Лекции по предмету "аналитическая геометрия и линейная алгебра"



Скачать 67.56 Kb.
Дата20.10.2016
Размер67.56 Kb.
ТипЛекции

Лекции по предмету "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА"

Поток Умнова А.Е.




 

Программа лекций на осенний семестр




 

Лекция 01

Матричные объекты. Классификация матриц. Действия с матрицами: сравнение, сложение, умножение на число, транспонирование. Определители квадратных матриц 2-го и 3-го порядков, разложение по столбцу или строке. Теорема Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Лекция 02

Направленные отрезки. Операции с направленными отрезками: сравнение, сложение и умножение на число. Множество векторов. Свойства линейных операций с векторами. Коллинеарность и компланарность. Линейная зависимость и независимость векторов. Свойства линейно зависимых векторов.

Лекция 03

Базис на прямой, на плоскости и в пространстве. Существование и единственность разложения вектора по пространственному базису. Координатное представление векторов. Действия с векторами в координатном представлении. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости векторов в координатном представлении.

Лекция 04

Общая декартова система координат. Радиус-вектор и координаты точки на плоскости и в пространстве. Ортонормированная декартова система координат. Зависимость координат от выбора базиса и начала координат. Формулы перехода. Матрица перехода и ее свойства. Случай перехода на плоскости от одной ортонормированной системы координат к другой.

Лекция 05

Ортогональная проекция вектора на ось и ее свойства. Скалярное произведение векторов и его свойства. Координатное представление скалярного произведения в общем и ортонормированном базисе. Векторное произведение векторов и его свойства.

Лекция 06

Координатное представление векторного произведения в общем и ортонормированном базисе. Смешанное произведение тройки векторов и его свойства. Координатное представление смешанного произведения в общем и ортонормированном базисе. Взаимный базис. Двойное векторное произведение.

Лекция 07

Векторные и координатные способы задания прямой на плоскости. Необходимое и достаточное условие совпадения прямых, задаваемых разными линейными уравнениями. Геометрические свойства линейных неравенств. Векторные и координатные способы задания плоскости в пространстве

Лекция 08

Векторные и координатные способы задания прямой в пространстве. Формулы для расстояния от точки до прямой на плоскости, расстояния от точки до плоскости в пространстве и расстояния от точки до прямой в пространстве. Способы задания линий на плоскости и в пространстве. Способы задания поверхности в пространстве.

Лекция 09

Алгебраические линии и поверхности, их порядок. Инвариантность порядка алгебраических линий и поверхностей при замене системы координат. Цилиндрические поверхности, их векторные и координатные представления. Конические поверхности, их векторные и координатные представления.

Лекция 10

Алгебраические линии 2-го порядка на плоскости, их классификация и основные свойства. Приведение уравнения линии 2-го порядка на плоскости к каноническому виду.

Лекция 11

Алгебраические поверхности 2-го порядка в пространстве, их классификация и основные свойства. Метод секущих плоскостей. Прямолинейные образующие алгебраических поверхностей 2-го порядка. Полярная система координат. Конические сечения. Сферическая и цилиндрическая системы координат.

Лекция 12

Произведение матриц и его свойства. Обращение квадратных матриц. Условия существования и единственности обратной матрицы. Транспонирование и обращение произведения матриц. Ортогональные матрицы и их свойства. Операторы на плоскости. Отображения и преобразования плоскости. Неподвижные и инвариантные множества точек плоскости.

Лекция 13

Линейные преобразования плоскости и их свойства. Матрица линейного преобразования плоскости и ее изменение при смене базиса. Аффинные преобразования плоскости. Признак аффинности для линейного преобразования. Основные свойства аффинного преобразования. Геометрический смысл модуля и знака определителя матрицы аффинного преобразования. 

Лекция 14

Свойства классификации линий 2-го порядка на плоскости при аффинных преобразованиях. Главные направления аффинного преобразования. Ортогональные преобразования плоскости и их свойства. Представление аффинного преобразования в виде произведения ортогонального преобразования и оператора сжатия к осям. Понятие о группе.

Лекция 15

Детерминант квадратной матрицы n-го порядка и его свойства. Линейное свойство определителя. Определитель произведения квадратных матриц  n-го порядка.  Миноры, дополнительные миноры и алгебраические дополнения. Связь между ними. 

Лекция 16

Разложение определителей по столбцу или строке.  Формула для элементов обратной матрицы. Теорема Крамера для системы n линейных уравнений с n неизвестными.

Лекция 17

Ранг матрицы. Базисный минор. Теорема о ранге матрицы. Необходимое и достаточное условие вырождения квадратной матрицы. Теорема о ранге матрицы.

 

 

 

 

Программа лекций на весенний семестр

Лекция 01

Системы m линейных уравнений с n неизвестными. Частное и общее решение. Теорема Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. Оценка максимального числа линейно независимых частных решений для однородной системы линейных уравнений.

Лекция 02

Общее решение неоднородной системы линейных уравнений. Теорема Фредгольма о совместности неоднородной системы линейных уравнений.  Элементарные операции и их свойства. Метод Гаусса.

Лекция 03

Определение линейного пространства. Линейная зависимость элементов линейного пространства. Базис. Размерность. Существование и единственность разложения по базису. Подпространство. Размерность суммы двух подпространств.

Лекция 04

Линейная оболочка набора элементов. Ее свойства и размерность. Гиперплоскость. Координатное представление элементов и операций с ними в конечномерном линейном пространстве. Формулы перехода. Теорема об изоморфизме и ее следствия.

Лекция 05

Линейные операторы в линейном пространстве. Отображения и преобразования. Действия с линейными операторами. Линейное пространство линейных операторов. Координатное представление линейных отображений, инъективность и сюръективность. Правило изменения матрицы линейного отображения при замене базисов. 

Лекция 06

Инвариантные подпространства линейного преобразования. Собственные векторы и собственные значения, их свойства. Отыскание собственных значений и собственных векторов в конечномерном случае. Инвариантность характеристического многочлена.

Лекция 07

Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Размерность собственного подпространства линейного оператора.  Линейные функционалы в линейном пространстве. Их свойства и представление в конечномерном случае. Двойственное (сопряженное) пространство. 

Лекция 08

Билинейные функционалы и их координатное представление. Правило изменения матрицы билинейного функционала при замене базиса. Симметричные билинейные функционалы. 

Лекция 09

Квадратичные функционалы. Отыскание базиса, в котором квадратичный функционал имеет канонический вид. 

Лекция 10

Теорема инерции для квадратичного функционала. Знаковая определенность квадратичного функционала. Критерий Сильвестра. Евклидово пространство. Неравенства Коши-Буняковского и треугольника. Ортогонализация базиса. 

Лекция 11

Матрица Грама и ее свойства. Координатное представление скалярного произведения в конечномерном случае. Сопряженные операторы. Их свойства и координатное представление. 

Лекция 12

Самосопряженные операторы и их свойства. Существование ортонормированного базиса, образованного из собственных векторов самосопряженного оператора. Существование общей системы собственных векторов для коммутирующих самосопряженных операторов.

Лекция 13

Ортогональные операторы и их свойства. Теорема о полярном разложении.

Лекция 14

Приведение квадратичного функционала к диагональному виду при помощи ортогонального преобразования базиса. 

Лекция 15

Существование линейного преобразования, одновременно приводящего пару квадратичных функционалов, один из которых является знакоопределенным, к диагональному виду.

Лекция 16

Унитарное пространство. Унитарные, эрмитовски сопряженные и эрмитовы (эрмитовски самосопряженные) операторы, их свойства. Эрмитовы функционалы и их свойства. Соотношение неопределенностей.


Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2019
обратиться к администрации

войти | регистрация
    Главная страница


загрузить материал