Вопросы ко второму коллоквиуму по линейной алгебре



Скачать 20,28 Kb.
Дата21.10.2016
Размер20,28 Kb.
Вопросы ко второму коллоквиуму

по линейной алгебре


  1. Определение линейного оператора. Матрица линейного оператора. Ядро и образ линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе от одного базиса к другому (с доказательством).

  2. Инвариантное подпространство линейного оператора. Собственное значение и собственный вектор, собственное подпространство, геометрическая кратность собственного значения. Теорема о линейной независимости собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям (с доказательством). Характеристический полином линейного оператора, алгебраическая кратность собственного значения. Условие, при котором матрица линейного оператора диагональна (с доказательством).

  3. Билинейная форма. Симметричная билинейная форма. Квадратичная форма, теорема о восстановлении симметричной билинейной формы по квадратичной. Матрица билинейной формы, ее преобразование при переходе от одного базиса к другому (с доказательством). Матрица квадратичной формы.

  4. Канонический (диагональный) вид квадратичной (билинейной) формы. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду.

  5. Закон инерции квадратичных форм (с доказательством).

  6. Знакоопределённые квадратичные формы. Критерий Сильвестра (с доказательством; если доказательство основано на методе Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду — метод Якоби должен быть полностью изложен).

  7. Евклидовы и унитарные пространства. Скалярное произведение, неравенство Коши—Буняковского (с доказательством), ковариантный метрический тензор, контравариантный метрический тензор.

  8. Ортогональная проекция вектора на подпространство, оператор ортогонального проектирования на подпространство, ортогональное дополнение к подпространству. Процесс ортогонализации Грама—Шмидта (с доказательством).

  9. Сопряжённый оператор (определение, простейшие свойства), формула для матрицы сопряжённого оператора в произвольном базисе (с доказательством).

  10. Вторая теорема Фредгольма в операторной формулировке (с доказательством).

  11. Линейный самосопряжённый оператор (определение, простейшие свойства). Теорема о вещественности собственных значений самосопряжённого оператора (с доказательством). Теорема об ортогональности собственных векторов самосопряжённого оператора, соответствующих различным собственным значениям (с доказательством). Теорема о вещественности корней характеристического полинома (продолженного на ) самосопряжённого оператора. Теорема о существовании ортонормированного базиса, состоящего из собственных векторов самосопряжённого оператора(с доказательством).

  12. Спектральное разложение самосопряжённого оператора. Теорема о существовании ортонормированного базиса, в котором матрица симметричной билинейной формы в евклидовом пространстве диагональна (с доказательством). Одновременное приведение матриц двух симметричных билинейных форм к диагональному виду.


Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница