Задача: найти оценки для некоторых характеристик распределения наблюдаемой случайной величины. Функция распределения (ф р.)



Скачать 53,12 Kb.
Дата21.10.2016
Размер53,12 Kb.
К блоку заданий II. Оценка параметров.

Результаты эксперимента можно трактовать как независимые реализации случайной величины (сл.в.) , распределение которой неизвестно.

Задача: найти оценки для некоторых характеристик распределения наблюдаемой случайной величины.

1. Функция распределения (ф.р.)

2. Функция плотности (ф.пл.)

3. Математическое ожидание



– характеристика положения сл.в. – центр распределения; если вознамерится охарактеризовать сл.в. с помощью детерминированной (не случайной) константы, то из всех констант даёт наименьшую среднеквадратическую ошибку:

4. Дисперсия , т.е. среднеквадратическое отклонение сл.в. от своего центра (матем.ожидания), стандартное отклонение – характеристики разброса (изменчивости) сл.в.

– по правилу 3-х сигм почти 90% реализаций любой сл.в. попадает в интервал от матем.ожидания ; для нормальной сл.в. имеет место правило 2-х сигм, по которому более 95% реализаций сл.в. попадает в интервал

5. Медиана – характеристика положения сл.в. – центр распределения; для сл.в. с непрерывной функцией распределения

– если распределение симметрично, то

6. Вероятность попадания сл.в. в выбранный интервал :



Определения. Пусть – оцениваемая характеристика (параметр), например, – ф.р. или – матем.ожидание. Тот факт, что вероятность , матем.ожидание и дисперсия вычисляются при истинном значении параметра обозначается через символы , и соответственно.

Оценочная функция – преобразование вектора выборочных данных (статистика) в пространство возможных значений . Значение оценочной функции , полученное по результатам экспериментальных данных, есть оценка характеристики .

Оценка есть реализация сл.в., для которой можно вычислить различные вероятностные характеристики качества. Эти характеристики будут зависеть от истинного значения оцениваемого параметра

– Оценочная функция называется несмещённой (в среднем), если



т.е. матем.ожидание оценочной функции совпадает с истинным значением оцениваемого параметра.

– Оценочная функция (последовательность) называется слабо состоятельной, если при

т.е. с ростом объёма выборки оценочная функция приближается (по вероятности) к истинному значению оцениваемого параметра; последнее означает, что



другими словами, маловероятно, что оценка будет отличаться от истинного значения параметра больше, чем на . Оценочная функция называется состоятельной в среднем квадратическом, если при



т.е. среднеквадратическая ошибка (отклонение от истинного значения параметра) оценочной функции стремится к нулю; для несмещённой оценочной функции последнее эквивалентно условию на дисперсию



Если последовательность оценочных функций состоятельна в среднем квадратическом, то она слабо состоятельна.



Замечание. Свойства состоятельности и несмещённости относятся к оценочной функции, но не к какому-либо конкретному её значению. Поэтому, если, например, по выборочным данным получена оценка медианы , то утверждение, что есть несмещённая оценка для медианы, безграмотно – правильно говорить, что в результате применения несмещённой оценочной функции к выборочным данным получено значение . Сравните со следующей ситуацией. Выбирая банк для сохранения своих средств, вкладчик А узнал, что банк Б относится к группе высоко надёжных сберегательных учреждений с вероятностью возврата вложенных средств 0,9. Глупо утверждать спустя год, что придя в офис банка вкладчик с вероятностью 0,9 получит вложенные средства, особенно, если банк к этому моменту уже разорился.

– (c. 51-52, 53-54) Оценочная функция называется верхней доверительной границей надёжности (или просто верхней -доверительной границей) для параметра , если



т.е. с заданной вероятностью значение будет не меньше истинного значения параметра; в вульгарной интерпретации это утверждение переворачивается и говорится, что с вероятностью истинное значение параметра меньше значения , что, конечно, неверно. Аналогично (в том смысле, что надо проделать самостоятельно) определяется нижняя -доверительная граница. Пара оценочных функций определяет -доверительный интервал для параметра , если



т.е. с заданной вероятностью интервал накроет истинное значение параметра .

Если – нижняя, а – верхняя -доверительные границы, то – доверительный интервал надёжности .

A) Оценки матем.ожидания, дисперсии и медианы распределения наблюдаемой сл.в.:

а) выборочные среднее и дисперсия

б) усечённые выборочные среднее и дисперсия



в) группированные выборочные среднее и дисперсия



г) выборочная медиана – центр вариационного ряда



д) (c. 54-55) доверительный интервал для матем.ожидания нормального закона







е) универсальный доверительный интервал для медианы непрерывного распределения





если обозначить через функцию распределения биномиального закона с числом испытаний и вероятностью «успеха» , то



B) Оценка вероятности события

а) частотная оценка

б) через оценку параметров модели

в) асимптотический доверительный интервал (c. 56-57)







г) точный доверительный интервал через биномиальное распределение (c. 57):

если обозначить через функцию распределения биномиального закона с числом испытаний и вероятностью «успеха» , то нижняя верхняя границы надёжности для параметра находятся как решений уравнений

C) Оценка функции распределения (c. 31-32)

а) эмпирическая ф.р.

б) сравнение с ожидаемой ф.р. (параметры оцениваются методом моментов)

в) расхождение между эмп.ф.р. и ожидаемой ф.р.

D) Оценка плотности (c. 28-30)

а) гистограмма выборки

б) сравнение гистограммы с ожидаемой ф.плотн. (параметры оцениваются методом максимального правдоподобия)



Пример отчёта по данным из задания 1.
A)

а) Оценки по полным данным



б) оценки усечённые



в) группированные оценки: первая граница, шаг , количество групп



д) 95%-доверительный интервал для матем.ожидания





е) 95%-доверительный интервал для медианы распределения






B) Уровень качества:

а) оценка вероятности изготовления качественной продукции

б) в предположении справедливости нормальной модели

в) асимптотический 95%-доверительный интервал



г) точный 95%-доверительный интервал
C)

D)

Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница