За цикл работ по приложению математической логики к алгебре и теории моделей



Скачать 59,71 Kb.
Дата13.06.2018
Размер59,71 Kb.

за цикл работ по приложению математической логики к алгебре и теории моделей

Приложения математической логики к алгебре

и теории алгебраических систем
Применение алгебраических методов к все расширяющемуся кругу задач привело к расширению систем объектов, изучаемых алгеброй, и к обобщению понятия самих алгебраических операций. Большую роль в этом сыграло развитие аксиоматического метода, вызванное работами Н.И.Лобачевского по основаниям геометрии, а также развитие общей теории множеств.
Уже в первой работе А.И.Мальцева заключена весьма глубокая идея об общем методе получения так называемых локальных теорем. Доказанная в этой работе локальная теорема для языка узкого исчисления предикатов произвольной сигнатуры утверждает, что произвольное множество формул выполнимо (непротиворечиво) тогда и только тогда, когда непротиворечиво любое конечное подмножество этих формул. В этой же работе доказана теорема о расширении бесконечных моделей. Обе упомянутые теоремы являются одними из важнейших в математической логике и теории моделей – теории, одним из создателей которой по праву считается А.И.Мальцев. Опираясь на свой метод, А.И.Мальцев доказал ряд глубоких теорем теории групп и других алгебраических систем.
В теорию моделей им вводятся понятия, которые ранее обычно изучались в алгебре: операции порождения, производные операции и предикаты, прямые и подпрямые произведения, регулярное произведение, обобщается понятие определяющих соотношений. С этой целью используется язык теории категорий; в терминах категорий даются характеристики различных классов алгебр и моделей.

Мальцев неоднократно возвращался к общей локальной теореме, распространяя ее на классы многоосновных моделей, на проективные и квазиуниверсальные классы моделей, что значительно расширило область применимости этой теоремы.


Представление элементов группы

матрицами
Развитие теории линейных групп в нашей стране во многом обязано Мальцеву. Им получены важные результаты о представлениях бесконечных групп матрицами: локальная теорема для класса групп, представимых матрицами заданной степени, а также теорема о финитной аппроксимируемости конечно порожденной линейной группы. Из последней, в частности, вытекает утверждение о финитной аппроксимируемости свободной группы.
Особое место в научном наследии А.И.Мальцева занимает изучение общей теории топологических алгебраических систем. Им построена общая теория свободных топологических алгебр, вводится новый класс алгебр, называемых, по современной терминологии, алгебрами Мальцева.


Анатолий Иванович Мальцев

академик



Ленинская премия– 1964г.



Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница