Вопросы для подготовки к экзамену Математика Группы: 501а, 503а, 503б, 503в, 503г. Алгебра и начала математического анализа



Скачать 81,47 Kb.
Дата31.07.2017
Размер81,47 Kb.
Вопросы для подготовки к экзамену
Математика
Группы: 501а, 503а, 503б, 503в, 503г.
Алгебра и начала математического анализа

  1. Производная и ее приложения.

  • Определение касательной к кривой. Основные типы задач с касательными: уравнение касательной к графику функции в заданной точке графика; уравнение касательной к графику функции, проходящей через заданную точку плоскости; касание графиков функций, нахождение точек касания.

  • Определение возрастающей (убывающей) функции. Достаточное условие монотонности функции на промежутке. Определение экстремума функции. Критические точки функции. Достаточное условие экстремума функции (первое правило). Точки перегиба. Определение наибольшего и наименьшего значений функции на (числовом) множестве. Исследование функций, построение графиков многочленов (полная схема).

  1. Основные теоремы дифференциального исчисления.

  • Производная обратной функции.

  • Теоремы Ролля и Лагранжа (без доказательств).

  • Необходимое условие экстремума функции (теорема Ферма).

  • Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке (теорема Вейерштрасса ─ без доказательства).

  1. Производные высших порядков.

  • Определение производных высших порядков.

  • Общие формулы для производных любого порядка.

  • Формула Тейлора для многочлена.

  • Разложение произвольной функции (дополнительный член в форме Пеано).

  1. Комплексные числа.

  • Определение комплексных чисел. Алгебраическая форма записи комплексного числа. Модуль, сопряженные комплексные числа. Операции над комплексными числами и их свойства. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Квадратный корень из комплексного числа. Решение квадратных уравнений с комплексными коэффициентами.

  • Комплексная плоскость. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Формула Муавра. Доказательство тригонометрических тождеств.

  • Извлечение корня степени из комплексного числа. Правильный многоугольник и его связь с корнями из единицы. Построение правильных многоугольников.

  • Изображение множеств в комплексной плоскости, удовлетворяющих заданным условиям.

  1. Многочлены от одной переменной.

  • Многочлен и одночлен. Определение многочлена от одной переменной. Степень многочлена. Операция сложения и умножения многочленов, основные свойства. Деление многочленов с остатком. Существование и единственность неполного частного и остатка. Алгоритм деления. Схема Горнера.

  • Корень многочлена. Теорема Безу.




  1. Корни многочлена от одной переменной.

  • Алгебраическое уравнение. Нахождение рациональных корней алгебраических уравнений. Основная теорема алгебры (без доказательства). Разложение многочлена на неприводимые множители над множеством действительных чисел. Алгоритм нахождения корней уравнения n-й степени.

  • Теорема Виета, обобщенная теорема Виета. Частные случаи теоремы Виета для уравнений второй и третьей степеней и их применение при решении уравнений и неравенств с параметрами.

  1. Первообразная и неопределенный интеграл.

  • Первообразная и неопределенный интеграл.

  • Определение первообразной и неопределенного интеграла и его простей-шие свойства.

  • Обращение таблицы производных в таблицу первообразных. Простейшие примеры на вычисление первообразных.

  1. Определенный интеграл. Вычисление площадей.

  • Определенный интеграл. Вычисление площадей.

  • Понятие площади. Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.

  • Вычисление площадей фигур, ограниченных заданными кривыми.

  1. Высказывания. ГМТ. Множества.

  • Высказывания и операции над ними. Необходимые и достаточные условия.

  • Прямая, обратная, противоположная, противоположная к обратной теоремы и их связь между собой.

  • Определение ГМТ на плоскости и в пространстве. Задачи на ГМТ на плоскости и в пространстве.

  • Неопределенные высказывания. Кванторы всеобщности и существования.

  • Множества и операции над ними.

  1. Уравнения и неравенства с параметрами.

  • Задачи, связанные с явными условиями на корни квадратного уравнения. Задачи с использованием теоремы Виета.

  • Уравнения, сводящиеся к квадратным, но с ограничениями на область определения.

  • Задачи с условием целочисленности корней.

  • Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными и параметром.

  • Неравенства с параметром.

  1. Обобщающее повторение всего курса.

  • Текстовые задачи. Задачи с параметрами.

  • Тригонометрические уравнения. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции.

  • Уравнения и неравенства с модулем и иррациональностями. Задачи на доказательство неравенств.

  • Нестандартные приемы решений уравнений и неравенств: оценка левой и правой частей, использование монотонности, непрерывности.


Геометрия.


  1. Кривые второго порядка.

  • Окружность. Преобразование прямоугольной декартовой системы координат.

  • Эллипс. Исследование формы эллипса по его уравнению. Эксцентриситет эллипса. Построение эллипса. Эллипс как проекция окружности на плоскость и как результат сжатия к ее диаметру.

  • Гипербола. Исследование формы гиперболы по ее уравнению. Эксцентриситет гиперболы. Построение гиперболы.

  • Парабола. Исследование уравнения параболы. Построение параболы, параллельный перенос.

  1. Вычислительные задачи стереометрии.

  • Повторение стереометрии: различные приемы решения основных стереометрических задач на вычисление величин углов между прямыми, между плоскостями, между прямой и плоскостью, на вычисление расстояний от точки до плоскости, между скрещивающимися прямыми. Задачи на вычисление площадей сечений.

  • Правильные многогранники и их виды. Трехгранный и многогранный угол. Теоремы косинусов и синусов для трехгранного угла.

  • Задачи повышенной трудности.

  1. Метод координат в пространстве.

  • Векторы в пространстве. Сумма и разность векторов, умножение вектора на число. Коллинеарные векторы. Компланарные векторы. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Введение прямоугольной декартовой системы координат в пространстве. Связь координат точки с векторами. Представление точек прямой в векторном виде.

  • Деление отрезка в заданном отношении. Скалярное произведение двух векторов и его свойства. Скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами. Вычисление углов между векторами.

  • Векторное и смешанное произведение векторов. векторное произведение двух векторов и его свойства. Векторное произведение двух векторов, заданных своими координатами. Смешанное произведение трех векторов и его свойства. Смешанное произведение трех векторов, заданных своими координатами.

  • Различные виды уравнения плоскости: уравнение плоскости, проходящей через заданную точку ортогонально заданному ненулевому вектору; общее уравнение плоскости, геометрический смысл коэффициентов; уравнение плоскости в отрезках на осях; уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум заданным ненулевым векторам; уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

  • Взаимное расположение двух плоскостей: условие ортогональности, условие параллельности, условие совпадения, условие пересечения. Формула вычисления величины угла между плоскостями, двугранных углов.

  • Различные виды уравнений прямых: параметрические уравнения прямой; уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному ненулевому вектору; уравнения прямой, проходящей через две заданные точки; прямая как пересечение двух плоскостей.

  • Взаимное расположение двух прямых: условие принадлежности двух прямых одной плоскости; скрещивающиеся прямые; условие параллельности двух прямых; условие ортогональности двух прямых. Вычисление величины угла между прямыми.

  • Взаимное расположение прямой и плоскости: условие параллельности прямой и плоскости; условие перпендикулярности прямой и плоскости. Вычисление величины угла между прямой и плоскостью.

  • Вычисление расстояний в пространстве: формулы вычисления расстояния между двумя точками, от точки до плоскости, от точки до прямой, между скрещивающимися

  • прямыми.

  • Уравнение сферы. Приведение уравнения к стандартному виду. Составление уравнения сферы, описанной около тетраэдра. Пересечение сферы с плоскостью. Пересечение двух сфер.

  1. Задачи со сферами.

  • Сфера, касающаяся одной, двух, трех и четырех плоскостей.

  • Касание сферы с прямой.

  • Касание двух сфер.

  • Задачи на сферы, проходящие через заданные точки и касающиеся прямых, плоскостей и сфер.

  1. Преобразования плоскости и задачи на построение.

  • Движения и их виды: симметрия (осевая, центральная), параллельный перенос, поворот и их свойства. Примеры на применение движений при решении планиметрических задач.

  • Преобразование подобия и его свойства. Определение подобных фигур.

  • Отношение площадей подобных фигур.

  • Примеры на применение преобразования подобия при решении планиметрических задач.

  • Задачи на построение. Алгебраический метод решения задач на построение.

  • Классификация основных геометрических методов решения задач на построение: ГМТ, метод подобия, метод симметрии, метод параллельного переноса, метод поворота.

  1. Обобщающее повторение всего курса.

  • Задачи с параметрами.

  • Планиметрические задачи на вычисление и доказательство.

  • Стереометрические задачи на вычисление и доказательство.


Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница