Суть и характер автоматического управления. 1 Системы Все время мы будем говорить о системах



страница5/7
Дата17.10.2016
Размер0.74 Mb.
1   2   3   4   5   6   7

4.1 Критерии устойчивости

Устойчивость является одним из необходимых условий, обеспечивающих нормальное функционирование автоматических систем. Поэтому чрезвычайно важно выяснить те условия, которые обеспечивают принципиальную работоспособность системы, ее устойчивость.



На комплексной плоскости корней корни с отрицательными вещественными частями располагаются на левой полуплоскости и называются левыми, а корни, расположенные в правой полуплоскости, называются правыми. Необходимое и достаточное условие устойчивости линейной системы может быть сформулировано так: линейная система устойчива, если все корни ее характеристического уравнения являются левыми (отрицательными). Чтобы понять, скажем, почему для устойчивости линейной системы дифференциальных уравнений х° = Ах требуется отрицательность действительных частей собственных значений матрицы А, естественно обратиться напрямую к записи решения этого дифференциального решения.

Если λ больше 0 решение Х будет бесконечным.

Для оценки устойчивости системы в классической теории практически не требуется находить корней ее характеристического уравнения в связи с тем, что разработаны косвенные признаки, по которым можно судить о знаках действительных частей этих корней и тем самым об устойчивости системы, не решая самого характеристического уравнения. Эти косвенные признаки называются критериями устойчивости.

Критерий устойчивости Михайлова предназначен для оценки устойчивости системы по его характеристическому уравнению. Устойчивая система содержит только левые корни, т. е. http://kurs.ido.tpu.ru/courses/tay/chapter_5/picture/m0.gif. И, т. е. для устойчивости системы характеристический частотный вектор должен пройти последовательно (поочередно) в положительном направлении (против часовой стрелки) http://kurs.ido.tpu.ru/courses/tay/chapter_5/picture/n.gifквадрантов. Вектор начинает движение при http://kurs.ido.tpu.ru/courses/tay/chapter_5/picture/w0.gifс положительной вещественной оси.

4.1.1 Порядок расчета устойчивости по критерию Михайлова:


  1. Записывается характеристическое уравнение замкнутой системы:

http://kurs.ido.tpu.ru/courses/tay/chapter_5/picture/formula_fp.gif.

Производится замена http://kurs.ido.tpu.ru/courses/tay/chapter_5/picture/pjw.gifи выделяются вещественная http://kurs.ido.tpu.ru/courses/tay/chapter_5/picture/pw.gifи мнимая http://kurs.ido.tpu.ru/courses/tay/chapter_5/picture/qw.gifслагаемые. В осях координат http://kurs.ido.tpu.ru/courses/tay/chapter_5/picture/pw.gif, пhttp://kurs.ido.tpu.ru/courses/tay/chapter_5/picture/jqw.gif ,при изменении http://kurs.ido.tpu.ru/courses/tay/chapter_5/picture/w.gifот http://kurs.ido.tpu.ru/courses/tay/chapter_5/picture/0.gifдо http://kurs.ido.tpu.ru/courses/tay/chapter_5/picture/bec.gif, строят характеристический частотный вектор (годограф Михайлова).




http://kurs.ido.tpu.ru/courses/tay/chapter_5/picture/pic3.gif
Рис. 5.3. Годографы Михайлова для систем: а - устойчивых, б - неустойчивых

По виду годографа Михайлова судят об устойчивости системы. Устойчивые годографы проходят поочередно http://kurs.ido.tpu.ru/courses/tay/chapter_5/picture/n.gifквадрантов. На границе устойчивости годограф проходит через начало координат.

При оценке устойчивости систем одного факта устойчивости недостаточно. Необходимо еще оценить величину запаса устойчивости, т. е. степени удаленности системы от границы устойчивости. Система, которая теоретически является устойчивой, но находится очень близко к границе устойчивости, практически при ее реализации может оказаться неустойчивой как вследствие неточности математического описания системы, использованного при оценке устойчивости, так и из-за изменения во времени параметров системы. Основное распространение в качестве меры запаса устойчивости получили вытекающие из критерия Найквиста две величины – запас устойчивости по фазе http://kurs.ido.tpu.ru/courses/tay/chapter_5/picture/tr_f.gifи запас устойчивости по амплитуде http://kurs.ido.tpu.ru/courses/tay/chapter_5/picture/tr_l.gifв логарифмическом масштабе.



4.1.2 Критерий Найквиста

Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой частотной характеристике (а.ф.х.) http://kurs.ido.tpu.ru/courses/tay/chapter_5/picture/wjw.gifразомкнутой системы. Условие устойчивости замкнутой системы сводится к требованию, чтобы а.ф.х. разомкнутой системы не охватывала точку (-1, j0). На рис. а характеристики 1 и 4 соответствуют устойчивым системам, характеристика 3 – неустойчивой, а характеристика 2 – нахождению системы на границе устойчивости. Если, например, уменьшить коэффициент передачи в неустойчивой системе 2, то ее а.ф.х. сожмется к началу координат, в результате чего система станет устойчивой. Наоборот, при увеличении коэффициента передачи характеристика устойчивой системы, в конце концов охватит точку (-1, j0) и система потеряет устойчивость.

Данная выше формулировка критерия Найквиста относится к системам, которые являются устойчивыми в разомкнутом состоянии. В случае одноконтурной системы устойчивость в разомкнутом состоянии всегда обеспечивается, если система состоит только из устойчивых звеньев. При наличии местных обратных связей должна быть еще проверена устойчивость образованных этими связями контуров. Для этого, в свою очередь, может быть применен критерий Найквиста или любой другой.

Для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, критерий Найквиста имеет такую формулировку: для устойчивости системы в замкнутом состоянии амплитудной фазовой характеристики разомкнутой системы должна охватывать точку (-1, j0). При этом число пересечений ею отрицательной действительной полуоси левее точки (-1, j0) сверху вниз должно быть на http://kurs.ido.tpu.ru/courses/tay/chapter_5/picture/k_2.gifбольше числа пересечений в обратном направлении, где http://kurs.ido.tpu.ru/courses/tay/chapter_5/picture/k.gif– число полюсов передаточной функции http://kurs.ido.tpu.ru/courses/tay/chapter_5/picture/wp.gifразомкнутой системы с положительной действительной частью.

http://kurs.ido.tpu.ru/courses/tay/chapter_5/picture/pic4.gif

В соответствии с критерием Найквиста, об устойчивости можно судить не только по а.ф ч.х., но и совместно по амплитудно-частотной и фазово-частотной характеристикам. Обычно при этом пользуются логарифмическими характеристиками, что представляет большое удобство в силу простоты их построения. Согласно критерию Найквиста, для системы, устойчивой в разомкнутом состоянии, условием устойчивости ее в замкнутом состоянии является не охват а.ф.х. W(jω) точки (-1, j0).

Последнее имеет место, если при частоте, на которой A(ω) =1, фаза меньше 180°. На рис. 5.4  б. показаны логарифмические характеристики, Здесь изображены одна логарифмическая амплитудная частотная характеристика L(ω) и четыре варианта логарифмической фазной характеристики ϕ(ω) . Если учесть при этом, что значению А = 1 соответствует L = 20lg1=0, критерий устойчивости Найквиста для систем, устойчивых в разомкнутом состоянии, сводится к тому, что л.а.ч.х. должна пересечь ось абсцисс раньше, чем фаза окончательно перейдет за значение -180°. Или иными словами, на частоте среза ωср величина фазы должна быть меньше 180°. Изложенное иллюстрируется рис. 5.4, б. В случае л.ф.х. 1 и 4 замкнутая система устойчива. Л.ф.х. 2 соответствует нахождению замкнутой системы на границе устойчивости, а л.ф.х. 3 – неустойчивой замкнутой системе.

