Лабораторная работа №3 "Изучение квантования, преобразования и восстановления сигналов в среде Micro Cap 6"



Скачать 442.67 Kb.
страница1/3
Дата17.10.2016
Размер442.67 Kb.
ТипЛабораторная работа
  1   2   3
Институт цветных металлов и золота СФУ

Кафедра автоматизации производственных процессов




ЦМ



Дисциплина “Применение ЭВМ в СУ”

Красноярск 2007 г.



Лабораторная работа № 3

”Изучение квантования, преобразования и восстановления


сигналов в среде Micro Cap 6”

Цель работы

1. Изучить механизмы квантования и восстановления , аналого-цифровое и цифроаналоговое преобразование сигналов.

2. Изучить выбор частоты квантования.

3. Исследовать АЦП и ЦАП в среде Micro-Cap 6.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

1. КВАНТОВАНИЕ СИГНАЛОВ


Квантование (выборка - sampling) - это замена непрерывного по времени сигнала последовательностью чисел, представляющей значения сигнала в определенные моменты времени.

Квантование – неизбежный процесс в цифровых системах управления, обусловленный дискретной природой самих ЭВМ В системе управления (СУ) объект управления (ОУ) вырабатывает на выходе аналоговые сигналы, которые затем переводятся в цифровую форму аналого-цифровым преобразователем (АЦП). Таким образом, непрерывно изменяющееся во времени состояние процесса преобразуется в последовательность чисел, которые обрабатываются ЭВМ. На выходе ЭВМ получается новая последовательность чисел, которая после преобразования в непрерывный сигнал подается на вход объекта управления. Эту операцию выполняет цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП). Процесс преобразования последовательности чисел в непрерывный сигнал называется восстановлением сигнала.


1.1. Механизм квантования


Квантование непрерывного сигнала означает простую замену этого сигнала его значениями на множестве дискретных точек. Пусть Z – множество положительных и отрицательных целых чисел Z ={..., –1, 0, 1,...} и пусть{tk: k  Z} подмножество действительных чисел, так называемых моментов квантования. Дискретный вариант сигнала f есть последовательность {f (tk): k Z }. Квантование – это линейная операция. Моменты квантования часто отделены друг от друга равными промежутками времени, т. е. tk = kTs. Здесь Ts – период квантования, или время квантования (sampling time), а соответствующая ему частота fs = 1/ Ts (Гц) – частота квантования. Такое квантование называется периодическим.

Существуют и более сложные способы квантования. Например, в различных контурах управления могут использоваться разные периоды квантования. Такое квантование называется многочастотным и рассматривается как суперпозиция нескольких схем периодического квантования.


1.2. Теорема о квантовании


Если моменты квантования следуют достаточно часто, то при квантовании непрерывного сигнала потери информации незначительны, и наоборот. В качестве примера рассмотрим квантование синусоиды (рис. 1.1): Дискретное изображение синусоиды неотличимо от нулевого сигнала, если ее частота равна половине частоты квантования.




Рис. 1.1. Потеря информации из-за

медленного квантования. Синусоида квантуется два раза за период


Для квантования непрерывного сигнала необходимо знать, при каких условиях он однозначно представляется своими дискретами.

Теорема Котельникова - Шеннона дает такие условия для случая периодического квантования. Непрерывный сигнал, преобразование Фурье которого равно нулю вне интервала (– 0, 0), однозначно представляется своими значениями в равноотстоящих точках, если частота квантования больше 2 0. При этом непрерывный сигнал может быть получен из дискретного по интерполяционной формуле







,

(1.1)

где s угловая частота квантования (рад/с).

Если f – непрерывный сигнал, a Fего преобразование Фурье, то есть функция






,

(1.2)

разложение в ряд Фурье которой имеет вид




,

(1.3)

где




.

(1.4)

Дискреты f (kTs) можно рассматривать как коэффициенты ряда Фурье для периодической функции и тогда




.

(1.5)

Отсюда следует, что квантованный сигнал {f (kTs), k = ..., 1, 0, 1, ...} однозначно определяет функцию .

Функция F равна нулю вне интервала (– 0, 0). Если s > 2 , то







(1.6)


Частота N = s /2 играет важную роль в теории квантования и она называется частотой Найквиста.

Формула (1.1) определяет восстановление сигналов, преобразования Фурье которых стремятся к нулю при частотах больших, чем частота Найквиста.



Из-за наличия множителя 1/Ts в уравнении (1.2) иногда говорят, что операция квантования имеет коэффициент усиления 1/Ts.

1.3. Восстановление


Инверсия операции квантования, т. е. преобразование последовательности чисел {f(tk): k Z } в непрерывную функцию f(t), называется восстановлением. В цифровых системах управления необходимо преобразовывать управляющее воздействие, выработанное ЭВМ в виде последовательности чисел, в непрерывный сигнал, подаваемый на объект управления. Аналогичная операция требуется и при цифровой фильтрации. Существует несколько методов восстановления.

Восстановление Шеннона


В случае периодического квантования сигнала с ограниченным спектром восстановление осуществляется в соответствии с теоремой квантования по формуле (1.1). Такое восстановление получило название восстановления Шеннона. Уравнение (1.1) определяет обратную операцию, которая может рассматриваться как линейный оператор. Последний, однако, не является причинно-следственным, так как значение f в момент t выражается как через предшествующие {f(k Ts): k t/ Ts }, так и через последующие {f(k Ts): k > t/ Ts } дискреты. В связи с этим восстановление Шеннона неприемлемо в случае систем управления с ЭВМ, но оно может быть использовано в системах коммуникации, поскольку в них часто допускается запаздывание. Другими недостатками восстановления Шеннона являются его сложность и ограниченность только случаем периодического квантования. Поэтому чаще используют другие методы восстановления – приближение нулевого и первого порядков.

Приближение нулевого порядка Zero-Order Hold (ZOH)


Простейшее причинное восстановление определяется формулой




f(t) = f(tk), tk t = tk+1 .

(1.7)

Это означает, что восстановленный сигнал кусочно-постоянен, непрерывен справа и равен сигналу квантования в моменты квантования. Таким образом, восстановленное значение не изменяется до следующего момента квантования.




Рис. 1.2. Квантование непрерывного сигнала и его восстановление методом приближения нулевого порядка
Вследствие простоты выполнения операции восстановления методом приближения нулевого порядка оно широко используется в цифровых системах управления. Стандартные ЦАП часто проектируют таким образом, что старое значение выходной величины постоянно до тех пор, пока не потребуется новое преобразование. Преимуществом приближения нулевого порядка является его пригодность и для непериодического квантования.

Восстановление (1.7) есть точная инверсия операции квантования только для сигналов непрерывных справа и кусочно-постоянных между моментами квантования. Во всех остальных случаях восстановление (1.7) дает ошибку. Наибольшее значение ошибки при периодическом квантовании сигнала с гладкой первой производной вычисляется по формуле






,

(1.8)

где f' производная f (рис. 1.2).

Экстраполятор нулевого порядка является простейшим типом преобразователя, который с помощью многочлена нулевого порядка перестраивает последовательность дискретных значений решетчатой функции на входе в последовательность ступенчатых функций на выходе.

Обычно нулевой порядок экстраполятора применяется в двух случаях:

- когда он используется в качестве процесса при синтезе дискретных систем, аппроксимируя непрерывные системы;

- при моделировании с помощью аналого-цифрового комплекса, где экстраполятор применяется в качестве преобразователя информации из цифровой формы в аналоговую.






Рис. 1.3. Экстраполятор нулевого порядка:

a - исходная непрерывная функция и ее ступенчатая аппроксимация,



б - импульс-реакция; в - структурная схема и прохождения через нее сигнала
На рис. 1.3 представлен процесс преобразования с помощью экстраполятора нулевого порядка во временной области, а на рис. 1.4 представлены графики амплитудной и фазовой характеристик этого преобразования.

Импульс реакция (импульсная характеристика)







(1.9)

Частотные характеристики экстраполятора нулевого порядка определяются приравниванием s = j в передаточной функции






(1.10)

из которой можно получить амплитудное и фазовое смещение






(1.11)

Достоинства экстраполятора нулевого порядка: простота применения и понимания; недостатки (в сравнении с экстраполятором первого порядка): полупериодное запаздывание модели, некоторое затухание в полосе частот, несущих информацию, слабое затухание сигнала за информационной полосой. Экстраполятор нулевого порядка вносит значительное фазовое запаздывание в проходящие через него высокочастотные компоненты любого сигнала.




Рис. 1.4. Характеристики экстраполятора нулевого порядка в частотной области.
Он вносит время запаздывания с половиной периода в каждой из функций синуса и косинуса ряда Фурье. Это оказывает значительное влияние на результат восстановления, если период дискретного сигнала соизмерим с периодом высокочастотной составляющей сигнала.

Приближение первого порядка First-Order Hold (FOH)


Приближение нулевого порядка можно рассматривать как полиномиальную экстраполяцию нулевой степени. Для гладких функций экстраполяция старших степеней позволяет во многих случаях уменьшить ошибку.

Причинная полиномиальная экстраполяция первого порядка имеет вид








(1.12)

Таким образом, восстановление осуществляется проведением прямой линии между двумя соседними дискретами. Приближение первого порядка показано на рис. 1.5.

Наибольшее значение ошибки при приближении первого порядка дается формулой






,

(1.13)

В случае периодического квантования сигналов с гладкой второй производной ошибка оценивается как




,

(1.14)
















Рис. 1.5. Квантование и восстановление непрерывного сигнала методом приближения первого порядка:1 - восстановленный сигнал; 2 - непрерывный сигнал
Для сигналов с гладкими высшими производными можно использовать экстраполяционные многочлены старших порядков, однако восстановление такого рода осуществляется крайне редко из-за сложности его реализации.

Экстраполятор первого порядка осуществляет экстраполяцию с помощью последовательности линейных функций, образующих зубчатообразное приближение к непрерывной функции. Это видно на рис. 1.6. Экстраполятор первого порядка преобразует последовательность многочленов первого порядка Ньютона – Грегори в непрерывный сигнал.

Частотные характеристики экстраполятора первого порядка могут быть представлены как




,

(1.15)

что показано на рис. 1.7.




Рис. 1.6. Экстраполятор первого порядка
Достоинством экстраполятора первого порядка является отсутствие затухания в информационной полосе частот (малый коэффициент усиления). Но запаздывание равно почти полному периоду выборки, который в 2 раза больше фазового смещения экстраполятора нулевого порядка. Доминатные члены в фазовых выражениях указывают на то, что процессы преобразования вносят запаздывания в Тs/2 при экстраполяторе первого порядка исходя из шенноновского предела (s/2). Экстраполятор п-го порядка должен помочь построению кривой через п точек, вводя эффективное запаздывание сигнала (в информационной полосе) приблизительно на Тs/2 по сравнению с замененным им непрерывным сигналом.

Предварительная фильтрация





Рис. 1.7. Частотные характеристики экстраполятора первого порядка.
На практике основная трудность заключается в том, что преобразования Фурье реальных сигналов отличны от нуля вне заданной полосы частот. Высокочастотные компоненты могут проявляться на низких частотах в результате эффекта поглощения. Вопрос стоит особенно остро при наличии в спектре поглощения периодических высокочастотных составляющих. Чтобы решить проблему поглощения, необходимо перед квантованием фильтровать непрерывную входную величину. Практически все аналоговые датчики имеют какой-либо фильтр, но он редко соответствует данной конкретной задаче управления. Во многих случаях его удается так модифицировать, что полученные сигналы не имеют частот, превышающих частоту Найквиста.

1.4. Выбор периода квантования


Выбор периода квантования зависит от свойств сигнала, метода восстановления и назначения системы. Одним из критериев выбора периода квантования может быть величина рассогласования между исходным сигналом и восстановленным.

В идеальных условиях, когда при восстановлении допустимы большие временные задержки, а частотные составляющие сигнала не выходят из заданной полосы, для выбора периода квантования можно воспользоваться правилом, которое дает теорема квантования Шеннона. На практике, однако, часто возникает необходимость в ограничениях на запаздывание восстановленного сигнала. Кроме того, важное значение имеет вероятность зашумления сигналов высокочастотными возмущениями.

Выбор периода квантования для обработки сигналов осуществляют так, чтобы минимизировать ошибку восстановления. Пусть преобразование Фурье сигнала равно нулю при . Если задержка восстановления допустима, то, согласно теореме Шеннона, минимально допустимая частота квантования равна N = 20. Если, однако, время запаздывания ограничено, то требуются значительно более высокие частоты квантования. В подобной ситуации необходимо использовать причинные методы восстановления - приближения первого или нулевого порядка. В этих случаях ошибка оценивается по формулам (1..8) или (1.14)

Если сигнал – синусоидальная волна с частотой  без возмущений, то максимальные ошибки полного размаха амплитуды для восстановления методами приближения нулевого и первого порядка вычисляются по формулам







(1.16)


где N – количество дискрет за период. Некоторые типичные значения даны в табл. 1 1.

Чтобы при восстановлении методом приближения нулевого порядка получить относительную ошибку в 1 %, необходимо квантовать сигнал около 300 раз за его период .Из табл. 1.1 следует, что эффект применения приближения первого порядка значительно выше, если N больше 20 Аналогичные результаты получаются при квантовании и восстановлении других сигналов



Таблица 1.1.

Относительные ошибки при квантовании и восстановлении синусоидального сигнала




Число квантований за период, N

Максимальная относительная ошибка

приближение нулевого порядка

приближение первого порядка

2

1,5

2,5

5

0,6

0,8

10

0,3

0,19

20

0,15

0,05

50

0,06

0,008

100

0,03

0,002

200

0,015

5•10-4

500

0,006

8•10-4

Это свидетельствует о том, что квантование со скоростью несколько сотен импульсов за период хорошо оправдывает себя в системах обработки сигналов.

Рациональный выбор частоты квантования в системах с замкнутым контуром управления влияет на качество СУ. Наибольшая искомая частота тесно связана с полосой пропускания замкнутой системы. В этом случае выбор скорости квантования производится исходя из ширины полосы пропускания, или, что то же самое, из времени разгона замкнутой системы. Нормальные скорости квантования (в 6–10 раз больше ширины полосы пропускания, или от 2 до 3 импульсов за время разгона) медленны в сравнении с типичной задачей обработки сигналов. Однако они могут успешно использоваться при управлении, так как динамические характеристики многих объектов невелики и их постоянные времени обычно больше времени разгона замкнутой системы. Таким образом, вклад в выходной сигнал одного периода квантования зависит от зоны пульсации, но относительно не чувствителен к форме импульса.

Помимо экстраполяции нулевого и первого порядков иногда применяется интерполяции с помощью фильтра нижних частот. Она осуществляется путем пропускания сигнала, полученного в результате экстраполяции порядка, через фильтр нижних частот. Типичные скачки сигнала, восстановленного ZOH, сглаживаются фильтром нижних частот. Для исходного аналогового сигнала с ограниченной полосой частот восстановление будет точным.

Так как большинство функций, встречающихся при моделировании, не ограничены определенной полосой, то минимальная частота, с которой проводят модуляцию f(t), должна быть от 5 до 10 раз выше наибольшей частоты, необходимой для описания f(t). Наибольшая частота, представляющая интерес, - частота, при которой совокупная часть энергетической кривой (разложения Фурье) пересекает 90% энергетической линии.

При другом варианте оценку требуемой скорости считывания параметров различных процессов и выполняемых задач также осуществляют на основе теоремы Котельникова – Шеннона. При этом полагают, что интересующие сигналы процесса изменяются медленнее по сравнению с циклом считывания. Изменение любого сигнала f(t) можно определить на основе зафиксированных значений f*(t) при выполнении следующих условий.

Временная функция f(t), которая в своем спектре содержит максимальную частоту макс, однозначно определяется значениями дискретной последовательности [f(k Ts )], в моменты времени k Ts 2k/ макс Частота считывания должна быть, по крайней мере, в два раза больше максимальной частоты процесса

s  2макс, а Ts макс

Полезные сигналы с частотами макс демпфируются системой так сильно, что их более нельзя отличить от наложенных сигналов шума. Поэтому на практике достаточно оценивать лишь частоты до некоторой граничной частоты г. В этой связи нет смысла учитывать сигналы, частоты которых больше частоты г. В некоторых случаях для устранения помех необходимо до считывания использовать фильтр низких частот (звено задержки), что позволяет выдержать требуемое значение частот вплоть до величины макс (рис. 1.8).






Рис. 1.8. Устройство считывания со звеном задержки
Верхние граничные частоты г. выбираются так, чтобы амплитуда системы равнялась [F(j = 0,01 – 0,1.

При считывании сигналов, соответствующих не максимальным значениям частоты макс., а выбранным граничным значениям г., появляются ошибки, определяемые разностью амплитуд выходных сигналов f звена задержки и входных сигналов f элемента опроса, приведенной к амплитуде входного сигнала f:






es = f/f = [f – (f )]/ f = f/ f – 1.

(1.17)

Для расчета es используется амплитуда f звена задержки. Для этого необходимо знать его передаточную функцию Н(s) как отношение преобразований Лапласа выходной F(s) и входной F*(s) величин. Передаточная функция Н(s) имеет уже известный для экстраполятора нулевого порядка вид




Н(s) = F(s) / F*(s) = .

(1.18)

Амплитуда и фаза звена задержки получаются на основе частотной зависимости




Н(j) = .

(1.19)

Изменение фазы происходит линейно; задержка фазы соответствует времени нечувствительности в половину периода опроса.

Ошибку опроса es как функцию частоты опроса s= 2/ Ts и максимальной частоты г (граничной частоты) можно определить по величине амплитуд опрашивающего звена и звена задержки. Выбираемая частота опроса s как функция граничной частоты г при допустимой ошибке es рассчитывается следующим образом:






.

(1.20)

Некоторые значения зависимости частоты от допустимой ошибки опроса приведены в табл. 1.2. При допустимой ошибке 10-4 = 0,1% частота опроса выбирается примерно в 100 раз больше граничной частоты, а при ошибке в 10-2 = 1% - лишь в 10 раз больше. Перечень встречающихся частотных диапазонов важнейших технических процессов приведен в табл. 1.3.

Таблица 1.2.

Зависимость частоты опроса от допустимой ошибки



| es |

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

s/г

1,28·103

4,1·102

1,28·102

4,1·101

1,28·101

4,1·100

Оценки скорости считывания сигналов, согласно уравнению (2.16), с использованием граничных частот из табл. 1.3, приводят к значениям, которые взяты из практики.

Таблица 2.3

Основные диапазоны частот для технологических процессов


Объекты управления

Диапазон частот, Гц

Испаритель

510-3 – 810-4

Котел с мешалкой

210-6 – 210-2

Теплообменник

110-3 – 510-2

Парогенератор с принудительным расходом

510-3 – 510-2

Сушильный барабан

210-4 – 210-2

Водяная турбина

110-2 – 210-1

Электросеть

510-2 – 210-1

Кипящий реактор

210-2 – 110-1

Паровой котел

510-4 – 110-2

Индукционная печь

210-3 – 1100

Печь прокатного стана

110-3– 210-2

Регулятор толщины фольгопрокатной машины

110-1 – 2100

В табл. 1.4 приведены некоторые критерии выбора частоты считывания сигналов, взятые из специальной литературы. При сборе значений в измерительных точках основной ритм задается наибольшей частотой опроса. В течение интервала Т0 осуществляется управление опросом. Нижние частоты считывания реализуются через целочисленные значения интервала:




Ts = nТ0 ; п = 1, 2, ... .

(2.17)

Используемые значения: Т0 = 0,1; 0,5; 1, 5, 20 с; 1 мин.

Таблица 1.4.

Критерии выбора времени цикла считывания Ts



Класс процесса,

динамические

характеристики

Время цикла


Примечания


Любой



Ts = г

Граничная частота г выбирается так, чтобы соотношение амплитуд составляло

| F(г)| = 0,01...0,1



Апериодический, с доминирующим временем запаздывания i


Ts = (1/4 – 1/8) i




Характеристика с преобладанием низких частот


Ts = (1/6 – 1/15) Т5%

Т5% - время успокоения, в течение которого процесс остается в пределах границ ± 5 %- конечного значения передаточной функции

Гармонический

/6 0 Ts  /3 0

0– собственная частота

Частота квантования зависит от частоты опроса датчиков сигналов через звено опроса, которая зависит от способа считывания данных. Различают циклическое и ациклическое считывание.

В случае циклического считывания измеряемые значения опрашиваются через определенное время цикла Ts . Это происходит циклически по программе опроса, инициализируемой самой операционной системой, или по управлению извне адресного счетчика процессорной периферии. При этом по программе счетчик загружается начальным адресом, с которого начинается опрос измерительных точек. Определение нужного адреса опрашиваемой точки и его загрузка выполняются счетчиком самостоятельно до тех пор, пока не будет достигнут конечный адрес, задаваемый заранее.

При ациклическом считывании опрос измерительных точек осуществляется раздельно, направленно и только в тех случаях, когда этого требует состояние управляемого процесса или оператор. Управление опросом осуществляется системой управления прерыванием программы.

Выбор цикла опроса и времени реакции в случае ациклического сбора данных зависит от динамики процесса и функций, выполняемых ЭВМ. Например, в задачах нахождения баланса достаточно запрашивать состояния счетчика каждые 30 мин, в то время как при управлении потоком и регулировании давления с помощью ЭВМ это время определяется секундами, а регулирование температуры занимает около 20 с. Чем меньше время цикла, тем точнее и полнее получаемая информация. Если это время выбрано слишком малым, то существенно возрастает загрузка ЭВМ, т.е. у нее остается мало времени на выполнение других программ обработки. При очень большом времени считывания часть информации теряется, поэтому обслуживающий персонал не в состоянии качественно управлять процессом, а сам процесс может стать нестабильным. При выборе времени цикла необходимо добиваться компромисса между обеими возможностями.

Оценка практического выбора этой величины дает следующие значения времени цикла опроса измеренных значений:

Таблица 1.5

Рекомендуемые значения времени цикла опроса для величин



Поток

0,1; 1; 2 с

Наполнение

5 с

Давление

0,5; 1; 5; 10 с

Температура

5; 20; 30 с;  2 мин

Смесь

20 с

Управление оператором

1 с




Каталог: sites -> icm.institute.sfu-kras.ru -> files
sites -> Нормы морфологии и синтаксиси трудные случаи морфологии
sites -> Большой зал Детской филармонии Общее количество мест – 500 (+ 4 для людей с офв) На сцене рояль –
sites -> Печатная Сб Научно-методическая конференция «Вопросы совершенствования предметных методик в условиях информатизации образования» Славянск на Кубани 2011 0,3
files -> Руководство по ее прохождению для подготовки дипломированных специалистов по направлению 651300 "Металлургия" специальности 110500
files -> Рабочая программа составлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом профессионального высшего образования, утвержденным
files -> «Основы проектирования и строительное дело» Цель преподавания дисциплины
files -> Лабораторная работа №5 " Разработка асутп в среде scada системы trace mode 6"
files -> Исследовательская работа Казаченко Р., уч. 8 «Б», моу сош №6 Худолеева Е. Е., моу сош №6
files -> Государственные вузы чехии


Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2019
обратиться к администрации

войти | регистрация
    Главная страница


загрузить материал