Суть и характер автоматического управления. 1 Системы Все время мы будем говорить о системах


Функцией во временной области ( обратной функцией для S), соответствующей S = σ ± jω, будет показательная функция С*



страница3/7
Дата17.10.2016
Размер0.74 Mb.
1   2   3   4   5   6   7

Функцией во временной области ( обратной функцией для S), соответствующей S = σ ± jω, будет показательная функция С*e σ sint).

3.3 Использование полиномов и дробных функций Функции комплексного переменного в различных формах широко используют в ТАУ для представления передаточных функций и решения задач синтеза и анализа САУ. В предыдущем разделе мы получили дробно-рациональную функцию некоторого действительного или комплексного переменного http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image001.gif:

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image002.gif

(1)

где http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image003.gif- полиномы числителя и знаменателя, http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image004.gif- действительные числа, http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image005.gif- порядок числителя, http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image006.gif- порядок знаменателя (всей дробно-рациональной функции функции), http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image007.gif- для функций используемых в ТАУ. Здесь S = σ ± jω.

Полиномы дробно-рациональной функции могут быть представлены в виде произведения биномов (разложение многочлена на сомножители), тогда функция может быть представлена в форме Боде

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image008.gif

(2)

где http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image009.gif- корни уравнения http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image010.gif, http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image011.gif- корни характеристического уравнения http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image012.gif.

Корни уравнения http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image013.gifназывают нулями дробно-рациональной функции http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image014.gif, так как

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image015.gif. Корни характеристического уравнения http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image016.gifназывают полюсами дробно-рациональной функции, так какhttp://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image017.gif. Полюсы и нули есть действительные и комплексно-сопряженные числа. Их принято располагать на плоскости комплексной переменной http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image018.gif, обозначая расположение полюсов крестиками, а нулей кружками. На рисунке показано расположение полюсов и нулей некоторой дробно-рациональной функции.http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image020.gif

Для дифференциального уравнения порядка n, описывающего какой то производственный процесс, преобразование Лапласа будет иметь вид:



. где Y(s) и U(s) преобразование Лапласа функций Y(t) и U(t). Переход от одной модели к другой прост и заключается в замене знаков дифференциалов на операторы s, знаков интегралов на множители, а самих u(t) и y(t) - изображениями U(s) и Y(s). Это алгебраическое уравнение и работают с ними методами линейной алгебры. Начальные значения U(s) и Y(s) предполагаются нулевыми. Дробную функцию W(s)=Y(s)/ U(s) можно представить в форме Боде.

Пример Представьте дробно-рациональную функцию

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image023.gif в форме Боде и покажите расположение полюсов и нулей дробно-рациональной функции на комплексной плоскости.

Решение

Найдем корни уравнения ( «нули» ) http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image024.gif.

Получаем два комплексно-сопряженных корня («нуля») http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image025.gif, http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image026.gif.

Найдем полюсы http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image027.gif

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image028.gif. Получаем три полюса, решая кубическое уравнения.

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image029.gif.

Покажем расположение нулей и полюсов на комплексной плоскости (см. рис. 2).

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image030.gif

Дробно-рациональную функцию (1) часто представляют в виде суммы простейших дробей (форма Хэвисайта)

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image031.gif

(3)

где http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image032.gif- корни характеристического уравнения http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image033.gif, http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image034.gif- коэффициенты разложения, которые находят по следующей функции:

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image035.gifЗдесь в выражения для В и А° подставляют численные значения корней. Такое представление дробно-рациональной функции возможно, если полюса простые.

(4)

Пример Представьте дробно-рациональную функцию

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image044.gif

в форме Хэвисайта, используя формулы разложения. Решение

Уравнение полинома числителя имеет вид http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image045.gif.

Характеристическое уравнение для получения полюсов имеет вид

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image046.gif.

Найдем корни характеристического уравнения

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image047.gif, http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image048.gif.

Определим производную от полинома знаменателя

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image049.gif.

Определим коэффициенты разложения соответствующие по номеру полюсам

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image050.gif, http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image051.gif.

Тогда форма Хэвисайта имеет вид

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/1_files/image052.gif.

4.1 Передаточные функции.

Отношение изображений выходного и входного сигналов исследуемого объекта называют передаточной функцией динамического звена

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/3_files/image012.gif. (4.1)

Суть передаточной функция связана с понятием импульсной функции. Импульсной характеристикой динамического звена называют реакцию звена на импульсное воздействие http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/3_files/image041.gif, обозначая ее как http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/3_files/image042.gif. При этом схема эксперимента имеет вид –
http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/3_files/image043.gif

Рассмотрим динамическое звено с передаточной функцией http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/3_files/image044.gif. На входе дельта функция http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/3_files/image041.gif

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/3_files/image045.gif

В этом случае имеем

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/3_files/image046.gif. Преобразование Лапласа импульсной функции = 1.

Таким образом

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/3_files/image047.gif

Получаем, что передаточная функция звена – это изображение по Лапласу импульсной характеристики динамического звена (т. е. выхода с объекта при подаче на импульсного сигнала).

В свою очередь, импульсная характеристика может быть определена по передаточной функции

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/3_files/image048.gif,
4.2 Частотные характеристики динамических звеньев (объектов)

Частотной характеристикой динамического звена называют функцию комплексного аргумента, полученную путем формальной замены http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image002.gifна http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image003.gifв выражении передаточной функции

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image004.gif

Рассмотрим динамическое звено с передаточной функцией http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image005.gifи сигналами http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image006.gif, http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image007.gif. Пусть http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image008.gif, http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image009.gif– абсолютно интегрируемые функции и равны нулю при http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image010.gif. Тогда частотные спектры этих сигналов (преобразование Фурье) этих функций можно определить следующим образом –

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image011.gif

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image012.gif.
По выражению (4.1) получим отношение

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image013.gif.
Частотная характеристика динамического звена http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image004.gif определяется как отношение спектра (преобразования Фурье) выходного сигнала к спектру входного сигнала. Знание частотной характеристики звена позволяет определить выходной спектр по входному.

Рассмотрим динамическое звено –

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image015.gif

Получим спектр выходного сигнала – импульсной характеристики

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image016.gif.

Тогда имеем , что преобразование Фурье от импульсной характеристики равно частотной характеристике динамического звена. Передаточную функция комплексной или частотной переменной можно представить в виде суммы действительной и мнимой частей для каждой частоты в следующем виде –

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image018.gif Здесь:

 http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image019.gifдействительная (вещественная) часть для http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image020.gif,



http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image021.gifмнимая часть http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image022.gif,

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image023.gifмодуль (амплитуда) http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image024.gif,

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image025.gifфаза для аргумент ω http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image026.gif.

Амплитуда, фаза, действительная и мнимая части частотной характеристики являются функциями частоты, поэтому частотная характеристика графически представляется в виде амплитудно-фазовой, действительной, мнимой, амплитудной и фазовой частотных характеристик.

  1. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) – http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image027.gif.

  2. Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ), которая определяется как годограф (след движения конца) вектора http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image031.gif, построенный на комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image032.gif.

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image033.gif

  1. Фазочастотная характеристика (ФЧХ) – http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image028.gif.

4.Вещественная частотная характеристика (ВЧХ) – http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image029.gif.

5. Мнимая частотная характеристика (МЧХ) – http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image030.gif.

4.3 Уточнение понятия передаточной функции. Пусть имеется звено с входным сигналом http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image036.gif.

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image037.gif

Установившийся сигнал на выходе динамического звена можно описать следующим выражением

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image038.gif. (4,3). Сигнал на выходе звена определим с помощью теоремы об умножении изображений - по теореме о свёртке:

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image039.gifВ результате получаем

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image040.gif.

Для перехода к установившемуся режиму полагаем http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image041.gif, тогда получаем

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image042.gif. Но интеграл здесь есть прямое преобразование Фурье для функции w (τ),

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image043.gif.

Поэтому с учетом (4,3)

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image044.gif

Отсюда следует простой алгоритм экспериментального определения частотных характеристик линейного динамического звена, объекта или системы управления конкретной структуры:

  1. Подать на вход объекта синусоидальный сигнал частоты http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image046.gifи постоянной амплитуды.

  2. Дождаться затухания свободной составляющей переходного процесса.

  3. Измерить амплитуду выходного сигнала и сдвиг его по фазе относительно входного сигнала.

  4. Отношение амплитуды выходного установившегося сигнала к амплитуде входного сигнала определит модуль частотной характеристики при частоте http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image047.gif.

  5. Сдвиг фазы выходного сигнала относительно входного сигнала определит угол (аргумент) частотной характеристики при частоте http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/4_files/image048.gif.



  6. Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2019
обратиться к администрации

войти | регистрация
    Главная страница


загрузить материал