Рабочая программа наименование дисциплины : Теория случайных процессов Направление подготовки : 230401 Прикладная математика



Скачать 434.56 Kb.
страница1/5
Дата31.03.2018
Размер434.56 Kb.
ТипРабочая программа
  1   2   3   4   5
Научно-исследовательский университет «Высшая школа экономики»

«Московский институт электроники и математики»



«СОГЛАСОВАНО»


Декан факультета

______ ________/Белов А.В./

«___»_______________2013 г.

«УТВЕРЖДАЮ»


Проректор по учебной работе

_____________/ Рощин С.Ю./

"____"_____________ 2013 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА



Наименование дисциплины: Теория случайных процессов

Направление подготовки: 230401 – Прикладная математика

Квалификация выпускника: специалист

Форма обучения: очная

Факультет: Прикладной математики и кибернетики

Кафедра: Компьютерная безопасность

Москва 2013

  1. Цели и задачи дисциплины.

Научить студентов владеть математическими методами исследования и описания стохастическими динамическими системами.

  1. Требования к уровню освоения содержания дисциплины (требования к знаниям, умениям и навыкам, приобретенным в результате изучения дисциплины).

В результате изучения курса студенты должны овладеть теорией марковских процессов и последовательностей, теорией стохастического интеграла и уравнений.

3. Требования к результатам освоения дисциплины:

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций и их элементов в соответствии с ФГОС ВПО по направлению «Прикладная математика»:

А) общекультурных (ОК):




  • способность владеть культурой мышления, умение аргументированно и ясно строить устную и письменную речь (ОК-1);

  • способность и готовность к письменной и устной коммуникации на родном языке (ОК-11);

  • способность работать с информацией в глобальных компьютерных сетях (ОК-12);

  • способность работать в коллективе (ОК-13);

  • способность использовать в научной и познавательной деятельности, а также в социальной сфере профессиональные навыки работы с информационными и компьютерными технологиями (ОК-14);

  • способность работы с информацией из различных источников, включая сетевые ресурсы сети Интернет, для решения профессиональных и социальных задач (ОК-15);



Б) профессиональных (ПК):

  • способность демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук, математики и информатики, понимание основных фактов, концепций, принципов теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой (ПК-1);

  • способность приобретать новые научные и профессиональные знания, используя современные образовательные и информационные технологии (ПК-2);

  • способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат (ПК-3);

  • способность осуществлять целенаправленный поиск информации о новейших научных и технологических достижениях в сети Интернет и из других источников (ПК-6);

  • способность решать задачи производственной и технологической деятельности на профессиональном уровне, включая: разработку алгоритмических и программных решений в области описания случайных явлений и событий (ПК-9);

В результате изучения дисциплины студент должен:

знать:


  • методы построения вероятностных моделей описывающих стохастическую динамику процессов;

  • методы исследования свойств стохастических моделей;

  • свойства марковских процессов;

  • методы описания систем массового обслуживания;

уметь:

  • формулировать математическую постановку задачи;

  • устанавливать свойства решений стохастических систем;

  • адекватно строить математические модели;

владеть:

  • методами теории вероятности;

  • теории интегрирования;

  • методами построения решений уравнения Колмогорова описывающие различные случайные процессы: как непрерывный так и дискретный;

  • стохастическим исчислением Ито;




Вид учебной работы

Всего часов/З.Е.

Семестры

Весенний семестр(7 семестр)/З.Е.

Осенний семестр (8 семестр)/З.Е.

Общая трудоемкость дисциплины

396/9

180/4

216/5




Аудиторные занятия

144/4

72/2

72/2

Лекции (Л)

72/2

36/1

36/1

Практические занятия (ПЗ)










Семинары (С)

72/2

36/1

36/1

Лабораторные работы (ЛР)










И (или) другие виды аудиторных занятий










Самостоятельная работа

108/3

36/1

72/2

Курсовой проект (работа)




-




Расчетно-графические работы




-

-

Реферат




-

-

И (или) другие виды самостоятельной работы




-

-

Вид итогового контроля

(зачет, экзамен)






экзамен

экзамен

  1. Объем дисциплины и виды учебной работы.









Аудиторные занятия

с№

Раздел дисциплины

Лекции

ПЗ

1.

Основание теории случайных процессов (теорема Колмогорова)

10

10

2.

Случайные последовательности: марковские последовательности, марковские цепи, мартингалы.

14

14

3.

Элементы общей теории случайных процессов. Непрерывность случайных процессов. Классификация случайных процессов. Марковские моменты. Полумартингалы.

12

12

4.

Марковские процессы в широком смысле. Классификация. Марковские полугруппы. Уравнения Колмогорова. Процессы с независимыми приращениями.

12

12

.

Точечные случайные процессы. Теория восстановления. Теория очередей.

12

12

5.

Стохастические уравнения и их свойства.

12

12

  1. Содержание дисциплины.

    1. Разделы дисциплины и виды занятий.




    1. Содержание разделов дисциплины

  1. Основание теории случайных процессов (10 часов).

Аксиоматика Колмогорова. Измеримые пространства. Способы задания вероятностных мер на измеримых пространствах (Теорема Колмогорова). Случайные элементы Интеграл Лебега (математическое ожидание) и его свойства. Виды сходимостей случайных элементов. Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега. Условные математические ожидания относительно -алгебры. Их свойства и структура. Регулярные условные вероятности. Теорема Колмогорова о существовании случайного процесса.

  1. Случайные последовательности (14 часов).

Стохастический базис. Марковские последовательности. Переходные вероятности. Теорема Чепмена-Колмогорова. Теоремы существования случайных последовательностей (Колмогоров, Ионеско-Тулча). Процесс определенный рекуррентно (существование, единственность, марковское свойство, примеры).

Полумартингалы (мартингалы, субмартингалы, супермартингалы). Примеры полумартингалов. Теорема Дуба (о существовании конечного предела у полумартингала). Марковские моменты, остановленные последовательности. Локальные мартингалы. Теорема Дуба-Мейера. Квадратично-интегрируемые мартингалы. Характеристики. Локальная абсолютная непрерывность вероятностных мер. Марковские цепи: классификация состояний. Классификация марковских цепей по асимптотическим свойствам. Эргодические марковские цепи.



  1. Элементы общей теории случайных процессов (12 часов).

Основные определения: поток -алгебр (фильтрация), стохастический базис, случайный процесс, согласованный случайный процесс, модификация.

Непрерывность случайного процесса: справа, слева, стохастическая непрерывность. Построение пуассоновского случайного процесса. Полумартингалы (с непрерывным временем: определение, свойства). Теорема Дуба-Мейера. Регулярные полумартингалы. Неравенство Колмогорова. Марковские моменты: определение, свойства. Стохастические интервалы, график марковского момента, локализующиеся последовательности марковских моментов. Остановленные случайные процессы. Локальные полумартингалы. Классификация марковских моментов: предсказуемые, опциональные, достижимые. Классификация потоков -алгебр: предсказуемые, опциональные фильтрации. Опциональный и предсказуемый случаные процессы. Процесс ограниченной вариации, возрастающий процесс.



  1. Марковские процессы (в широком смысле) (12 часов).

Определение переходной вероятности марковского процесса. Соотношение Чепмена-Колмогорова. Закон входа. Операторы, порождаемые переходными вероятностями марковских процессов. Марковские полугруппы. Классификация марковских процессов по свойствам траекторий.

Марковские процессы с конечным или счетным числом состояний. Вывод и разрешимость уравнения Колмогорова (прямого и обратного), соответствующего марковским процессам с конечным или счетным числом состояний.

Регулярные скачкообразные марковские процессы. Вывод и разрешимость уравнения Колмогорова (прямого и обратного) соответствующего скачкообразному марковскому процессу.

Процессы с независимыми приращениями: определение, описание, свойства. Теорема Леви-Хинчина.

Диффузионные процессы: определение. Уравнения (прямое и обратное) Колмогорова для диффузионных процессов (вывод).


  1. Теория массового обслуживания (12 часов).

Точечные процессы (основания).

Определения: стохастического базиса, случайного процесса, согласованного случайного процесса. Непрерывность справа, слева случайных процессов. Пуассоновский случайный процесс. Теорема Дуба-Мейера. Считающий (точечный) процесс (определение) и его свойства.

Компенсатор точечного процесса и его свойства. Интеграл Римана-Стильтьеса. Стохастический интеграл для считающих процессов. Формула Ито для считающих процессов. Квадратическая вариация. Локальные мартингалы. Интегрирование по мартингалам, имеющим ограниченную вариацию. Теорема Кэмбелла. Мультивариантные точечные процессы. Марковские m-вариантные точечные процессы, уравнения Колмогорова. Разрешимость системы уравнений Колмогорова, соответствующая марковским процессам с конечным или счетным числом состояний. Интенсивность m-вариантного точечного процесса и ее вероятностное представление. Случайные меры: определение, классификация, свойство. Мера Долиана. Случайные меры и мультивариантные точечные процессы. Абсолютная непрерывность вероятностных мер, соответствующих мультивариантным точечным случайным процессам.

Теория восстановления.

Процесс восстановления, функция восстановления. Уравнение восстановления. Разрешимость уравнения восстановления. Предельные теоремы теории восстановления: элементарная, узловая, Блэкуэла.

Теория очередей.

Описание простейшей системы массового обслуживания: входной точечный процесс (поток), процесс обслуживания, внутреннее состояние, очередь.

Вывод и разрешимость стохастического уравнения для процесса обслуживания. Выходной поток. Вывод уравнения описывающего эволюцию во времени распределения вероятности длины очереди. Процесс гибели-размножения. Системы массового обслуживания с обратной связью: описание, стохастическое уравнение.



Стационарное распределение длины очереди. Теорема Буркэ.

  1. Стохастические интегралы Ито. Стохастические уравнения.

Винеровский процесс и его свойства. Стохастический интеграл Ито по винеровскому процессу и его свойства. Процесс Ито. Формула Ито и ее применение. Стохастические уравнения: существование и единственность сильных решений. Оценки моментов решений стохастических уравнений. Непрерывность траекторий решений стохастических уравнений. Диффузионные процессы и стохастические уравнения. Уравнения Колмогорова, соответствующие стохастическим уравнениям.

    1. Понедельный план проведения занятий лекционных и практических.

      1. План лекционных занятий.

Семестр 7.

  1. Аксиоматика Колмогорова. Алгебры, -алгебры. Меры: аддитивная, счетно-аддитивная, -конечная, вероятностная. Вероятностное пространство. Измеримые пространства. Монотонные классы. Борелевская -алгебра действительной прямой, .

  2. Задание вероятностных мер на измеримых пространствах:

  3. Случайные элементы: классификация и свойства.

Интеграл Лебега (математические ожидания): определения, существование, корректность свойства.Различные виды сходимости случайных элементов. Теоремы о предельном переходе под знаком математического ожидания: теорема о монотонной сходимости, лемма Фату о мажорируемой сходимости. Равномерная интегрируемость.

  1. Сходимость в , по распределению (слабая сходимость). Теорема Прокорова. Неравенства: Чебышева, Гельдера, Иенсона, Минковского.Абсолютная непрерывность мер. Теорема Радона-Никодима. Теорема о замене переменных под знаком интеграла. Теорема Фубини.

  2. Условное математическое ожидание: определение, корректность, свойства.Структура условных математических ожиданий. Условная вероятность, регулярная условная вероятность. Теорема Колмогорова о существовании случайного процесса.

  3. Определения: случайной последовательности, стохастического базиса, согласованной последовательности, марковской последовательности. Переходная вероятность. Соотношение Чепмена-Колмогорова для марковских последовательностей.

  4. Существование случайных последовательностей (Теорема Ионеску-Тулча). Процесс определенный рекуррентно (теорема существования и единственности). Условия марковости процесса определенного рекуррентно. Дискретная модель диффузии.

  5. Мартингалы, супермартингалы, субмартингалы: определение, примеры. Теорема Дуба о существовании конечного предела у неотрицательного супермартингала. Равномерно интегрируемые мартингалы.

  6. Марковские моменты. Локальные полумартингалы. Обобщенные мартингалы. Возрастающие процессы. Мартингальные преобразования. Теорема Дуба-Мейера.

  7. Семимартингалы. Формула Ито. Квадратическая вариация. Квадратично интегрируемые мартингалы и их характеристики.

  8. Локальная абсолютная непрерывность вероятностных мер. Локальная плотность и ее свойства. Марковские цепи. Переходная вероятность. Однородная марковская цепь. Классификация состояний.

  9. Классификация марковских цепей по асимптотическим свойствам. Эргодические марковские цепи: определение, существование.

  10. Определения: случайного процесса с непрерывным временем, стохастического базиса; измеримого, прогрессивно измеримого согласованного случайных процессов.

Модификация и неотличимость случайных процессов. Непрерывный справа (слева) случайный процесс. Стохастически непрерывный случайный процесс. -непрерывность случайных процессов. Пуассоновский случайный процесс.

  1. Полумартингалы (семимартингалы): определение, представление, свойства. Примеры полумартингалов. Теорема Дуба-Мейера. Регулярные мартингалы и их свойства. Квадратично интегрируемые мартингалы. Существование непрерывной справа модификации у супермартингалов. Неравенство Колмогорова для квадратично интегрируемых мартингалов.

  2. Определение марковского момента. Свойства марковских моментов. Стохастические интервалы. График марковского момента. Тонкое множество. Остановленный случайный процесс.

  3. Локализующаяся последовательность. Локальные мартингалы. Классификация марковских моментов: предсказуемые, достижимые, опциональные. Критерии предсказуемости и опциональности марковских моментов.

  4. Классификация -алгебр: предсказуемая, достижимая, опциональная. Предсказуемые, опциональные случайные процессы. Процесс ограниченной вариации. Возрастающие случайные процессы: определение, представление; свойства. Процессы ограниченной вариации.

  5. Семимартингалы: представление, разложение. Опциональные возростающие процессы и их компенсаторы.

Семестр 8



  1. Марковские процессы в широком смысле. (МПШ). Переходные вероятности. Соотношение Чепмена-Колмогорова. Закон входа. Операторы, порождаемые вероятностями перехода и их свойства. Однородные МПШ. Классификация МПШ.

  2. МПШ с конечным или счетным числом состояний. Прямое и обратное уравнение Колмогорова. Разрешимость прямого и обратного уравнений Колмогорова. Скачкообразные МПШ (определение). Регулярные скачкообразные МПШ (РСМПШ). Уравнения Колмогорова соответствующих РСМПШ: вывод уравнения Колмагорова и условия его разрешимости

  3. Процессы с независимыми приращениями: определение, свойства. Характеристическая функция для процессов с независимыми приращениями (ПНП) и ее свойства. Однородные ПНП. Теорема Леви-Хинчина.

  4. Диффузионные процессы. Достаточные условия существования диффузионного процесса. Обратное и прямое уравнение Колмогорова для диффузионных процессов.

  5. Точечные случайные процессы (определения). Свойства траекторий, субматрингальность. Компенсатор точечного процесса. Интеграл Римана-Стильтьеса. Стохастический интеграл по процессу ограниченной вариации.

  6. Формула Ито для точечных процессов и ее применение. Квадратическая вариация опциональных процессов. Характеристика точечного процесса. Взаимная вариация и характеристика опциональных процессов. Интегрирование случайных процессов по мартингалам, имеющим ограниченную вариацию.

  7. Теорема Кэмбелла. Характеристическая функция пуассоновского процесса. Свойства компенсаторов точечных процессов. Случайная замена времени. Мультивариантные точечные процессы: определения, описание. К-вариантные точечные процессы.

    Каталог: data -> 2013
    2013 -> «Разработка аппаратной части макета для исследования процессов зрительного утомления»
    2013 -> Программа дисциплины "Датчики и устройства связи с объектом в технических системах" для подготовки
    2013 -> Программа разработана в соответствии с
    2013 -> «Перспективы создания Восточноазиатского сообщества»
    2013 -> Оценка эффективности участия развивающихся стран в системе разрешения споров вто на примере Бразилии
    2013 -> «Особенности развития энергетического комплекса Индии»
    2013 -> «Экономические последствия вступления в Европейский Союз для стран цве»
    2013 -> Разработка информационно-обучающего программного комплекса для операторов рлс с системой автоматизированного проектирования новых решений
    2013 -> «Анализ конкурентных стратегий немецких автомобильных концернов»
    2013 -> Стратегия инновационного развития компании «Бэ-Эм-Вэ Групп» в период с 2007 по 2012 год


    Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3   4   5


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2019
обратиться к администрации

войти | регистрация
    Главная страница


загрузить материал