Для астатических систем и систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, условием устойчивости в замкнутом состоянии является следующее: при положительной л.а.ч.х. число пересечений л.ф.х. уровня -180° снизу вверх должно быть на k/2 раз больше числа пересечений в обратном направлении.

При оценке устойчивости систем одного факта устойчивости недостаточно. Необходимо еще оценить величину запаса устойчивости, т. е. степени удаленности системы от границы устойчивости. Система, которая теоретически является устойчивой, но находится очень близко к границе устойчивости, практически при ее реализации может оказаться неустойчивой как вследствие неточности математического описания системы, использованного при оценке устойчивости, так и из-за изменения во времени параметров системы. Основное распространение в качестве меры запаса устойчивости получили вытекающие из критерия Найквиста две величины – запас устойчивости по фазе Δϕ и запас устойчивости по амплитуде ΔL в логарифмическом масштабе. Эти величины показаны на рис. 5.4, б для системы с л.ф.х., представленной кривой 1. Запас устойчивости по амплитуде определяется величиной допустимого подъема л.а.ч.х., при котором система окажется на границе устойчивости. Запас устойчивости по фазе определяется величиной по фазе, которую остается до частоты среза, чтобы система оказалась на границе устойчивости. Рекомендуется выбирать запас устойчивости по фазе больше 30° , а запас устойчивости по амплитуде больше 6 дБ. Последнее соответствует примерно двойному запасу коэффициента передачи по устойчивости.



5 Синтез линейных систем автоматического управления.

Разработка математических описаний объектов, сначала разомкнутых, а затем замкнутых, с анализом устойчивости таких систем привела к пониманию необходимости добавки корректирующих звеньев в систему управления. Этим занимается в теории автоматического управления раздел синтеза автоматических систем. Корректирующие звенья исправляют амплитудно-частотные и фазовые характеристики автоматической системы так, чтобы выполнялись требованиям по критериям устойчивости.

Последовательное включение корректирующего звена (замкнутая система). Здесь Wo –передаточная функция объекта управления, Wk - передаточная функция корректирующего звена.

Последовательное включение корректирующего звена в замкнутой системе. К(р) - передаточная функция корректирующего звена.

Передаточная функция замкнутой системы имеет вид: W(p) = K(p)Wo(p) /(1+K(p)Wo(p)).



5.1 Подбор передаточных функций звеньев называется синтезом. Основные этапы синтеза системы:

1) Задаться желаемой передаточной функцией замкнутой системы Фжел(p), при которой обеспечивается желаемая переходная функция системы.

2) Определить желаемую передаточную функцию разомкнутой системы (по формуле, выводимой из выражения передаточной функции замкнутой системы):

3) Найти передаточную функцию корректирующего устройства (выводится из выражения последовательно соединенных динамических звеньев).



Наиболее важным является первый этап – этап выбора Фжел(p). Её определение осуществляется на основе корневого метода, который заключается в том, что корни характеристического уравнения системы помещаются в заданные положения на комплексной плоскости, что обеспечивает желаемое быстродействие и желаемый вид переходных процессов.

Примем вид желаемой Передаточной Функции замкнутой системы.

. Выберем аn =1

Обозначим корни характеристического уравнения p1, p2, … pn и введем понятие среднегеометрического корня характеристического уравнения: A=. Где А – среднегеометрический корень желаемой системы. Аn = 1/а0. Это выражение применяется в дальнейших преобразованиях.

Поделим числитель и знаменатель желаемой ПФ системы на a0.



Желаемая передаточная функция разомкнутой системы равна,

==

, где коэффициенты Ск = ак Аn-k , k=1…n–1, а Т = 1/А – базовая постоянная времени системы (величина обратная среднегеометрическому корню).

При аналитическом синтезе системы, чтобы выбрать желаемую передаточную функцию необходимо:

1)      Определить порядок n желаемой передаточной функции системы.

2)      Выбрать определенный способ распределения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости. Выбор стандартного распределения сразу определяет стандартную формулу передаточной функции.

3)      Определить коэффициенты ск (для типовых способов распределения корней они приводятся в справочниках).

4)      Определить величину среднегеометрического корня А (или базовой постоянной времени Т), исходя из требуемого быстродействия системы (времени переходного процесса).

Пример типового распределения корней (биномиального): Все корни характеристического уравнения выбираются одинаковыми, действительными и равными (–А).

j



–А

Тогда желаемая передаточная функция системы:

Знаменатель данной функции представляет собой бином Ньютона. Запишем желаемые передаточные функции для различных порядков системы.



n



1



2



3



4



При выборе биномиальной функции для любого n переходные процессы получаются монотонными. Биномиальное распределение корней применяют в тех случаях, когда перерегулирование недопустимо. Для каждого порядка системы будет свое относительное время переходного процесса τпп

n

1

2

3

4

τпп, о.е.

3

4,75

6,3

7,8

Если прядок системы n выбран и задано желаемое время переходного процесса tпп, то среднегеометрический корень определяется по формуле:

Рассмотрим переходные функции системы при биномиальном распределении корней. Эти переходные функции будем рассматривать в относительном времени τ=А·t. Такие переходные функции будут универсальными, поскольку они подходят для любого значения А.









τ

Таким образом, чем более высокое быстродействие требуется (чем меньше tпп), тем больше по модулю должен быть среднегеометрический корень.



5.2 Стандартные корректирующие звенья:

В настоящее время разработан и повсюду применяются набор стандартных корректирующих звеньев, объединенных в общую систему, которая называется регулятором. Каждый регулятор содержит нескольких простых звеньев. Обычно это звено линейного усиления, интегрирующее звено и дифференциальное звено. Они в свою очередь соединены параллельно, что приводит к сложению их передаточных функций.



Эти звенья вырабатывают управляющее воздействие U(t). Мы рассмотрим работу регуляторов, как с математической точки зрения, так и с анализа их частотных характеристик.



Усилительное звено (пропорциональное регулирование). П-закон Для пропорционального регулирования управляющее воздействие должно быть пропорционально входного сигнала (величине рассогласования). Если регулируемый параметр отклоняется от заданного значения, требуется увеличивать воздействие на объект. Коэффициент пропорциональности обозначают как K1: u = K1.e.

Передаточная функция П-регулятора имеет вид: http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/5_files/image028.gif. Если величина ошибки равна, например, единице, то управляющее воздействие станет равным K1 (см. рисунок).

е(t)

t

1



u(t)

t

K1



Частотные характеристики:

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/5_files/image032.gif,

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/5_files/image033.gif.

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/5_files/image034.gif

Интегрирующее звено (интегральное регулирование).

И-закон Управляющее воздействие пропорционально интегралу от ошибки. То есть чем дольше существует отклонение регулируемого параметра от заданного значения, тем больше управляющее воздействие:

. К0 = 1/Т

Передаточная функция звена: http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/5_files/image045.gif.

Временные характеристики

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/5_files/image048.gif

Интегральное звено запоминает значение импульса и складывает импульсы приходящие один за другим. При постоянном отклонении управляющее воздействие увеличивается со скоростью, пропорциональной величине отклонения. Например, при е = 1 скорость роста управляющего сигнала будет равна 1/Т.

Частотные характеристики

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/5_files/image049.gif,

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/5_files/image050.gif.

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/5_files/image051.gif

http://drive.ispu.ru/elib/lebedev/5_files/image053.gif

Достоинство данного принципа регулирования в отсутствии статической ошибки, т.е. при возникновении ошибки регулятор будет увеличивать управляющее воздействие, пока не добьется заданного значения регулируемой величины. Недостаток – содействует неустойчивости процесса из-за отставания по фазе.





Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7


База данных защищена авторским правом ©grazit.ru 2019
обратиться к администрации

войти | регистрация
    Главная страница


загрузить материал