Выпускная работа по «Основам информационных технологий»



страница1/5
Дата28.07.2017
Размер0,5 Mb.
  1   2   3   4   5

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ


Выпускная работа по
«Основам информационных технологий»


Магистрант

кафедры теории функций, ММФ

Заренок Максим Александрович

Руководители:

доцент кафедры теории функций

Рогозин Сергей Васильевич,

старший преподаватель

Кожич Павел Павлович

Минск – 2008 г.

Оглавление.


Реферат на тему: 3

«Описание областей влияния базисных вейвлет-функций при помощи ИТ и построение решения задачи Дирихле для некоторых специальных областей.» 3

Введение. 3

Глава 1. Обзор литературы. 6

Глава 2. Методика исследования. 8

Глава 3. Основные результаты. 13

Глава 4.Обсуждение результатов. 21

Заключение. 23

Список литературы. 25

Предметный указатель. 26

Действующий личный сайт. 29

Граф научных интересов. 30

Презентация магистерской диссертации. 33

Список литературы к выпускной работе. 36

Приложения. 37



Реферат на тему:

«Описание областей влияния базисных вейвлет-функций при помощи ИТ и построение решения задачи Дирихле для некоторых специальных областей

Введение.

Теория вейвлетов, или как их еще называют – всплесков, имеет истоки в таких классических областях математики, как теория функций вещественного переменного, теория функций комплексного переменного, функциональный анализ, анализ Фурье. Фактически вейвлет-анализ возник как обобщение анализа Фурье для исследования сильно локализованных нелинейных волновых процессов, которые следовало изучать в некоторых фиксированных диапазонах частот. Анализ Фурье – это хорошо разработанное направление, занимающее центральное место в математическом анализе и его приложениях. Фундаментальное значение во всех разделах науки и техники имеют не только его технические приемы, но и возможности наглядной физической интерпретации. Более того, вычислительные аспекты рядов Фурье особенно привлекательны главным образом по причине свойства ортогональности этих рядов и простоты их выражения с использованием только двух функций: cos(x) и sin(x).

Так же, как и в анализе Фурье, «вейвлет-анализ» имеет два существенных и важных раздела: «интегральное вейвлет-преобразование» и «вейвлет-ряды».

Под термином вейвлет-преобразования понимается либо:



  • интегральное вейвлет-преобразование;

в отличие от традиционного применяемого для анализа сигналов преобразования Фурье вейвлет-преобразование обеспечивает двумерную развертку исследуемого одномерного сигнала, при этом частота и координата рассматриваются как независимые переменные. В результате появляется возможность анализировать свойства сигнала одновременно в пространственной и частотной областях.

  • полудискретное вейвлет-преобразование определяет коэффициенты заданной функции в специально сконструированном вейвлет-базисе;

В этом случае вейвлет-преобразование одномерного сигнала состоит в его разложении по базису, сконструированному из обладающей определенными свойствами функции (вейвлета) посредствам масштабных изменений переносов. Каждая из функций этого базиса характеризует как определенную пространственную (временную) частоту, так и ее локализацию в физическом пространстве (времени).

  • дискретное вейвлет-преобразование – дискретному набору данных ставится в соответствие дискретный набор характеристик соответствующих частот.

Таким образом, в отличие от традиционного применяемого для анализа сигналов преобразования Фурье вейвлет-преобразование обеспечивает двумерную развертку исследуемого одномерного сигнала, при этом частота и координата рассматриваются как независимые переменные. В результате появляется возможность анализировать свойства сигнала одновременно в пространственной и частотной областях.

Далеко не случайно многие исследователи называют вейвлет-анализ «математическим микроскопом» - название прекрасно отражает замечательное свойство метода сохранять хорошее разрешение на разных масштабах. Очень важна способность этого «микроскопа» обнаруживать внутреннюю структуру существенно неоднородного объекта и изучить его локальные свойства.

Способность вейвлетов найти идеальный компромисс между локализацией по времени и по чистоте путем автоматического выбора и подгонки под исследуемый сигнал ширин окна по обеим осям, соразмеряя их с положениями центров, является решающей характеристикой для их успешного использования при анализе сигналов сложной формы. Вейвлет-преобразование расчленяет сигнал (функцию) на отдельные частотные компоненты, что дает возможность изучать каждую из компонентой с разрешением, соответствующим ее масштабу, и, таким образом, получать хорошую частотно-временную локализацию.

Основной целью работы является решение задачи Дирихле для области ограниченной концентрическими окружностями в терминах вейвлет-анализа.

