Вопросы по курсу "теория функций комплексной переменной"



Скачать 45,22 Kb.
Дата21.08.2017
Размер45,22 Kb.
ВОПРОСЫ ПО КУРСУ

"ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ",

выносимые на экзамен в 2015 г.


Общие вопросы MUST KNOW:

Определения и формы комплексных чисел, геометрическая интерпретация комплексных чисел и действий над ними. Множества на комплексной плоскости. Понятия области, ее границы, ее связности. Понятие функции комплексной переменной. Однозначные/многозначные, однолистные/многолистные функции. Однозначные ветви многозначных функций. Точки ветвления. Предел функции комплексной переменной. Непрерывность. Свойства первообразных аналитической функции. Интегралы Коши и типа Коши. Граничные значения функций. Условия Гельдера. Теоремы о разложениях функции в окрестности бесконечно удаленных изолированных особых точек. Принцип симметрии. Теорема Римана. Теорема о единственности конформного отображения.





  1. Предел последовательности комплексных чисел. Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности комплексных чисел [д]. Теорема Вейерштрасса (об ограниченной последовательности) [д].

  2. Критерий Коши сходимости последовательности [д]. Понятие бесконечно удаленной точки. Расширенная комплексная плоскость. Стереографическая проекция.

  3. Производная функции. Необходимые и достаточные условия ее существования [д]. Условия Коши-Римана в полярных координатах.

  4. Условия Коши-Римана в комплексных координатах. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.

  5. Аналитические функции и их свойства [д].

  6. Элементарные функции комплексной переменной: классификация и свойства.

  7. Функция Жуковского и обратная к ней.

  8. Экспонента и логарифм.

  9. Степенные функции с произвольным показателем (сопоставление и классификация).

  10. Тригонометрические и гиперболические функции и обратные к ним.

  11. Интеграл от функции комплексной переменной по кусочно-гладкому контуру (два способа введения), его свойства, параметризация.

  12. Понятие контура. Интеграл по замкнутому контуру: примеры для однозначной и многозначной функции.

  13. Формула Ньютона – Лейбница [д]. Возможность применения формулы Ньютона–Лейбница в случае многозначной производной. Определение индекса замкнутого контура.

  14. Вычисление интегралов от рациональных функций. Свойства индекса замкнутого контура.

  15. Интегральная теорема Коши (для односвязной области: нестрогое д-во, схема строго д-ва, предельный случай; для многосвязной области: неприменимость, применимость с д-вом).

  16. Интегральная формула Коши для многосвязной области [д]. Интегральная формула Коши для произвольного замкнутого кусочно-гладкого контура в односвязной области [д].

  17. Интегральная формула Коши для бесконечной области [д].

  18. Теорема о производных интеграла типа Коши [д] [лемму можно б/д]. Формулировка теоремы о бесконечной дифференцируемости аналитических функций.

  19. Главное значение интеграла типа Коши на линии интегрирования [д].

  20. Главное значение интеграла по бесконечной прямой. Граничные значения функций. Формулы Сохоцкого–Племеля.

  21. Лемма о постоянстве аналитической функции [д]. Теорема Лиувилля [д]. Лемма Шварца [д].

  22. Теорема Морера [д]. Принцип максимума модуля [д].

  23. Равномерная сходимость (теоремы о пределе последовательности равномерно сходящихся функций и интегралов от них [б/д]). Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда [б/д]. Теоремы Вейерштрасса (о сумме ряда и его дифференцировании) [д].

  24. Степенные ряды. Ряд Тейлора. Теорема Тейлора/Коши [д].

  25. Теорема Абеля [д]. Следствия из теоремы Абеля: о расходимости ряда [д], об области сходимости ряда (суть д-ва), о сумме ряда, о дифференцировании и интегрировании, теорема единственности разложения [д].

  26. Следствия из теоремы Абеля: о радиусе сходимости (гео. интерпретация), теорема Коши–Адамара [д]. Дополнительная формула для радиуса сходимости.

  27. Ряд Лорана, его область сходимости. Аналог теоремы Коши–Адамара [б/д]. Теорема Лорана (часть 2: единственность разложения [д]).

  28. Теорема Лорана (часть 1: вид коэффициентов [д]).

  29. Нули функции (теорема о нулях аналитической функции). Теорема единственности [д].

  30. Изолированные особые точки: по два определения. Теорема о равносильности двух определений для устранимой особой точки [д].

  31. Теорема о равносильности двух определений для полюса [д] и существенно особой точки (с обоснованием). Теорема Сохоцкого–Казорати–Вейерштрасса [б/д].

  32. Определение вычета. Формулы для определения вычета в конечных изолированных особых точках [вывод].

  33. Основная теорема о вычетах [д]. Вычет в бесконечно удаленной точке (включая теорему о полной сумме вычетов [д]).

  34. Вычисление интегралов на промежутке [0, 2П] от функций вида R(cos x, sin x).

  35. Вычисление интегралов по бесконечной прямой от функций, аналитически продолжимых в верхнюю полуплоскость и убывающих на бесконечности (лемма [д], теорема [д]).

  36. Вычисление интегралов от функций, удовлетворяющих лемме Жордана (лемма [д], теорема [д]).

  37. Вычисление несобственных интегралов второго рода.

  38. Вычисление интегралов по полубесконечной прямой от функций вида xa-1f(x) .

  39. Логарифмический вычет [вывод]. Принцип аргумента [д].

  40. Теорема Руше [д]. Основная теорема алгебры [д].

  41. Понятие конформного отображения. Теорема о Н и Д условиях конформности отображения [д]. Конформное отображение бесконечно удаленной точки.

  42. Облегченное условие конформности отображения. Принцип взаимного соответствия границ [д].

  43. Отображение с помощью дробно-линейной функции. Условие единственности [д]. Круговое свойство [д].

  44. Свойство симметрии отображение с помощью дробно-линейной функции [д]. Отображение круга в круг, и полуплоскости в круг.

  45. Интеграл Шварца–Кристоффеля [д].

  46. Сохранение оператора Лапласа при конформном отображении [д].

  47. Задача Дирихле для круга [д].

  48. Связь между гармоническими и аналитическими функциями. Теорема о среднем. Задача Дирихле для полуплоскости [д].

  49. Решение Гурса бигармонического уравнения.


Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница