном пространстве.


Тема 4

Принцип сжимающих отображений и его применение

Вопросы для обсуждения



  1. Непрерывные отображения метрических пространств.

  2. Свойства непрерывных отображений.

  3. Непрерывные отображения компактов.

  4. Связные метрические пространства.

  5. Принцип сжимающих отображений и его применение.


Тема 5
Определение линейного оператора. Взаимосвязь непрерывности и ограниченности операторов

Вопросы для обсуждения



  1. Определения линейного функционала и линейного оператора.

  2. Представление линейных функционалов в линейных, нормированных, гильбертовых пространствах.

  3. Линейные функционалы в счетно-нормированном пространстве.


Тема 6

Собственные числа и собственные векторы линейного оператора

Вопросы для обсуждения



  1. Собственные значения и собственные функции линейного оператора.

  2. Спектр оператора. Спектральная функция.

  3. Интегралы по спектральной функции. Основная спектральная теорема.

  4. Альтернатива Фредгольма.

  5. Сопряженные и самосопряженные операторы. Описание спектра самосопряженного оператора при помощи его спектральной функции.


Тема 7

Симметричные операторы Фредгольма

Вопросы для обсуждения



  1. Операторнозначные функции.

  2. Аналитические и мероморфные функции.

  3. Ряд Неймана и аналитическое свойство резольвенты.

  4. Теорема Келдыша.

  5. Корневые векторы и корневые подпространства несамосопряженных операторов.


Тема 8

Взаимосвязь непрерывности и ограниченности операторов

Вопросы для обсуждения




  1. Постановка задачи. Дефектные подпространства симметрического оператора. Преобразование Кэли. Формула фон Неймана.

  2. Размерность по модулю. Индекс дефекта.

  3. Описание симметрических расширений данного симметрического оператора. Расширения с выходом из гильбертова пространства.

  4. Спектры самосопряженных расширений симметрического оператора.


Приложение 2. Практические занятия
Темы практических занятий

Тема 1

Метрические и топологические пространства

Вопросы для обсуждения



  1. Метрические пространства. Примеры.

  2. Геометрия метрического пространства.

  3. Линейные нормированные пространства. Полные метрические пространства. Компактность.

  4. Сходимость в метрических пространствах.

  5. Компактные метрические пространства.


Тема 2

Мера и интеграл Лебега, измеримые функции

Вопросы для обсуждения



  1. Интеграл Римана. Ступенчатые функции.

  2. Функции, - малые по Лебегу.

  3. - приближенная функция.

  4. Мера Лебега и ее свойства.

  5. Множества меры нуль.


Тема 3

Банаховы пространства

Вопросы для обсуждения



  1. Теорема Хана – Банаха в нормированном пространстве и некоторые ее следствия.

  2. Линейные функционалы в счетно-нормированном пространстве.


Тема 4

Принцип сжимающих отображений и его применение

Вопросы для обсуждения



  1. Непрерывные отображения метрических пространств.

  2. Свойства непрерывных отображений.

  3. Непрерывные отображения компактов.

  4. Связные метрические пространства.

  5. Принцип сжимающих отображений и его применение.


Тема 5
Определение линейного оператора. Взаимосвязь непрерывности и ограниченности операторов

Вопросы для обсуждения



  1. Определения линейного функционала и линейного оператора.

  2. Представление линейных функционалов в линейных, нормированных, гильбертовых пространствах.

  3. Линейные функционалы в счетно-нормированном пространстве.


Тема 6

Собственные числа и собственные векторы линейного оператора

Вопросы для обсуждения



  1. Собственные значения и собственные функции линейного оператора.

  2. Спектр оператора. Спектральная функция.

  3. Интегралы по спектральной функции. Основная спектральная теорема.

  4. Альтернатива Фредгольма.

  5. Сопряженные и самосопряженные операторы. Описание спектра самосопряженного оператора при помощи его спектральной функции.


Тема 7

Симметричные операторы Фредгольма

Вопросы для обсуждения



  1. Операторнозначные функции.

  2. Аналитические и мероморфные функции.

  3. Ряд Неймана и аналитическое свойство резольвенты.

  4. Теорема Келдыша.

  5. Корневые векторы и корневые подпространства несамосопряженных операторов.


Тема 8

Взаимосвязь непрерывности и ограниченности операторов

Вопросы для обсуждения




  1. Постановка задачи. Дефектные подпространства симметрического оператора. Преобразование Кэли. Формула фон Неймана.

  2. Размерность по модулю. Индекс дефекта.

  3. Описание симметрических расширений данного симметрического оператора. Расширения с выходом из гильбертова пространства.

  4. Спектры самосопряженных расширений симметрического оператора.


Тема 9

Комплексные числа

Вопросы для обсуждения



  1. Комплексные числа, действия над ними.

  2. Алгебраические и тригонометрические формы записи комплексного числа.

  3. Модуль и аргумент комплексного числа.



Тема 10

Функции комплексного переменного. Конформные отображения

Вопросы для обсуждения



  1. Конформные отображения.

  2. Элементарные функции комплексного переменного (степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические).

  3. Примеры задаваемых отображений.


Тема 11

Интегральная теорема Коши

Вопросы для обсуждения



  1. Первообразная и интеграл.

  2. Интегральное определение логарифма.

  3. Интегральная формула Коши.


Тема 12

Ряд Лорана

Вопросы для обсуждения



  1. Разложение аналитических функций в ряд Лорана.

  2. Классификация изолированных особых точек.

  3. Вычеты, их применение для вычисления интегралов


Приложение 3. Лабораторный практикум – не предусмотрен
Приложение 4. Самостоятельная работа студентов
4.1. Задания для самостоятельной работы

– подготовка выступлений по теме занятия;

– подготовка презентаций;

– подготовка выступления по проблеме исследования магистранта;



- решение примеров.

Приложение 5. Контролирующие и оценочно-диагностические материалы по дисциплине



Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3   4   5   6   7   8


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2019
обратиться к администрации

войти | регистрация
    Главная страница


загрузить материал