Особенностью поставленной задачи является, то, что она решается при помощи вейвлет-рядов. В работе используются ранее полученные результаты для концентрического кольца, описанные в статьях Субботина и Черных, где был построен базис гармонических в концентрическом кольце функций и через этот базис выражено решение задачи Дирихле для концентрических окружностей. Данное решение представляется в виде ряда, который содержит бесконечное число слагаемых.

Решение поставленной задачи достигается при помощи определения зон влияния базисных вейвлет-функций и, в частности, слагаемых, содержащихся в этих функциях, т.к. вейвлет-базисы могут быть хорошо локализованными как по частоте, так и по времени. При выделении в сигналах хорошо локализованных разномасштабных процессов можно рассматривать только те масштабные уровни разложения, которые представляют целевой интерес.

Глава 1. Обзор литературы.

Уже имеются сотни, а, может быть и тысячи работ, посвященных вейвлетам. Поэтому представленный обзор далек от того что бы быть полным. Здесь указанные основные книги и авторы, которые необходимы для ознакомления с данной темой.

Две классические книги по вейвлет-теории написаны двумя основоположниками предмета: Иовом Мейером (1990) и Ингрид Добеши (1992). Книга Мейера требует знания математики на исследовательском уровне, в то время как книга Добеши доступна для более широкой аудитории. Много плодотворных результатов по вейвлет-теории впервые были представлены в работах Мейера (1985 – 1986), Малла (1988), Добеши (1988). Затем появились некоторые вытекающие из них монографии по вейвлетам (Чуи, Кайзер, Коорвиндер). Наиболее продвинутая и понятная книга, ориентированная на изложение математической теории вейвлетов, - это книга Хернандеза и Вайса (1996).

Выше перечисленные ученые – специалисты в чистой математике, квантовой механике, инженеры-электрики и инженеры акустики, при этом временной диапазон 80 – 90-ые года ХХ столетия. В дальнейшем, ввиду большой научной и практической актуальности, вейвлетами стали заниматься более широкий круг ученых.

Имеется несколько важных направлений развития основ вейвлет-теории:


  • вейвлет-пакеты (Куафман, 1989);

  • применение вейвлетов в сжатии сигналов (Викерхаузер, 1992);

  • вейвлеты и обработка сигналов (Теолис, 1998);

  • сжатие изображений и обработка изображений (улучшение контрастности) (Риул, 1991; Хилтон, 1994);

и т.д.

Одно из наиболее плодотворных применений вейвлетов – это численные методы решения дифференциальных уравнений. В качестве примеров можно привести статьи Жаффара (1992), Белкина (1993).



Глава 2. Методика исследования.

Определение. Если удовлетворяет условию «допустимости»:

,

то называется «базисным вейвлетом». Относительно каждого базисного вейвлета интегральное преобразование на определяется формулой

, ,

где и .

Определение. Тождественно не равная нулю функция называется функцией-окном, если так же принадлежит . Центр и радиус функции-окна определяются как



и

,

соответственно; ширина функции окна равняется .

Пусть - базисный вейвлет, такой что и его преобразование Фурье являются функциями-окнами с центрами и радиусами соответственно. Тогда ясно, что интегральное вейвлет-преобразование



аналогового сигнала , локализует сигнал во «временном окне» , с центром окна в и шириной, равной . В анализе сигналов это носит название «временной локализации».



Изложим вкратце результаты полученные при решении задачи Дирихле для концентрического кольца в работах. Эти результаты являются базой для наших дальнейших построений и рассуждений.

Системы функций являются базисами различных пространств гармонических в единичном круге функций. Здесь , , и при

,

- функция, тригонометрически сопряженная к

, - произвольные гладкие функции со следующими свойствами:

при ;

при ;

при ;

при и считается, что .

Так же в рассмотрение можно ввести следующие системы гармонических функций



в кольце . Каждая из систем является базисом различных пространств гармонических в кольце функций.



Пусть , - непрерывные -периодические (вещественные) функции. Можно видеть, что систему при любом и можно использовать для представления решения задачи Дирихле

для кольца . А именно, справедлива формула



,

где , т.е. решение представляется в виде вейвлет ряда с бесконечным числом слагаемых.

Таким образом используя полученное ранее решение и основное свойство вейвлетов, а именно, их частотно-временную локализацию, будем искать области влияния базисных функций.

Первой сложностью, с которой мы сталкиваемся, является то, что мы работаем с функциями комплексной переменной, а предложенные формулы для функций вещественной переменной. Эту проблему мы решаем в ручную: путем замены переменных в интеграле и дальнейшим его вычислением по области ограниченной единичной окружностью с центром в начале координат. Но для вычисления интегралов и построения областей влияния используются возможности пакета Mathematica.

Пакет Mathematica является программным средством для проведения фундаментальных и прикладных математических исследований широкого спектра проблем современного естествознания.



Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3   4   5


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница