1. Некоторые замечания о Геометрии и Компьютере вообще



страница2/5
Дата13.06.2018
Размер0.58 Mb.
1   2   3   4   5

Пример 3. Обобщение гиперболы Киперта.

Автор: Алексей Мякишев.





Как известно, если построить на сторонах произвольного треугольника равнобедренные треугольники с одним и тем же углом при основании (при положительных значениях угла проводим боковые стороны вовне, в противном случае – наоборот), а затем соединить их вершины с соответствующими вершинами исходного треугольника, то полученная тройка прямых всегда будет пересекаться в одной точке, а множество всех таких точек заметает некоторую гиперболу – т.н. гиперболу Киперта.

Попытки отыскать какие-то схожие утверждения привели к следующей, несколько тяжеловесной, конструкции:



В плоскости треугольника АВС выберем произвольную точку Р и рассмотрим прямые, соединяющие эту точку с соответствующими вершинами треугольника. Отметим точки пересечения прямых со сторонами (или продолжениями сторон) треугольника. Каждая такая точка разбивает сторону на два отрезка. Построим теперь на этих отрезках, как на основаниях, равнобедренные треугольники с одинаковым углом при основании.

Прямые, проходящие через пары соответствующих вершин этих треугольников, образуют новый треугольник, перспективный10 исходному. Более того, при фиксированной точке Р множество перспекторов будет заметать гиперболу - свою для каждой точки. Если Р совпадает с ортоцентром Н треугольника АВС, то получится гипербола Киперта.

Помнится, когда конструкция пришла в голову, я сильно сомневался в ее «прочности» - ведь меняется и угол, и положение точки Р. Но компьютер развеял все сомнения.

Доказательство можно прочитать, обратившись по адресу:



http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200429index.html (в статье Darij Grinberg, Alexei Myakishev «A generalization of the Kiepert hyperbola»).

Следующие два примера своим появлением в настоящей публикации обязаны Алексею Заславскому. Он любезно согласился поделиться некоторыми памятными примерами:

«Я вспомнил два факта, найденных с помощью компьютера. Правда, для первого нет геометрического доказательства, а для второго – вообще никакого.

Первый факт обнаружил Акопян. Я умею доказывать его с помощью алгебраической геометрии, а кто-то из Гиацинтов нашел доказательство в комплексных числах, потом я обобщил его на случай, когда вписанная коника не окружность».





Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2019
обратиться к администрации

войти | регистрация
    Главная страница


загрузить материал